Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

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Johann Brauer
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1 nalysis Listungskurs Zntral schriftlich biturprüfungn im Fach Mathmatik ufgab Prispolitik Ein Industriuntrnhmn, das nur in Produkt hrstllt, ntnimmt sinr tribsbuchhaltung (ostn- und Listungsrchnung) folgnd ngabn: Dr ostnvrlauf ist gknnzichnt durch ständig stignd Gsamtkostn, wobi dr ostnzuwachs mit jdr produzirtn Einhit untrschidlich ist. nfänglich nimmt dr ostnzuwachs bdingt durch ffizintrn rbitskräft- und Maschinninsatz ab. Von inr bstimmtn Produktionsmng an ist dr ostnzuwachs jdoch durch höhrn Enrgivrbrauch und Maschinnvrschliß stignd. Von dn Gsamtkostn ds Untrnhmns sind di folgndn Zahln bkannt: Di fin ostn blaufn sich auf GE, dr Graph dr Gsamtkostnfunktion hat im Punkt P( 56) inn Wndpunkt und bi inr Produktionsmng von ME ntsthn ostn in Höh von 4 GE. Di apazitätsgrnz ds tribs ligt bi 9 ME und s wird blibig Tilbarkit dr Mngninhitn (ME) untrstllt. Hinwis: ll zu skizzirndn Funktionsgraphn sind in inm oordinatnsystm darzustlln. Wähln Si dabi für di Ordinat GE = cm und für di bsziss ME = cm. a) Ermittln Si aus obign ngabn dn Trm dr infachstn Gsamtkostnfunktion ds Untrnhmns. Gbn Si dn ökonomisch sinnvolln Dfinitionsbrich D ök an und skizzirn Si dn Graphn dr Gsamtkostnfunktion. Das Industriuntrnhmn ist inr von viln nbitrn auf dm Markt. Di Prisfunktion p ist dmnach in onstant und si lautt: p ( ) = 6. b) stimmn Si di Glichung dr Gwinnfunktion G. Ermittln Si damit folgnd für das Untrnhmn wichtig Informationn: di Gwinnschwll und di Gwinngrnz, di Produktions-/ bsatzmng, bi dr maimalr Gwinn rzilt wird, dn maimaln Gwinn. Skizzirn Si dn Graphn dr Gwinnfunktion G. Ein onkurrnzuntrnhmn hat in sinm trib durch obachtung dr ostnntwicklung in bhängigkit von dr produzirtn Mng folgnd Grnzkostnfunktion bstimmt: : ( ) = c) stimmn Si bi fin ostn von GE di Gsamtkostnfunktion von. d) Zign Si durch gignt Rchnungn, dass sich bi dr vorligndn ostnsituation ds Untrnhmns di Graphn dr Grnzkostn und dr Stückkostn k im Minimum dr Stückkostn schnidn. Di ntsprchnd Produktionsmng soll nicht rrchnt wrdn. ) stimmn Si für dn ggbnn Marktpris p von 6 GE mit Hilf ins gigntn Nährungsvrfahrn di Gwinnschwll ds Untrnhmns und führn Si das Vrfahrn solang durch, bis sich di dritt Nachkommastll nicht mhr ändrt.

2 Zntral schriftlich biturprüfungn im Fach Mathmatik nalysis Listungskurs Erwartungshorizont a) Di infachst Funktion, di dn vorggbnn ostnvrlauf mit inm Wndpunkt rfüllt, wär in ganzrational Funktion. Grads: ( ) = a + b + c + d ( ) = a + b + c () = 6a b wrtung ( ) = : I. d = ( ) = 56: II. 7a + 9b + c +d = 56 ( ) = : III. 8a + b = ( ) = 4: IV. a + b + c + d = 4 Nach Lösn ds LGS rhält man: a = ; b = 9; c = ; d =. lso gilt: : () = 9 + Ö [ 9] D = ; (Funktionsgraph von sih bbildung) b) Dr Gwinn rrchnt sich aus dr Diffrnz dr Erlös und dr ostn. G( ) = E( ) ( ) E ( ) = p ( ) = 6 G G = + = + ( ) : ( ) Gwinnschwll und Gwinngrnz: d : G( ) = = / ( ) = (durch Probirn = ) Hornr Schma: = 7 = 7 =, 7 89 = ± 4 8, ;, DÖk Di Gwinnschwll ligt bi ME und di Gwinngrnz bi rund 8, ME. odr: GS ( ) ; GG ( 8, )

3 nalysis Listungskurs Zntral schriftlich biturprüfungn im Fach Mathmatik Gwinnmaimum: d : G '( ) = und G ''( ) G = + '( ) 8 4 G ''( ) = = = 4 = ±, wrtung 5,77 G''(5,57) < Ma. G(5,77) 64,46 [, nicht rlvant, da dr Wrt klinr als di Gwinnschwll ist.] Di gwinnmaimal bsatzmng bträgt 5,77 ME und rbringt inn maimaln Gwinn von 64,46 GE. G 5 c) Di ostnfunktion ist di Stammfunktion von, di durch dn Punkt P( ) vrläuft. Dr Nachwis kann altrnativ übr das Intgrirn odr das Diffrnzirn rfolgn: Intgrirn: 4 ( ) = + d c ( ) = ln( ) + + c 8 () = ln( ) + c= c= 9 4 ( ) = ln( + )

4 Zntral schriftlich biturprüfungn im Fach Mathmatik nalysis Listungskurs Diffrnzirn: = + 8 = '( ) Nachwis von ( ) d) d.: '() = k () k '() = b b wrtung 5 '( ) = ln( ) ( ) ln( ) 9 k ( ) = = = + + ln( ) 9 k '( ) = + ln( ) 9 = + () ln( ) 9 '( ) = k( ) + = ln( ) 9 + = 8 ln( ) 9 + = () ln( ) 9 '( ) k = + + = ( ) ln( ) 9 + = Di stimmungsglichungn () und () stimmn übrin; folglich wrdn si auch von dmslbn -Wrt rfüllt. Damit ist gzigt, dass sich di Graphn dr Grnzkostn und dr Stückkostn im Minimum dr Stückkostn schnidn. 5 5 ) d.: G () = G( ) = E( ) ( ) 4 G ( ) = 6 ln( ) ln( ) 9 = (kin ganzzahlig Lösung!) G () 4,4 G (),95 Nwton-Vrfahrn: f ( ) = f '( ) =, 5

5 nalysis Listungskurs Zntral schriftlich biturprüfungn im Fach Mathmatik wrtung f G 4 ( ) = ( ) = 6 ln( + ) 9 f '( ) = G '( ) = f (,), =,,,6985 f '(,) 5, 5777 f( ), 9886,6985,69864 f '( ) 5, 5469 = GS(,7 ) Insgsamt WE 6 6

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