4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum

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1 .7. Prüfungsaufgaben zum beschränken Wachsum Aufgabe : Exponenielle Abnahme und beschränkes Wachsum In einem Raum befinden sich eine Million Radonaome. Duch radioakiven Zerfall verminder sich die Zahl der Radonaome äglich um 3%. a) Zeige, dass sich die Zahl der nach Tagen bereis zerfallenen Radonaome nach dem Gesez des beschränken Wachsums verhäl und gib den Sarwer, den Änderungsfakor und die Säigungsgrenze an. b) Zeige, dass sich die Zahl der nach Tagen noch vorhandenen Radonaome exponeniell verminder und gib den Sarwer sowie den Änderungsfakor an. a) Ansaz B( + ) = B() + k [S B()], wobei B() = Zahl der nach Tagen bereis zerfallenen Radonaome. Mi Sarwer B(0) = 0, Säigungsgrenze S = und k = 3% = = 0,03 erhäl man B( + ) B() = 00 0,03 [0 6 B()]. p b) Ansaz [S B()] = [S B(0)] ( + ), wobei [S B()] = Zahl der nach Tagen noch übrigen 00 Radonaome (= Säigungsmanko ). Mi Sarwer [S B(0)] = [0 6 0] = 0 6 und p = 3 erhäl man B() = 0 6 0,97. Ansaz B( + ) = B() + k [S B()] S B( + ) = S B() k [S B()] = ( k) [S B()] = ( k) + [S B(0)] = 0, mi den Angaben aus a). Aufgabe : Beschränkes Wachsum (6) Ein Gebirgsbach mi einem Volumensrom von 000 m 3 pro Tag wird durch einen Erdrusch auf einer flachen Wiese zu einem kleinen Teich gesau. Pro Tag versickern 0 % des gesauen Wassers in der Wiese. a) Zeige, dass die Enwicklung der gesauen Wassermenge dem Gesez des beschränken Wachsums folg und gib die Säigungsgrenze S sowie die prozenuale Änderungsrae p an () b) Berechne das Teichvolumen nach 5 Tagen für den Fall, dass die Wiese zum Zeipunk des Erdrusches rocken war. () c) Berechne das Teichvolumen nach 5 Tagen für den Fall, dass sich auf der Wiese zum Zeipunk des Erdrusches durch einen Regenguss schon 000 m 3 Wasser gesammel haen. () d) Berechne das Teichvolumen nach 5 Tagen für den Fall, dass sich auf der Wiese zum Zeipunk des Erdrusches durch einen Regenguss schon 3000 m 3 Wasser gesammel haen. () a) W( + ) = 0,6 W() = W() + 0,(500 W()) mi W() in m 3 und in Tagen sei Erdrusch. () b) W(0) = 0 W() = , W(5) = 7, m 3. () c) W(0) = 000 W() = , W(5) = 8,6 m 3. () d) W(0) = 3000 W() = , W(5) = 505, m 3. () Aufgabe 3: Beschränkes Wachsum () Für die Zuch von Karpfen sind flache und großflächige Gewässer geeigne. Da an heißen Tagen ein Teil des Wassers verdunse, muss laufend frisches Wasser zugeführ werden. Bei einem 7000 m großen und durchschnilich 80 cm iefen Teich verdunsen an einem Tag 0,5 % des Wassers. a) Wie viel Kubikmeer Wasser müssen zum Ausgleich zugeführ werden? b) An jedem Abend werden 30 m 3 zugeführ. Besimme die Wassermenge nach ; und 0 Tagen sowie auf lange Sich. c) Zeige durch Rechnung, dass für das Wasservolumen V(n) nach n + Tagen gil: V(n + ) = V(n) + c (S V(n)). Berechne S. a) V(0) = 7000 m 0,8 m = 5600 m 3 Ausgleich durch 0,5 % von V(0) = 0, m 3 = 8 m 3 () b) V() = 560 m 3, V() = 5609,9 m 3, V(0) = 569,6 m 3 und V( ) = S = 30 m 3 :0,005 = 6000 m 3. () c) V(n + ) = V(n) + c (S V(n)) = V(n) + 0,005 (6000 V(n)) = V(n) ,005 V(n) = ,995 V(n).()

2 Aufgabe : Beschränkes Wachsum () Für die Zuch von Karpfen sind flache und großflächige Gewässer geeigne. Da an heißen Tagen ein Teil des Wassers verdunse, muss laufend frisches Wasser zugeführ werden. Bei einem 8000 m großen und durchschnilich 90 cm iefen Teich verdunsen an einem Tag 0,6 % des Wassers. a) Wie viel Kubikmeer Wasser müssen zum Ausgleich zugeführ werden? b) An jedem Abend werden 50 m 3 zugeführ. Besimme die Wassermenge nach ; und 0 Tagen sowie auf lange Sich. c) Zeige durch Rechnung, dass für das Wasservolumen V(n) nach n + Tagen gil: V(n + ) = V(n) + c (S V(n)). Berechne S. a) V(0) = 8000 m 0,9 m = 700 m 3 Ausgleich durch 0,6 % von V(0) = 0, m 3 = 3, m 3 () b) V() = 706,8 m 3, V() = 73,6 m 3, V(0) = 766, m 3 und V( ) = S = 50 m 3 :0,006 = 8333,3 m 3. () c) V(n + ) = V(n) + c (S V(n)) = V(n) + 0,006 (8333,3 V(n)) = V(n) ,006 V(n) = ,99 V(n).() Aufgabe 5: beschränkes Wachsum (5) Ein See wird sei Beginn der Sallhalezei im November über seine Zuflüsse durch m 3 reine Gülle pro Tag bereicher. Durch den Abfluss wird jeden Tag % der im See vorhanden Gülle wieder abgeführ. Den Sommer über war der See güllefrei. a) Berechne den Güllegehal G() nach =,, 3 und Tagen. () b) Formuliere die Gleichung, mi der sich G( + ) berechnen läss, wenn G() bereis bekann is. () c) Zeige, dass die Enwicklung des Güllegehales dem Gesez des beschränken Wachsums folg und gib die Säigungsgrenze S sowie die prozenuale Änderungsrae p an () a) G() =, G() =,99, G(3) =,97 und G() = 3,9 () b) G( + ) = 0,99 G() + mi G(0) = 0 () c) G( + ) = 0,99 G() + G( + ) G() = 0,0 [00 G()] () beschränkes Wachsum mi S = 00 m 3 und p = % () Aufgabe 6: Beschränkes Wachsum (5) In einem Land mi 80 Millionen Einwohnern kommen lau Saisik auf 000 Einwohner 9 Geburen und Todesfälle im Jahr. Die Saisik gib ferner an, dass im Durchschni jährlich 0000 Personen auswandern und 0000 Personen einwandern. a) Berechne die Einwohnerzahl Z() nach Jahren für =,, 3 und () b) Formuliere die Gleichung, mi der sich Z( + ) berechnen läss, wenn Z() bereis bekann is. () c) Zeige, dass die Enwicklung der Einwohnerzahl dem Gesez des beschränken Wachsums folg und gib die Säigungsgrenze S sowie die prozenuale Änderungsrae p an. () a) Z(0) = 80,00 Mio; Z() = 80,0 Mio; Z() = 80,07 Mio; Z(3) = 80,0 Mio; Z() = 80,5 Mio () b) Z( + ) = ,998 Z() mi Z(0) = 80,00 Mio () c) Z( + ) Z() = ,00 Z() = 0,00 (00 Mio Z()) () beschränkes Wachsum mi S = 00 Mio und p = 0,%. () Aufgabe 7: Beschränkes Wachsum (5) In einer Klinik wird einem Paienen durch eine Tropfinfusion ein (bis dahin im Körper nich vorhandenes) Medikamen verabreich. Dabei gelang je min eine gleich bleibende Menge von 3 mg des Medikamens ins Blu. Von der im Blu vorhandenen Menge werden je Minue % über die Nieren wieder ausgeschieden. a) Berechne den Gehal B() des Medikamenes im Blu für =,, 3 und Minuen. () b) Formuliere die Gleichung, mi der sich B( + ) berechnen läss, wenn B() bereis bekann is. () c) Zeige, dass langfrisig ein ewa gleich bleibender Medikamenenspiegel im Blu vorhanden sein wird. Wie hoch lieg er? () a) B(0) = 3 mg; B() =,9 mg; B() = 5,8 mg; B(3) = 8,7 mg und B() =,53 mg () b) B( + ) = 3 mg + 0,98 B() () c) B( + ) B() = 3 mg 0,0 B() = 0,0 (50 mg B()) () beschränkes Wachsum mi S = 50 mg und p = %. ()

3 Aufgabe 8: beschränke Abnahme (8) Am wurde bei einer Bank ein Kredi in Höhe von aufgenommen zu einen Jahreszinssaz von 8 % auf die im Laufe des jeweiligen Jahres noch besehende Resschuld. Es wurde vereinbar, dass jeweils am Jahresende 000 für die zu zahlenden Zinsen und für die Abzahlung des Kredis (Tilgung) an die Bank zu überweisen sind. a) Berechne schriweise, welche Resschuld am noch besand. b) Welcher Aneil (in Prozen) des bis dahin an die Bank überwiesenen Geldes waren Zinsen? a) B(0) = am.. 00 und B( + ) =,08 B() 000 für die folgenden Jahre ( B( + ) B() = 0,08 (5 000 B() beschränke Abnahme (!)).. 005: B() = : B() = : B(3) = B() = 898 () b) Insgesam wurden überwiesen 000 = 8000 () davon Tilgung = 80 () Zinsaneil = 698 () Prozenual = 77,7 % () Aufgabe 9: Beschränkes Wachsum bei der Farbdiche von bedrucken Soffen Um den opimalen Farbaufrag für einen blau zu färbenden Soff zu ermieln, wurde die Farbdiche D(a) (als Maß für die Farbinensiä oder Farbwirkung) für verschiedene Farbaufräge a gemessen. Die Meßwere wurden mi MS Excel in das folgenden Schaubild eingeragen, wobei das Programm die schwarze Kurve als Näherungskurve vorschlug. Nr Farbaufrag a gemessene in g/m Farbdiche D(a) 0,5000 0,86 0,6000 0,95 3 0,6875,00 0,850,5 5 0,965,38 6,000,55 7,3375,88 8,5500,9 9,850,8 0,50,65,3750,7,7375,85 3 3,375,90 3,500,9 5 3,9750,9 6,500,93 a) Beschreibe den Verlauf der gemessenen Kurve in Woren. Was läß sich für den weieren Verlauf der Kurve vermuen? Läss sich die Farbinensiä beliebig seigern oder wird sie bei noch dickeren Farbaufrägen wieder sinken? Begründe! b) Welchem (wohlbekannen!) Funkionsyp würdes du die schwarze Näherungskurve zuordnen? Warum is dieser Funkionsyp im Hinblick auf die in a) gewonnen Erkennnisse sicher nich geeigne? c) Wir wissen mehr als Excel und greifen auf den Ansaz für beschränkes Wachsum zurück. Ermile zunächs D(0) und S aus dem Schaubild. Berechne nun den Wachsumsfakor k für die markieren Meßwere Nr. 8 - und bilde anschließend den Mielwer. Warum läß sich der Ansaz D(a + ) D(a) = k (S D(a)) nich verwenden? 3

4 d) Berechne D(a) für a = ;,5; ;,5; 3; 3,5 und mi den in c) und d) ermielen Weren für S und k. e) Trage die Were aus e) in das Schaubild ein und vergleiche deine Näherungskurve mi der Näherungsparabel von Excel. In welchem Bereich is deine Kurve genauer als die von Excel? en: a) Je dicker der Farbaufrag, deso höher is die Farbinensiä. Die Farbinensiä läß sich jedoch nich beliebig seigern und näher sich einer Säigungsgrenze. Der Farbsoff wird sich mi wachsendem Farbaufrag wie eine dicke Schich auf dem Soff ablagern, deren Farbinensiä mi wachsender Schichdicke kaum noch zunimm. b) Es handel sich offensichlich um eine Parabel, die für geringe Farbaufräge gu mi den gemessenen Weren übereinsimm, aber bei größeren Weren immer mehr abweich und jenseis des Scheielpunkes seil wieder nach unen fäll. c) S 3 und A(0) 0 bieen sich an. d) S D(a) = k a [S D(0)] k = S D(a) a S D(0) = 3 D(a) a 3. Man erhäl k 8 = 0,6, k 9 = 0,383, k 0 = 0,36, k = 0,357, k = 0,335 und als Mielwer k 0,373 e) D() =,88; D(,5) =,3; D() =,58; D(,5) =,75; D(3) =,8; D(3,5) =,90 und D() =,9. f) Die bese Übereinsimmung is in dem Bereich, der für die Besimmung von k herangezogen wurde. Aufgabe 0: Beschränkes Wachsum bei einer chemischen Reakion Bei der Umwandlung eines Soffes A in den Soff B gemäß A B is die Hinreakion viermal so schnell wie die Rückreakion: v A B () = 0, c A () und v B A () = 0, c B (), wobei die Konzenraionen c A () und c B () nach jeweils Sekunden in mmol/ml angegeben werden. Nach + Sekunden is dann c A ( + ) = c A () v A B () + v B A () und c B ( + ) = c B () + v A B () v B A (). Die Gesamkonzenraion soll c 0 = mmol/ml sein, so dass c A () + c B () = c 0 = mmol/ml. a) Zeige, dass c A ( + ) c A () = 0,5 (S A c A () mi S A = 5 c0 und c B ( + ) c B () = 0,5 (S B c B () mi S B = 5 c0 b) Berechne c A (), c A () und c A (3) sowie c B (), c B () und c B (3) für c A (0) = mmol/ml und c B (0) = 0 mmol/ml. c) Berechne c A (), c A () und c A (3) sowie c B (), c B () und c B (3) für c A (0) = 0 mmol/ml und c B (0) = mmol/ml. d) Zeige, dass S A c A () = (S A c A (0)) 0,5 mi S A = 5 c0 und S B c B () = (S B c B (0)) 0,5 mi S B = 5 c0. e) Skizziere c A () und c B () für 0 0 mi c A (0) = mmol/ml und c B (0) = 0 mmol/ml. f) Skizziere c A () und c B () für 0 0 mi c A (0) = 0 mmol/ml und c B (0) = mmol/ml. g) Berechne die Geschwindigkeien v A B () = 0, c A () und v B A () = 0, c B () für = 0, 5 und 0 s und erkläre mi Hilfe dieser Zahlen, warum sich das Gleichgewich gerade im Verhälnis c a : c B = : sabilisier. en: a) c A ( + ) c A () = v A B () + v B A () = 0, c A () + 0, c B () = 0, c A () + 0, (c ges c A ()) = 0,5 ( 5 cges c A () c B ( + ) c B () = + v A B () v B A () = +0, c A () 0, c B () = +0, (c ges c B ()) 0, c B () = 0,5 ( 5 cges c B () b) siehe Tabelle c) siehe Tabelle d) c A ( + ) c A () = 0,5 (S A c A () S A c A ( + ) = 0,5 (S A c A ()) =... = 0,5 + (S A c A (0)) mi S A = 5 cges c B ( + ) c B () = 0,5 (S B c B () S B c B ( + ) = 0,5 (S B c B ()) =... = 0,5 + (S B c B (0)) mi S B = 5 cges

5 e) c A () = S A 0,5 (S A c A (0)) = ,5 und c B () = S B 0,5 (S B c B (0)) = 5 5 0,5 = c A () f) c A () = S A 0,5 (S A c A (0)) = 5 5 0,5 und c B () = S B 0,5 (S B c B (0)) = ,5 = c A () Tabelle zu b), c) und e), f): in Sekunden c A in mmol/ml c B in mmol/ml c A in mmol/ml c B in mmol/ml ,6 0, 0, 0,9 0, 0,6 0,5 0,85 3 0,3 0,7 0,75 0,85 0,5 0,75 0,875 0,85 5 0,5 0,775 0,9375 0, , 0,8 0, 0,8 Aufgabe : Beschränkes Wachsum bei der Einsellung eines Vereilungsgleichgewiches Als Modellversuch für die Erklärung naürlicher (chemischer oder biologischer) Gleichgewichszusände verwende man häufig das Heberohrexperimen: Dazu sehen zwei Messzylinder mi einer Querschnisfläche von A = 0 cm und zwei Heberohre mi A L = 0,5 cm und A R = cm zur Verfügung. Man füll den rechen Meßzylinder bis zur Höhe h R (0) und den linken Meßzylinder bis zur Höhe h L (0) mi Wasser. Die Messzylinder enhalen dann die Anfangsmengen V R (0) = A h R (0) und V L (0) = A h L (0). Nun ausch man mi den Heberohren kreuzweise solange Wasser aus, bis sich die Volumina in den beiden Messzylindern (prakisch) nich mehr ändern. Da die Heberohre sich immer genau so hoch wie der Messzylinder füllen, werden beim -en Schri von rechs nach links V R L () = A R h R () = 0, A h R () = 0, V R () und von links nach rechs V L R () = A L h L () = 0,05 A h L () = 0,05 V L () überragen. Die neuen Volumina sind dann V R ( + ) = V R () + V L R () V R L () und V L ( + ) = V L () V L R () + V R L (). Insgesam werden V 0 = 0 cm 3 Wasser auf die beiden Meßzylinder vereil, so dass V R () + V L () = 0 cm 3 = V 0. a) Zeige, dass gil V R ( + ) V R () = 0,5 (S R V R () mi S R = 3 V0 und V L ( + ) V L () = 0,5 (S L V R () mi S L = 3 V0. b) Berechne V R (), V R () und V R (3) sowie V L (), V L () und V L (3) für V R (0) = 0 cm 3 und V L (0) = 0 cm 3. c) Berechne V R (), V R () und V R (3) sowie V L (), V L () und V L (3) für V R (0) = 0 cm 3 und V L (0) = 0 cm 3 d) Zeige, dass (S R V R ()) = (S R V R (0)) 0,85 mi S R = 3 V0 und (S L V L ()) = (S L V L (0)) 0,85 mi S L = 3 V0. e) Skizziere den Verlauf von V R () und V L () für 0 30 und V R (0) = 0 cm 3 sowie V L (0) = 0 cm 3. f) Skizziere den Verlauf von V R () und V L () für 0 30 und V R (0) = 0 cm 3 sowie V L (0) = 0 cm 3. g) Berechne die überragenen Volumina V R L () 0,0 V R () und V L R () = 0,05 V L () für = 0, 0, 0 und 30 und erkläre anhand dieser Were, warum sich das Gleichgewich gerade im Verhälnis V R : V L = : einsell. 5

6 en a) V R ( + ) = V R () + V L R () V R L () = V R () + 0,05 V L () 0, V R () = V R () + 0,05 (V 0 V R ()) 0, V R () = 0,05 V 0 + ( 0,5) V R () V R ( + ) V R () = 0,05 V 0 0,5 V R () = 0,5 ( 3 V0 V R () und V L ( + ) = V L () V L R () + V R L () = V L () 0,05 V L () + 0, V R () = V L () 0,05 V L () + 0, (V 0 V L ()) = 0, V 0 + ( 0,5) V L () V L ( + ) V L () = 0, V 0 0,5 V L () = 0,5 ( 3 V0 V R (). b) siehe Tabelle c) siehe Tabelle d) V0 V R ( + ) = ( 0,5) ( V0 V R ()) = 0,85 + ( V0 V R (0)) und V0 V L ( + ) = ( 0,5) ( V0 V L ()) = 0,85 + ( V0 V L (0)) e) V R () = V0 0,85 0 ( V0 V R (0)) = 0 0,85 und V L () = V0 0,85 0 ( V0 V L (0)) = + 0 0,85 = 0 V R () f) V R () = 3 V0 0,85 ( 3 V0 V R (0)) = ,85 und 3 3 V L () = V0 0,85 0 ( V0 V L (0)) = 0 0,85 = 0 V R () Tabelle zu b), c) und e), f): in Sekunden V R () in cm 3 V L () in cm 3 V R () in cm 3 V L () in cm ,5 0,5,85 8,5 9,07 0,93 3,573 7,7 8,7,9 3,9 6,8 8,,59 5 3,7 6,9 8,5,85 0 5,35,6 7,3,68 0 6, 3,59 6,80 3,0 30 6,6 3,38 6,70 3,30 6