Erfolg im Mathe-Abi. H. Gruber, R. Neumann. Prüfungsaufgaben Hessen

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1 H. Grubr, R. Numann Erfolg im Math-Abi Prüfungsaufgabn Hssn Übungsbuch für dn Listungskurs mit Tipps und Lösungn - plus Aufgabn für GTR und CAS

2 Inhaltsvrzichnis Inhaltsvrzichnis Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Exponntialfunktion Funktionnschar Exponntialfunktion Schädling Exponntialfunktion Mdikamnt Exponntialfunktion Glocknkurv GTR / CAS Exponntialfunktion Baumdurchmssr GTR / CAS Logarithmusfunktion Schal Logarithmusfunktion Rotwinkaraff Logarithmusfunktion Schadstoffmssung Trigonomtrisch Funktion Sonnnschin Trigonomtrisch Funktion Rchtck GTR Trigonomtrisch Funktion Nährungskurv CAS Linar Algbra / Analytisch Gomtri 1 Gomtri Tdradr Kugl und Abbildung Gomtri Pyramid und Stuf Kugl und Abbildung Gomtri Plantarium Abbildung Gomtri Antnnnmast Abbildung Gomtri Kist Kugl Gomtri Pyramid Kugl Gomtri Pyramidnstumpf Gomtri Klttrpyramid... 4 Stochastik 21 Stochastik Wählranalys Stochastik Cornflaks Stochastik Rauchr Stochastik Ostrhasn Stochastik Rauchr GTR / CAS Tipps... 41

3 Inhaltsvrzichnis Lösungn Stochastiktablln Stichwortvrzichnis Abituraufgabn

4 1. Ganzrational Funktion Windln Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Tipps ab Sit 41, Lösungn ab Sit 65 Ggbn ist di Funktionnschar f a durch f a x = 1 a 2 x + x; x IR, a > 0 a Untrsuchn Si di Graphn dr Funktionnschar auf Symmtri, Schnittpunkt mit dr x-achs, Extrm- und Wndpunkt, Asymptotn sowi das Vrhaltn für x ±. b Skizzirn Si für a = 1 dn Graphn von f a. Ein Firma stllt Babywindln hr. Dis bsthn aus übrinandrglgtn Schichtn, drn Matrialdicht all 0,1mm linar zunimmt. Durch di Funktion f a wird dr Vorgang dr Flüssigkitsaufnahm in Abhängigkit von dr Matrialkonstantn a im Intrvall I = [x E ; x N ], x > 0 in gutr Nährung bschribn dabi ist x E Extrmstll und x N Nullstll von f a. Es gilt für di Längninhitn auf dn Koordinatnachsn: x-achs: Anzahl dr Schichtn y-achs: Saugfähigkit innrhalb inr Schicht in ml pro Flächninhit. c Für wlchn Wrt dr Matrialkonstantn a xistirn di mistn Schichtn? d Für wlchn Wrt dr Matrialkonstantn a kann im Intrvall I di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn? 9

5 Tipps 2. Exponntialfunktion Funktionnschar Tipps Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln a Bi dr Untrsuchung ds Graphn von f a auf Symmtri bachtn Si, dass s sich um in ganzrational Funktion handlt, di nur ungrad Exponntn bsitzt; stzn Si x in f a x in. Gilt f a x = f a x, ist dr Graph punktsymmtrisch zum Ursprung. Um di Schnittpunkt mit dr x-achs zu bstimmn, brchnn Si di Lösungn von f a x = 0. Zur Bstimmung dr Extrm- und Wndpunkt litn Si di Funktion f a drimal ab und stzn di rst bzw. zwit Ablitung glich Null. Prüfn Si jwils auch di hinrichnd Bdingung. Bstimmn Si di Grnzwrt, falls möglich, von f a x für x ±. b Bnutzn Si di charaktristischn Punkt aus Aufgabntil a, um dn Graphn zu skizzirn. Insbsondr di Symmtri kann bi dr Zichnung hilfrich sin. c Bstimmn Si di Grnzn ds Intrvalls I; bachtn Si, dass x > 0 ist. Damit di Anzahl dr Schichtn im Intrvall I möglichst groß ist, muss dr Abstand zwischn dr positivn Extrmstll und dr positivn Nullstll möglichst groß sin. Stlln Si in Funktion Da, di von a abhängt, auf und bstimmn Si drn Maximum mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung von Da. d Di mist Flüssigkit kann aufgnommn wrdn, wnn dr Flächninhalt Fa dr Fläch zwischn dm Graphn von f a und dr x-achs im Intrvall I möglichst groß ist. Brchnn Si Fa mit Hilf ins Intgrals in Abhängigkit von a und bstimmn Si das Maximum von Fa mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung vo Fa. 2 Exponntialfunktion Funktionnschar a Dn Schnittpunkt mit dr y-achs rhaltn Si, indm Si x = 0 in f k x instzn. Schnittpunkt mit dr x-achs rhaltn Si, indm Si f k x glich Null stzn. Zur Bstimmung dr Extrmpunkt bnötign Si di 1. und 2. Ablitung von f k x, di Si mit Hilf dr Produktrgl rhaltn. Stzn Si di 1. Ablitung glich Null, lösn Si di Glichung und stzn Si dn rhaltnn x-wrt in di 2. Ablitung in; ist f k x größr als Null, handlt s sich um inn Tifpunkt, ist f k x klinr als Null, handlt s sich um inn Hochpunkt. Dn zughörign y-wrt rhaltn Si, indm Si dn x-wrt in f k x instzn. Zur Bstimmung ds Wndpunkts stzn Si di 2. Ablitung von f k x glich Null, lösn di Glichung und stzn dn rhaltnn x-wrt in di. Ablitung von f k x in; ist das Ergbnis unglich Null, handlt s sich um inn Wndpunkt. Dn zughörign y-wrt rhaltn Si, indm Si dn x-wrt in f k x instzn. 41

6 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Es ist f a x = 1 x + x; x IR, a > 0 a 2 a Da s sich um in ganzrational Funktion handlt, di nur ungrad Potnzn von x und kin Konstant nthält, ist dr Graph dr Funktion f a punktsymmtrisch zum Ursprung. Altrnativ kann man di Symmtri wi folgt nachwisn: f a x = 1 a 2 x + x = 1 a 2 x x = 1 a 2 x + x = f a x Wgn f a x = f a x ist dr Graph von f a punktsymmtrisch zum Ursprung. Um di Schnittpunkt mit dr x-achs zu bstimmn, stzt man dn Funktionstrm von f a glich Null: f a x = 0 führt zu 1 x + x = 0 x 1a x 2 + = 0 mit dn Lösungn x a = 0 und x 2; = ± a 2 = ±a. Damit sind di Schnittpunkt mit dr x-achs: N a,1 0 0, N a,2 0 und N a, a 0. Zur Bstimmung dr Extrm- und Wndpunkt bnötigt man di rstn dri Ablitungn von f a : f a x = a 2 x2 + f a x = 6 a 2 x f a x = 6 a 2 Für di Extrmpunkt gilt als notwndig Bdingung f a x = 0: a 2 x2 + = 0 x 1;2 = ± a 2 = ±a Di zughörign y-wrt sind f a = 1 a 2 a + a = + a 2 = a = a = a 2 = 2 a = 2 a 65

7 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn und wgn dr Punktsymmtri ds Graphn von f a zum Ursprung: f = 2 a Für di hinrichnd Bdingung stzt man di bidn rrchntn x-wrt in f a x in: und f a f a a = 6 a 2 = 6 a 2 a Damit sind di bidn Extrmpunkt: T a 2 a = 6 a > 0 Tifpunkt = 6 a < 0 Hochpunkt und H a a 2 a Zur Bstimmung dr Wndpunkt führt di notwndig Bdingung f a x = 0 zu 6 a 2 x = 0 x = 0 Mit f a 0 = 1 a = 0 und f a 0 = 6 a 2 0 hat dr Graph von f a dn Wndpunkt W0 0. Bim Btrachn ds Vrhaltns für x + stllt man fst, dass dr rst Summand 1 a 2 x wgn dr drittn Potnz schnllr ggn ght, als x ggn. Dahr gilt f a x für x und f a x für x. Altrnativ schribt man: lim f a x = lim 1 x ± x ± a 2 x + = Somit bsitzt dr Graph von f a kin Asymptotn. Da s kin Dfinitionlückn und Pol gibt, lign auch kin snkrcht Asymptotn vor. b Um dn Graphn von f 1 zichnn zu könnn, übrlgt man sich di Lag dr Schnittpunkt mit dr x-achs und di Lag dr Extrm- und Wndpunkt ds Graphn von f a für a = 1. Dazu stzt man a = 1 in di brits brchntn Punkt in: N 1,1 0 0, N 1, ,61 0 und N 1, 1 0 0,61 0 Di Extrmpunkt sind T ,5 0,086 und H 1 2 0,5 0,086 Dr Wndpunkt hat di Koordinatn W0 0. Mit Hilf disr Punkt kann man dn Graphn von f 1 x skizzirn: 66

8 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln c Für x > 0 rhält man im Intrvall I = [x E ; x N ] dn Wrt von a, für dn di mistn Schichtn xistirn, indm man das Maximum dr Strck x E x N brchnt: Mit x E = a und x N = a rgibt sich di Funktion Strcknmaximumsfunktion Da, di von a abhängt: Da = x N x E = a a Um das Maximum von Da zu bstimmn, muss di rst Ablitung von Da glich Null gstzt wrdn. Zum Ablitn wird Da zurst umgformt: Da = a a 2 = a 1 2 a 1 1 a 2 = a a 2 = 1 a a Mit Hilf dr Produkt- und Kttnrgl rhält man: D a = a a a = D a = a a 1 12 a 2 = a a = 1 1 a a a 1 2 a 67

9 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn Di notwndig Bdingung D a = 0 führt zu a 2 1 a = a = 0 a = 2 Wgn D 2 = = ,077 < 0 handlt s sich um in Maximum. Damit ist di Läng dr Strck x E x N für a = 2 maximal, d.h. für a = 2 xistirn di mistn Schichtn. d Um zu bstimmn, für wlchn Wrt von a di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn kann, brchnt man zurst dn Flächninhalt Fa dr Fläch zwischn dm Graphn von f a und dr x-achs im Intrvall I, wlchr dr aufgnommnn Flüssigkitsmng pro Flächninhit ntspricht: xn Fa = f a xdx = x E xn x E = 1 4a 2 a [ a 2 x + x dx = 1 4a 2 x x 2 2 a 2 1 4a 2 a = 1 4 a2 2a a2 2a a2 2a 1 6 a2 2a = 1 9 a2 2a ] a a a Zur Brchnung ds Maximums von Fa bstimmt man mit Hilf dr Produkt- und Kttnrgl di 1. und 2. Ablitung von Fa: F a = 2 9 a 2a a2 2a 2 = 2 9 a 2a a2 2a = 9 a 2 9 a2 2a 2 F a = a 2a + 9 a 2 9 a2 2a 2 2 = a 4 9 a a2 2a 4 = 9 a2 8 9 a + 2 2a 9 68

10 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln Di notwndig Bdingung F a = 0 führt zu 2 9 a 2 9 a2 2a = a 2 9 a2 = 0 2 a 1 a = 0 9 mit dn Lösungn a 1 = 0 und a 2 = 1. Wgn a > 0 und F 1 = = ,0 < 0 handlt s sich bi a 2 = 1 um in Maximum. Für a = 1 kann also von dr Windl di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn. 69

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