SS 2017 Torsten Schreiber

Transkript

1 SS 7 ostn Schib 7

2 D Eukliisch Vktoaum wi uch i i gbilt. Dis sthn fü i i Achsn s Raums un biln in, a si um Einn aufinan sthn un um Ann i Läng ist. Wnn in Ga uch wi Punkt finit wi so hält man im Bich Vkton i sognannt. Dis bilt man, in m man inn Statvkto wählt un ann n mittl Diffn aus Enpunkt un bstimmt. Um i Lag wi Gan untsuchn u könnn, wn im stn Schitt i Richtungsvkton auf untsucht. ifft is u, so könnn i Gan ntw o intisch uinan lign. Bi Unabhängigkit wn i Gan un as ntsthn Glichungssstm glöst. Bkommt man in inutig Lösung haus, so istit in. Wnn in Wispuch als Lösung hauskommt, so vlaufn i bin gan. Damit Abstan wischn wi Gan bchnt wn kann, müssn is ntw winschif o uinan vlaufn. D Abstan ins u in Gan ist mit m wi paalll vlaufn Gan intisch. SS 7 ostn Schib 7

3 hmn, i Si nach is Vanstaltung knnn solltn Wi bilt man in Ebn uch Punkt? Wlch Dastllungsfomn Ebn im gibt s? Was ist i Hss sch Nomalfom? Woin lign i Votil paamtfin Fom? Bchnungsmthoik u Ebnnbstimmung. Laglation von Ga/ Ebn u in Ebn. Abstanbchnung fü Gan un Ebnn. Aufgabn un Übungn u n bnanntn hmn. SS 7 ostn Schib 7

4 ) c b a Sin i folgnn Vkton lina unabhängig? c b a,, ) Ggbn sin i folgnn vi Vkton,,, Biln is Vkton in Basis Bgünung)? Wi goß ist i maimal Dimnsion, i uch is Vkton aufgspannt wn kann?,, SS 7 7 ostn Schib

5 ) Lign i folgnn Punkt auf in Gan? a ) b ) c 6 ) ) Bstimmn Si i Paamtfom Gan un gbn n Lag uinan an. g a b g c 8 ) ) ) ) ) Wi lign i folgnn Gan uinan? g g 8 6 SS 7 ostn Schib 7

6 Ein Ebn im wi ähnlich wi in Ga uch Ots- un Richtungsvkton finit, wobi i Paamtfom mittls inm Ots-un wi ughöign Richtungsvkton gbilt wn kann. Bi Bilung Ebnnglichung ist i lina Unabhängigkit Vkton Voausstung. R Bispil ) ) c b a ) ) ) ac ab a R, SS 7 7 ostn Schib

7 Di sognannt paamtfi Dastllung basit auf Hss schnnomalfom un lautt in allgminn Bschibung. Voausstung u Bilung ist s Stllungsvktos. Bi m Stllungsvkto hanlt s sich um n Vkto, snkchtauf ughöign Ebn stht. E wi mittls äußm Poukt Stllungsvkton gbilt. Bispil c b a R, 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) n c b a 6 6 ) 6 6 SS 7 76 ostn Schib

8 ) Biln Si basin auf i ggbn Punkt all i paamtfi un i Paamtastllung Ebn, sofn is istit? a) b) c) a ) b ) c ) a ) b ) c ) a ) b ) c ) SS 7 ostn Schib 77

9 Will man i ggnsitig Lag von in Gan u in Ebn näh bstimmn, so wn i bin Glichungn in Paamtfom glichgstt un mittls Gaußvfahn glöst. Es ntsthn auch untschilich Lösungsklassn Kin Lösung Di Ga vläuft paalll u Ebn Ein Lösung Es istit in Schnittpunkt wischn Ga un Ebn Unnlich Lösungn Di Ga ligt in Ebn Bispil R,, g g ) ) Schnittpunkt 8 SS 7 78 ostn Schib

10 Will man i ggnsitig Lag von in Ebn u in Ebn näh bstimmn, so wn i bin Glichungn ähnlich wi bi Gan/ Ebnn glichgstt un könnn u.a. bnfalls mittls Gaußvfahn glöst. Da s sich bi m ughöign Vktoaum um as Eukliisch Sstm hanlt, ntfällt i Möglichkit winschifn Lag. Dauch ntsthn untschilich Lösungsklassn Kin Lösung Unnlich Lösungn I Unnlich Lösungn II Di st Ebn vläuft paalll u witn Ebn Es ntstht aufgun s Glichungssstms in Wispuch bw. sin i bin Stllungsvkton lina abhängig. Di st Ebn schnit i wit Ebn Schnittga) Di Lösungsmng s Glichungssstms ist von invaiabln abhängig bw. sin i Stllungsvkton lina unabhängig. Di st Ebn ligt in witn Ebn Intität). Di Lösungsmng s Glichungssstms ist von wi Vaiabln abhängig bw. sin i Stllungsvkton lina abhängig un ughöig Abstan ist Null. SS 7 ostn Schib 7

11 Da s lativ kompliit ist i Glichungn mit Unbkanntn mittls Gaußvfahn nach n ichtign Vaiabln fiustlln, mpfihlt s sich mittls Stllungsvkton Ebnn i Lag Ebnn u klassifiin. Dauch gibt sich i folgn Lösungsmthoik. Paamtfin Fom Es wi im stn Schitt mittls Stllungsvkton i paamtfi Fom gbilt.. Abhängigkit Richtungsvkton Sin i bin Stllungsvktonlina abhängig muss mittls Abstan Paalllität o Intität gpüft wn. Sonst ligt in Schnittga vo.. Äußs Poukt Duch Bilung s äußn Poukts Vktopoukt) Stllungsvkton bin Ebnn hält man n Richtungsvkto Schnittgan.. Gminsam Punkt Mittls Voblgung in blibign Vaiabln un anschlißn Lösung s ntsthnn Glichungssstms kann in gminsam PunktStatvkto) bchnt wn. SS 7 ostn Schib 8

12 Bispil R δ δ,,, 6 n n Paamtfi Dastllung 6 n n Richtungsvkto Schnittgan Statvkto Schnittgan ε g Schnittgan SS 7 8 ostn Schib

13 Biln Si i paamtfi Dastllung un i Paamtfom folgnn? ) ) c b a ) ) ) Bstimmn Si i jwils an Dastllungsfom Ebnn. ) Wi lign i folgnn Ebnn uinan? a) b) δ SS 7 8 ostn Schib

14 Zu Bchnung von inm Abstan finin wi n PunktQ sowi i Ga in Fom g P b mit als Statpunkt un als Richtungsvkto Gan n un i P n n n n n ughöig Ebn in paamtfin Dastllung. Aufgun paamtfin Fom Ebn gibt sich ikt Stllungsvkto Di Abstän wn wi folgt finit Punkt u Ebn n Q P ) n b n a b c a b c Hsssch Nomalfom a b c n a b c) Ga/Ebn u Ebn P P n ) n SS 7 ostn Schib 8

15 Ebn u Ebn paalll) Punkt u Ebn 8 6, 8 7 ) 8 n n P P ) ) Q c b a c b a 8, ) ) ) SS 7 8 ostn Schib

16 . Punkt u Ebn paalll). Ga u Ebn Q ) g SS 7 8 ostn Schib

17 . Ggbn sin i Punkt A,,), B,,) un C,,8). a) Bstimmn Si i Ganglichung uch i Punkt A un B. b) Bchnn Si sofn möglich n Abstan von C u. SS 7 ostn Schib 86