Mathematik Name: Lösungsvorschlag Nr.6 K2 Punkte: /30 Note: Schnitt:

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Lars Lange
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1 Pflichttil (twa 40 min) Ohn Taschnchn und ohn Fomlsammlung (Dis Til muss mit dn Lösungn abggbn sin, h d GTR und di Fomalsammlung vwndt wdn düfn.) Aufgab 1: [P] Bildn Si di st Ablitung d Funktion 1 f () Lösungsvoschlag 1: f '( ) 1 Aufgab : :[P] Bstimmn Si di Stammfunktion von g ( ), di duch dn Punkt P(1/1) ght. Lösungsvoschlag : Jd Stammfunktion ist von d Gstalt 1 Gc ( ) d d ln c ln c 1 Nun ist c so zu bstimmn, dass gilt Gc (1) ln1 c 1. Da ln(1) 0 ist, muss 1 c 1 sin, also c Also ist di gsucht Stammfunktion G ( ) ln c Aufgab : [P] Lösn Si di Glichung Lösungsvoschlag : Ein Podukt ist gnau dann Null, wnn in sin Fakton Null ist. Damit ist di Glichung gnau dann Null, wnn ntwd 9 0 od 4 0 ist. Also sind di stn bidn Nullstlln 1/. Di ditt Lösung ist di Lösung d Glichung 4 od ln(4) Damit gilt 1 1 ln(4) ln( ) ln() Aufgab 4: [4P] Bstimmn Si dn Abstand ds Punkts A(5-0) von d Ebn E : 7. Spigln Si dn Punkt an d Ebn. Lösungsvoschlag 4: Est Mthod: Am infachstn bstimmt man dn Abstand mit d Hssschn Nomalnfom d Ebn: E : od E : 0.Damit ist d Ab stand d Zwit Mthod: Schnid di Gad g snkcht zu E duch A mit d Ebn E. D Abstand diss Schnittpunkts S zu A ist d Abstand. Damit gibt sich dann auch sofot d gspiglt Punkt, ist von A dopplt so wit wg wi S.

2 5 0 Di Gad g snkcht zu E duch A ist g : t 1. Si S(/y/z) d 0 Schnittpunkt von g und E, so ligt S auf E, füllt also di Ebnnglichung y z 7 und S ligt auf g, d.h. s gibt in t mit. Stztn wi di di Glichungn d Ga- t 0 t 7 od dn in di Ebnnglichung in, haltn wi: t 9t 7 od 10t 10, d.h. t 1. Damit ist d Schnittpunkt OS 1 1. D Abstand d ds Punkts von d Ebn ist also d AS D an E gspiglt Punkt A hat di Koodinatn, di man bkommt, wnn man von A aus dopplt so wit ght wi zu S. Also gilt A' Damit ist A (5/-1/-6) Aufgab 5: [P] Ggbn sind in Gad g und in Punkt A im Raum. A ligt nicht auf g. A wid an d Gadn g gspiglt. Bschibn Si in Vfahn, um dn Bildpunkt A' zu bstimmn. Lösungsvoschlag 5: Di Bstimmung von A folgt z.b. in folgndn Schittn 1. Aufstlln von E snkcht zu g duch A. Stützvkto 0A und Nomal = Richtungsvkto von g.. Schnittpunkt S von E und g bstimmn.. D Otsvkto von A ist OA ' OA AS.

3 Wahltil (twa 40 min) Mit GTR und Fomlsammlung nach Abgab ds Pflichttils kann d GTR und di Fomlsammlung vwndt wdn. Aufgab 6: Ggbn ist fü >0 di Funktion f Lösungsvoschlag 6: Ih Schaubild si C. f ( ) a) [P] Skizzin Si fü = das Schaubild C fü positiv und bstimmn Si di Asymptot und das Etmum. b) [4P] Zign Si, dass F () in Stammfunktion von f() ist. Bchnn Si fü = 4 di Fläch unt d Kuv von = bis 5. Wi goß ist di Fläch bi blibigm? c) [5P] Di Zuwachsat d von in Schimmlpilzkultu bdcktn Fläch wid fü t 50 t>0 modllhaft bschibn duch di Funktion g(t) t (t in Tagn, g(t) in cm po Tag). Ih Schaubild si K. Skizzin Si K fü t zwischn 0 und 8. Wlch Fläch bdckt di Kultu nach 6 Tagn, wnn si zu Bginn in Fläch von 10 cm innimmt? Wann wächst di Schimmlpilzkultu mit,75 cm po Tag? a) D GTR lift fü f ( ) Di Ablitung d Funktion f ( ) ist '( ) f Di Nullstll d Ablitung ist (Podukt ist Null, wnn in d Fakton Null ist!). Damit ist das Etmum bi =. Da f bi = inn Bichswchsl von

4 Plus nach Minus hat, ist dis in Hochpunk, nämlich P(/. 147) D GTR lift dasslb Egbnis. Di -Achs (y=0) ist di Asymptot d Funktion, da p( ) 0 fü und di -Funktion auch bi d Multiplikation mit inm Polynom das Vhaltn fü goß bstimmt. Tipps GTR: sih Nummn 1 bis 6, vtl. auch N. 7 b) Wi müssn zign, dass di Ablitung von F () di Funktion f ( ) ist, dann ist F ja in Stammfunktion von f (so sind Stammfunktionn dfinit). Wi litn also F ab und haltn. 1 1 F' () Da d Gaph von f im Flächnbich imm obhalb d -Achs ligt, ist di Fläch das Intgal. Das Intgal ist fü = 4: d 16,97 laut GTR, sih Nummn 9 bis 11 (am bstn ist N. 9) Fü blibigs gibt sich mit Hilf d Stammfunktion (dis ght nicht mit dm GTR!!) d Übigns, wnn man hi = 4 instzt, hält man das Egbnis von obn. c) D GTR lift fü g(t) 50 t t

5 D Zuwachs d Fläch innhalb d stn schs Tag ist: 6 t 0 50 t d 14, Damit ist d Bstand nach 6 Tagn 4, cm, da ja zu Bginn di Schimmlfläch bits 10 cm btug. Si t so, dass di Schimmlpilzkultu,75 cm po Tag wächst, dann gilt: t 50,75. t D GTR lift damit t =,44 und t = 4,75 Tipps GTR: sih Nummn 1, 9 (od 6) Aufgab 7: [4P] Nach Nwton wämt sich in Flüssigkit, dn Tmpatu nidig als di Umgbungstmpatu ist, zu jdm Zitpunkt popotional zu Diffnz von Eignund Umgbungstmpatu ab. a) Stlln Si fü dn Tmpatuvlauf T() in Diffntialglichung auf. Di Raumtmpatu wd mit S bzichnt, di Popotionalitätskonstant mit k. b) Gbn Si in Lösung d DGL an. c) Bstimmn Si di konkt Tmpatukuv, wnn di Raumtmpatu 0 btägt, di Anfangstmpatu d Flüssigkit 10 und di Tmpatu nach 10 min auf 15 gstign ist. Lösungsvoschlag 7: a) Da di Ändung d Tmpatu T () ist, ist di DGL: T '( ) k S T( ) b) Di Lösung d DGL ist di Funktion fü bschänkts Wachstum, nämlich T( ) S c k c) Di Raumtmpatu ist 0, also ist S 0. Da di Tmpatu am Anfang k0 T 0 10 btägt, gilt 10 T 0 0 c 0 c. Also ist c 0. Nach 10 k 10 min ist di Tmpatu 15, also gilt 15 T(10) 0 0. Damit ist k 10 0 k od Duch Logaithmin haltn wi k 10 ln od ln() ln(4) ln(4) ln() k = Damit ist di gsucht Tmpatufunktion T( ) 0 0

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