5.5. Konkrete Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen

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1 5.5. Konkr Abiuraufgabn zu Exponnialfunkionn Aufgab : Kurvnunrsuchung, Ingraion () Übr in Vnil kann das Wassrvolumn in inm Wassrbhälr grgl wrdn. Di Särk ds Wassrsroms durch diss Vnil is ggbn durch in Funkion f() = 4, mi >, in h und f() in m 3 h. Dabi bdun posiiv Funkionswr in Wassrzufuhr, ngaiv Funkionswr in Wassrnnahm. Zu Bobachungsbginn = bfindn sich m 3 im Bhälr. a) Skizzirn Si das Schaubild von f und mi dism das Schaubild dr Funkion g, di di Enwicklung ds Wassrvolumns im Bhälr bschrib. (3) b) Bgründn Si dn Vrlauf ds Schaubilds von g. (3) c) Bsimmn Si dn maximaln Wr, dn das Wassrvolumn im Bhälr rrichn kann. (3) d) Ein Bschribung ds Wassrsroms durch das Vnil durch di Funkion f is nur ralisisch für Zin < T, wobi T drjnig Zipunk is, zu dm dr Wassrbhälr lr is. Bsimmn Si T. () a) Skizz von f mi Bschrifung (GTR) () Skizz von g mi Bschrifung (GTR) () b) Bgründung für dn Vrlauf ds Schaubilds von g: g is Ingralfunkion odr Sammfunkion von f mi g() =. () Für < is f() > das Wassrvolumn nimm zu g is srng monoon signd. (,5) Bi = is das maximal Volumn im Bhälr rrich g ha dor in Maximum () Für > is f() < das Wassrvolumn nimm ab g is srng monoon fallnd. (,5) c) f( ) = 4, = = ln 4,844 (GTR odr Subsiuion x = ) () g() = F c () = 4, + c mi g() = c = 4,. g(,844),835 (GTR) () d) g(t) = 4 T, T + 4, = für T 4,947 (GTR) () Aufgab : Kurvnunrsuchung, Ingraion () Übr in Vnil kann das Wassrvolumn in inm Wassrbhälr grgl wrdn. Di Särk ds Wassrsroms durch diss Vnil is ggbn durch in Funkion f() = 5, mi >, in h und f() in m 3 h. Dabi bdun posiiv Funkionswr in Wassrzufuhr, ngaiv Funkionswr in Wassrnnahm. Zu Bobachungsbginn = bfindn sich m 3 im Bhälr. a) Skizzirn Si das Schaubild von f und mi dism das Schaubild dr Funkion g, di di Enwicklung ds Wassrvolumns im Bhälr bschrib. (3) b) Bgründn Si dn Vrlauf ds Schaubilds von g. (3) c) Bsimmn Si dn maximaln Wr, dn das Wassrvolumn im Bhälr rrichn kann. (3) d) Ein Bschribung ds Wassrsroms durch das Vnil durch di Funkion f is nur ralisisch für Zin < T, wobi T drjnig Zipunk is, zu dm dr Wassrbhälr lr is. Bsimmn Si T. () a) Skizzn von f mi Bschrifung (GTR) () Skizzn von g mi Bschrifung (GTR) () b) Bgründung für dn Vrlauf ds Schaubilds von g: g is Ingralfunkion odr Sammfunkion von f mi g() =. () Für < is f() > das Wassrvolumn nimm zu g is srng monoon signd. (,5) Für = is das maximal Volumn im Bhälr rrich g ha dor in Maximum () Für > is f() < das Wassrvolumn nimm ab g is srng monoon fallnd. (,5) c) f( ) = 5, = = ln 5,69 (GTR odr Subsiuion x = ) () g() = F c () = 5, + c mi g() = c = 5,. g(,69) 3, (GTR) () d) g(t) = 5 T, T + 5, = für T 4,835 (GTR) ()

2 Aufgab 3: Orskurvn, Ingraion, logisischs Wachsum (4) x 3k Für jds k > is di Funkion f k ggbn durch f k (x) = x + k mi x. Ihr Schaubild si C k. a) Skizzirn Si für dri slbs gwähl Wr von k di Schaubildr C k in in gminsams Koordinansysm. Unrsuchn Si das Vrhaln von C k für x ±. Slln Si gminsam Eignschafn dr skizzirn Schaubildr zusammn. (5) b) Jds Schaubild C k ha gnau inn Hochpunk. Brchnn Si sin Koordinan. Bsimmn Si di Glichung dr Orskurv. Ergänzn Si di Skizz aus a) um dis Orskurv. (6) c) Dr Trm f 4 (x) bschrib für x di Zuwachsra dr von inr Bakrinkulur bdckn Fläch zu Zipunk x (x in min ab Bobachungsbginn, f 4 (x) in cm /min) Um wi vil cm vrgrößr sich di von dr Kulur bdck Fläch in dn rsn Minun? (3) a) Skizzn () 3k f k (x) = für x ±, da dr Nnnr x + k x für x ±. () x x + k gminsam Eignschafn sind z.b. () Si vrlaufn obrhalb dr x-achs Si habn di x-achs als waagrch Asympo. Si habn gnau inn Hochpunk und kinn Tifpunk. Si habn gnau zwi Wndpunk. Si sind achsnsymmrisch zur Snkrch durch dn Hochpunk. Si sind links vom HP srng monoon signd und rchs davon srng monoon fallnd x x 3k (k ) b) f k (x) = () x ( + k) Hochpunk (f k (x) = mi VZW von + nach ): H( 3 ln(k) k ) () Orskurv y = 3 x () Skizz () c) Di Fläch nimm in dn rsn zwi Minun um f 4 (x)dx = x dx 5, cm zu (3) + x 4 Aufgab 4: Kurvnunrsuchung, Ändrungsra, Sammfunkion () Ein Forschungsgrupp vrsuch, di Enwicklung ins Fischbsands in inm S durch in mahmaischs Modll zu rfassn. Zu Bginn dr Unrsuchung lbn im S 4 Millionn Fisch. Di Ändrungsra ds Bsands wird in dism Modll durch in Funkion f mi f() = ; bschribn ( in Jahrn si (+ ) Unrsuchungsbginn, f() in Millionn pro Jahr). a) Skizzirn Si das Schaubild von f für,5 6. () Unrsuchn Si das Vrhaln von f für. () Wisn Si nach, dass f für > monoon abnimm. () Bdu dis, dass dr Fischbsand abnimm? Bgründn Si Ihr Anwor. () b) Wisn Si nach, dass di Funkion F mi F() in Sammfunkion von f is. + Wlchr Fischbsand is zwi Jahr nach Bginn dr Unrsuchung zu rwarn? Wlchr Fischbsand is langfrisig zu rwarn? a) Skizz () f() = + + für ±, di x-achs is waagrch Asympo + + () f () = (+ + ) < für > f sink srng monoon für > () Dr Fischbsand sig wir, da di Ändrungsra f() = (+ ) > für ()

3 b) F () = + (+ ) ( ) ( ) = (+ ) Dr Bsand nach zwi Jahrn is 4 + Langfrisig rrich dr Fischbsand di Schrank 4 + = f() mi dr Quoinnrgl () f ()d = 4 + [ F() ] 4,9 +,5 = 4,38 Millionn () f ()d = 4 +,5 = 4,5 Millionn () Aufgab 5. Kurvnunrsuchung, Ingraion () Di Nidrschlagsra währnd ins wa inwöchign Daurrgns wird modllhaf bschribn durch di Funkion r mi r()=5,. Dabi wird in Tagn si Einszn ds Rgns und r() in Lir pro m und Tag gmssn. a) Skizzirn Si das Schaubild von r in inm gignn Koordinansysm. () Wann hör dr Rgn auf? () Wlch Wassrmng gh insgsam auf jdn Quadramr Fläch ds broffnn Gbis nidr? (3) b) Flißgwässr, Vrsickrung usw. ragn zum Wassrabfluss bi. Di Wassrabflussra wird durch di Funkion a mi a() = 6 + 5,477 modllir ( in Tagn si Einszn ds Rgns; a() in Lir pro m und Tag). Skizzirn Si das Schaubild dr Funkion a im vorhandnn Koordinansysm. () Wi groß is im Modll di Wassrabflussra bim Einszn ds Rgns? () Bwrn Si diss Ergbnis. () c) Bsimmn Si dn Zipunk, ab dm das Wassr nich mhr vollsändig abfliß. () Di bidn Schaubildr schlißn in Fläch in. Inrprirn Si dn Inhal disr Fläch. (3) d) Wann is di im Lauf ds Rgns nidrggangn Wassrmng abgflossn? (4) a) Skizz () r() = = ln(5) 7,3 Tag () Insgsam ln5 r()d = 5 ln(5) +, (5 ) 3,5 Lir pro m. (3) b) Skizz () Zu Bginn is di Abflussra a() = 56 Lir/m Tag vil größr als di Nidrschlagsra r() = 5 Lir/m Tag. () Dr ausgrockn Bodn saug das Wassr vil schnllr auf als s nachkomm und blib in dr rsn Zi ds Rgns obrflächlich rockn! () c) a() = r() x,4, d.h. zu Bginn ds drin Tags () Di von dn Schaubildrn ingschlossn Fläch gib di gsam Mng an Obrflächnwassr in Lir / m an, di sich währnd ds Rgns ansau. () d) Das angsau Wassr is abgflossn, wnn x (a() r())d =,4 +,,477 x 5,477 = x = 8,3 (GTR), also am Morgn ds 9. Tags (4) Aufgab 6. Milwr, Tangn, Vrschibung, Ordinanaddiion (8) Durch f() =,5 wird di Konznraion ins Mdikamns im Blu ins Painn bschribn. Dabi wird in Sundn si dr Einnahm und f() in mg/lir gmssn. Di folgndn Brachungn sind nur für di Zispann dr rsn Sundn nach dr Einnahm ds Mdikamns durchzuführn. a) Skizzirn Si dn zilichn Vrlauf dr Konznraion. () Nach wlchr Zi rrich di Konznraion ihrn höchsn Wr? (,5) Wi groß is disr höchs Wr? (,5) Das Mdikamn is nur wirksam, wnn sin Konznraion im Blu mindsns 4 mg/lir bräg. Brchnn Si di Zispann, in dr das Mdikamn wirksam is. () Wi hoch is di milr Konznraion ds Mdikamns innrhalb dr rsn Sundn? () b) Zu wlchm Zipunk wird das Mdikamn am särksn abgbau? () Wi groß is zum Zipunk = 4 di momnan Ändrungsra dr Konznraion? () Ab dism Zipunk wird di Konznraion ds Mdikamns nun nährungswis durch di Tangn an das Schaubild von f an dr Sll = 4 bschribn. Bsimmn Si dami dn Zipunk, zu dm das Mdikamn vollsändig abgbau is. (),4 3

4 c) Ansll dr Nährung aus Tilaufgab b) wird nun widr di Bschribung dr Konznraion durch f vrwnd. Vir Sundn nach dr rsn Einnahm wird das Mdikamn in dr glichn Dosirung rnu ingnommn. Es wird angnommn, dass sich dabi di Konznraionn im Blu ds Painn addirn. Skizzirn Si dn zilichn Vrlauf dr Gsamkonznraion für. () Di Konznraion ds Mdikamns im Blu darf mg/lir nich übrsign. Wird dis Vorgab in dism Fall inghaln? (3) d) Das Mdikamn wird nun in sinr Zusammnszung vrändr. Di Konznraion ds Mdikamns im Blu wird durch g() = a -b mi a > und b > bschribn. Dabi wird in Sundn si dr Einnahm und g() in mg/lir gmssn. Bsimmn Si di Konsann a und b, wnn di Konznraion vir Sundn nach dr Einnahm ihrn größn Wr mg/l rrich. (4) a) Skizz () Das Maximum wird bi, mi f() 4,7 mg/lir rrich (GTR) () f() = 4, und 7,5 (GTR) wirksam Zispann von ca. 6,9 Sundn () Di milr Konznraion in dn rsn Sundn is f ()d 6,55 mg/lir (GTR) () b) Dr särks Abbau wird an dr Wndsll bi 4, Sundn rrich (GTR) () Di momnan Ändrungsra is dor f (4),7 mg/lir und Sund (GTR) () Di Tangn an dr Sll = 4 ha di Glichung y =,7 +,87 (GTR) und schnid di -Achs bi 8, nach ca. 8 Sundn is das Mdikamn vollsändig abgbau () c) Skizz () Für 4 wird di Konznraion durch k() = f() + f( 4) bschribn. () Si rrich ihr Maximum bi 5,5 mi k(5,5), mg/lir > mg/lir (GTR) () d) Abliung () = ( b)a b () g (4) = ( 4b) 4b = () g(4) = 4a 4b = () b =,5 und a =,5 6,8 () Aufgab 7: Funkionsanpassung, Kurvnunrsuchung, Ingraion (4) Ein Musikagnur vröffnlich in CD Summr His". In dr rsn Vrkaufswoch wrdn nur 35 CDs vrkauf. Di Tabll nhäl di Vrkaufszahln dr Folgwochn: Folgwoch 3 Wöchnlich Vrkaufszahl a) Di zilich Enwicklung dr wöchnlichn Vrkaufszahln soll durch in Exponnialfunkion f bschribn wrdn. Bgründn Si, dass di vorligndn Dan inn drarign Ansaz rchfrign. Ermiln Si in gign Funkion f. Wi vil CDs wrdn nach dism Modll in dr achn Folgwoch vrkauf? In wlchr Woch wrdn voraussichlich rsmals übr CDs vrkauf? (5 VP) b) Di Markingabilung rwar in Enwicklung dr wöchnlichn Vrkaufszahln gmäß inr Funkion 8 g mi g() =, wobi = Nummr dr Folgwoch.,5,5 + 6 Bgründn Si, warum di Funkion g für di Enwicklung dr wöchnlichn Vrkaufszahln ralisischr is als di Funkion f aus Tilaufgab a). Wi vil CDs wrdn nach dm nun Modll währnd dr rsn 5 Wochn vrkauf? Wann ändrn sich di wöchnlichn Vrkaufszahln am särksn? (5 VP) c) Für di rs Vrkaufswoch und jd Folgwoch wrdn jwils 65 CDs produzir. Enschidn Si rchnrisch, ob bi dm durch g prognosizirn Vrkaufsvrlauf währnd dr rsn Vrkaufswochn ss gnügnd CDs zur Vrfügung shn. (4 VP) 4

5 a) Da di Zuwächs annährnd proporional zum Bsand sind, handl s sich nährungswis um f () f () f () f () f (3) f () xponnills Wachsum:,65,,66 und,6. Mi dm GTR f () f () f () (ExpRg) rhäl man f() 35,48,65. Für di 8. Folgwoch rgbn sich f(8) 73 vrkauf CDs und f() > is für > rfüll, d.h., von dr. Folgwoch an. (5) b) Aufgrund dr zu rwarndn Marksäigung wrdn di Vrkaufszahln in Maximum rrichn und anschlißnd widr absinkn. F() wächs abr unbschränk. In dn rsn 5 Wochn wrdn ungfähr 5 g()d 947 CDs vrkauf. Di Ändrung dr wöchnlichn Vrkaufszahln is maximal, wnn dr Brag dr Abliung g () maximal is, also bi 9,3 in dr 9. Folgwoch und bi,7 in dr. Folgwoch. c) Dr Übrschuß 65 f (x)dx is für all > posiiv. Das Minimum ds Lagrbsands wird in dr 4. Folgwoch mi 87 CDs rrich. Dr maximal Lagrbsand wird in dr 7. Folgwoch mi 789 CDs rrich (nich vrlang). Aufgab 8: Bschränks Wachsum, Kurvnunrsuchung, Vrschibung (8) Di Gschwindigki inr in inr Flüssigki sinkndn Mallkugl läss sich durch in Funkion v mi v() = a ( a ) bschribn. Dabi is a >, in Skundn nach Bginn ds Sinkvorgangs und v() in m/s. a) Für in Kugl k gil: Ihr Gschwindigki nähr sich mi zunhmndr Sinkdaur dm Wr 4 m/s an. Brchnn Si dn Wr ds Paramrs a für di Kugl K. Skizzirn Si für dis Kugl K das Schaubild von v. Wann übrschri di Gschwindigki dr Kugl 5 m/s? Zign Si, dass di Gschwindigki dr Kugl sändig zunimm. Brchnn Si di Läng ds nach zwi Skundn zurückglgn Wgs. (Tilrgbnis a =,7) (8) b) Für in zwi Kugl K gil a =,5. Diss bginn dri Skundn nach dr Kugl K von dr glichn Sll aus zu sinkn. Skizzirn Si das Schaubild dr Gschwindigkisfunkion von K im vorhandnn Koordinansysm. Wann is dr Vorsprung von K am größn? (4) c) Für in dri Kugl K 3 gil a =,5. Zign Si, dass diss Kugl währnd dr zwin Skund ds Sinkvorgangs ungfähr doppl so wi sink wi währnd dr rsn Skund. Was muss für a gln, dami dr von dr Kugl währnd dr zwin Skund zurückglg Wg,5 mal so lang is wi dr währnd dr rsn Skund zurückglg Wg? (6) a) Aus lim f(x) = a ( ) = = 4 rgib sich a =,7 a () Schaubild () v() = 5 gil für,6 (GTR) () Di Gschwindigki dr Kugl nimm sändig zu, da v () = a > für all > und a >. () Dr in zwi Skundn zurückglg Wg is v()d 3, m (GTR) () b) K ha di Gschwindigki U() = (,5( 3) ) mi 3. () Schaubild () Dr Vorsprung von K wächs so lang, bis di Gschwindigkin bidr Kugln glich sind. () v() = u() rgib = 5,3 (GTR). Dr Vorsprung is 5,3 s nach Bginn ds rsn Sinkvorgangs maximal.() 5

6 c) K 3 ha di Gschwindigki w() = 8,7 (,5 ) () Di zurückglgn Wg sind in dr rsn Skund w()d 3,53 und in dr zwin Skund w()d 7,6 (GTR), d.h. ca. doppl so wi wi in dr rsn Skund. () Wnn dr Wg innrhalb dr zwin Skund,5 mal so lang sin soll wi in dr rsn Skund, muss gln v()d =,5 v()d () ( a )d =,5 a ( a )d a + a a a 5 = + a a ( + a a a a ) = 3 ( + a a a ) a + a a = 3a + 3 a 3 () a + a 5 a + 3 = a,66 (GTR) () a () 6

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