Rotationskörper 2. Teil 2. Lösungen zu Teil 1. Datei Nr LC. Juli Friedrich Buckel. Internatsgymnasium Schloß Torgelow

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Klemens Weiner
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1 Rotationskörpr Til Lösungn zu Til Dati Nr. 8 LC Juli Fridrich Buckl Intrnatsgymnasium Schloß Torglow

2 Inhalt Aufgabn: Rotation um di -Achs Lösungn dazu Aufgabn: Rotation um di y-achs 7 Lösungn dazu 8

3 Rotationskörpr Aufgabn : Rotation um di -Achs 7 Aufgabn: Rotation um di -Achs () Ein Trapz wird dfinirt durch di Gradn g: y = + und h: y = + sowi = und =. Drht man diss Virck um di y-achs, ntstht in Hohlkörpr. Brchn dssn massivs Volumn. () Ggbn: f = + Drh das von K und dr -Achs bgrnzt Parablsgmnt um di -Achs. () Drh nbnsthnd Trapzfläch um di -Achs. Brchn das Volumn ds Rotationskörprs. () Ein Paraboloid ntstht durch Drhn ins Parablsgmnts. Wnn wir dn Radius ds Grundkriss mit r und di Höh bis zum Schitl mit h bzichnn, rgibt sich in Forml für das Volumn. Brchn dis. h r () f = Drh di gfärbt Fläch um di -Achs. (6) f + =. Di Fläch zwischn K, dr waagrchtn Asymptot und dn Gradn = und = 6 wird um di y-achs gdrht. f = K, di Tangnt im Schnittpunkt mit dr y-achs und di Grad = bgrnzn in Fläch. Dis soll um di -Achs rotirn. (7) (8) f = ln( + ) K, di Koordinatnachsn und di Grad = bgrnzn in Fläch. Dis soll um di -Achs rotirn. () (6) (7) (8)

Brchn das Volumn ds Rotationskörprs. () Ein Paraboloid ntstht durch Drhn ins Parablsgmnts.

4 Rotationskörpr Aufgabn : Rotation um di -Achs 8 Lösungn () Ein Trapz wird dfinirt durch di Gradn g: y = + und h: y = + sowi = und =. Drht man diss Virck um di y-achs, ntstht in Hohlkörpr. Brchn dssn massivs Volumn. ( ) ( ) V =π + d π + d ( ) ( 6 ) V =π d 6 6 V =π + d =π + = V =π( + 8) = 8π 88 (VE) () Ggbn: f = + Drh das von K und dr -Achs bgrnzt Parablsgmnt um di -Achs. ( ) V =π y d =π + d ( ) V =π d = ( ) ( 6 6 ) 9 ( 6 6 ) V =π V =π + + V = π + + π + + V = π + + π + + V = π + π + + V = π π = π π 6,8 (VE).

( ) ( ) V =π + d π + d ( ) ( 6 ) V =π 6 + + d 6 6 V =π + d =π + = V =π( + 8) = 8π 88 (VE) () Ggbn: f = + Drh das von K und dr -Achs bgrnzt

5 Rotationskörpr Aufgabn : Rotation um di -Achs 9 () Drh nbnsthnd Trapzfläch um di -Achs. Brchn das Volumn ds Rotationskörprs. C B Es ist A ( ) und B. A F y Di Strck AB hat dahr di Stigung mab = = =. Di Grad g = (AB) hat dahr dis Glichung: y = ( ) y = Fällt man von B das Lot auf di -Achs bis F, rhält man das Rchtck OFBC. Diss wird bi Drhung um di -Achs zu inm Zylindr mit dm Volumn: V =π r h=π 6 = 8π. Nun drhn wir das Drick ABF : =π ( ) =π ( + ) =π + V d 8 d V = π 6 6+ π + = π π= π Odr man vrwndt di Kglforml (was dutlich schnllr ght): V = π r h= π 6 = π Gsamtvolumn: V = V V = 8π π = π 7, (VE) () Ein Paraboloid ntstht durch Drhn ins Parablsgmnts. Wnn wir dn Radius ds Grundkriss mit r und di Höh bis zum Schitl mit h bzichnn, rgibt sich in Forml für das Volumn. Brchn dis. h r Dr obr rcht Eckpunkt ds Sgmnts hat dis Koordinatn: Ph r Aus dm Ansatz y = f = k folgt durch Einstzn: Di Parabl hat dahr di Glichung: Volumn ds Paraboloids: r y = f = = r h r = k h k = h h h r π h h V =π y d =π r d =π = r h= πr h h r h

Diss wird bi Drhung um di -Achs zu inm Zylindr mit dm Volumn: V =π r h=π 6 = 8π.

6 Rotationskörpr Aufgabn : Rotation um di -Achs () f = Drh di gfärbt Fläch um di -Achs. Nullstll: = = 6 = = = = Quadrirn: N ( ), N ( ). Volumn: V =π d =π d V =π8 6 +, 6 dnn V =π 8 + 6,8 (VE) d= + C= (6) f + =. Di Fläch zwischn K, dr waagrchtn Asymptot und dn Gradn = und = 6 wird um di y-achs gdrht V =π d d d =π + =π V =π 6 8, =π π 6 Nbnrchnungn: b b b b 8 8 = 8 d 8 = = a a a a b b b 6 6 = 6 d 6 = = a a a b a Di waagrcht Asymptot, di -Achs und di Gradn = und = 6 bgrnzn in Rchtck, das bi Drhung um di -Achs dn Hohlzylindr rzugt, dr sich im Körpr bfindt. Zylindrvolumn: V =π r h=π = π,7 Gsamtvolumn: V = V V = 7,6

Di Fläch zwischn K, dr waagrchtn Asymptot und dn Gradn = und = 6 wird um di y-achs gdrht.

7 Rotationskörpr Aufgabn : Rotation um di -Achs (7) f = K, di Tangnt im Schnittpunkt mit dr y-achs und di Grad = bgrnzn in Fläch. Dis soll um di -Achs rotirn. Tangnt in Q ( I ): f' m = f' = =, T T: y = + Dr Körpr nthält in kglförmig Aushöhlung. =π =π =π = π V d d V = π, = π Kglvolumn: Radius r =, Höh h =. V = π r h= π 7,7 Gsamtvolumn: V = V V,7 (VE)

Tangnt in Q ( I ): f' m = f' = =, T T: y = + Dr Körpr nthält in kglförmig Aushöhlung.

8 Rotationskörpr Aufgabn : Rotation um di -Achs (8) f = ln( + ) K, di Koordinatnachsn und di Grad = bgrnzn in Fläch. Dis soll um di -Achs rotirn. V =π ln d 6 8 ln ln + =π d Zrlgung in Tilintgral: [ ] V = 6d = 6 = 6 V = 8 ln + d Substitution: z = + dz = d + + V = 8 lnz dz = 8[ z lnz z] = 8 ( + ) ln( + ) ( + ) ln + = V = 8 + ln + 8 ( ) Substitution: z = + dz = d V = ln + d + V = lnz dz Partill Intgration: u' = u = z v= ( lnz) v' = lnz z ( ) ( ) V = z ln z ln z dz = z ln z z ln z z V = + ln + + ln ln ln+ V = + ln + + ln + + Gsamtintgral: ( ( + ) ) ( ( ) ) + + V =π 6 8+ ln ln + ln + V =π 6 + ( + ) ln( + ) + ( + ) ln ( + )

) ( + ) ln + = V = 8 + ln + 8 ( ) Substitution: z = + dz = d V = ln + d + V = lnz dz Partill Intgration: u' = u = z v= ( lnz) v' = lnz z + + + ( ) ( ) V = z ln z

9 Rotationskörpr Aufgabn: Rotation um di y-achs Aufgabn: Rotation um di y-achs B (9) Drh das rchts dargstllt Trapz um di y-achs. B. mit A ( -) und () f =. Drh di obr Fläch und dann di untr Fläch um di y-achs. A () f =. Das dargstllt Parablsgmnt soll um di y-achs rotirn. () f = Fläch um di y-achs drhn () Di bidn Kurvn y = und y = bgrnzn nbnsthnd Fläch. Si soll um di y-achs rotirn. () f = Di schraffirt Fläch drht um di y-achs. Wlch Mng Flüssigkit, kann man anschlißnd in dn trichtrförmign Hohlraum fülln? () f = + + Wi Aufgab () (6) f = ln( 8 ) Di Kurv dazu hat dn Hochpunkt H ln6. K bgrnzt mit dn Koordinatnachsn und dr Parallln zur y-achs durch dn Hochpunkt in Fläch. Wlchn Inhalt hat dr Rotationskörpr, dr bi Drhung disr Fläch um di y-achs ntstht.

() f = Fläch um di y-achs drhn () Di bidn Kurvn y = und y = bgrnzn nbnsthnd Fläch. Si soll um di y-achs rotirn. () f = Di schraffirt Fläch drht um di y-achs.

10 Rotationskörpr Aufgabn: Rotation um di y-achs Lösungn B (9) Drh das rchts dargstllt Trapz um di y-achs. B. mit A ( -) und Stigung dr Strck AB: y mab = = = y = y = Glichung dr Gradn g = (AB): Volumn ds Rotationskörprs: y Dazu muß man di Kurvnglichung nach auflösn : = = y ( ) [ ] [ ] V =π dy =π y + dy =π y + y =π + 8 π 8 = 6π A () f =. Drh rst di obr Fläch und dann di untr Fläch um di y-achs. Dr Eckpunkt ist P ( I ). Aus y = folgt = y. Volumn ds obrn (rotn) Rotationskörprs: V =π dy =π y dy =π y = π Volumn ds untrn (blaun) Rotationskörprs. Dazu rzugt man inn Zylindr durch Drhung ds Rchtcks, dann subtrahirt man V : Vzyl r h 6 =π =π = π V = V V = π π= π 8 zyl () f =. Das dargstllt Parablsgmnt soll um di y-achs rotirn. Achtung: Zur Erzugung ds Paraboloids richt di Rotation dr rchtn Hälft!!! Aus y = = y+ = y [ ] [ ] v =π dy =π y + dy =π y + y =π 6 + π 8 = 6π

mit A ( -) und Stigung dr Strck AB: y mab = = = y = y = Glichung dr Gradn g = (AB): Volumn ds Rotationskörprs: y Dazu muß man di Kurvnglichung nach auflösn : = = y ( ) [ ] [ ] V =π dy =π y + dy =π y

11 Rotationskörpr Aufgabn: Rotation um di y-achs () f = (Schwr Aufgab!!!) Fläch um di y-achs drhn. Aus y = = y = y y = y y= V = π dy = π y dy = π = π y y = π 6 = π 8 = π N = y= = = y= = = +. Di Nullstll ist bi V =π dy =π y'd =π d = π d =π V =π =π =π =π =π 8 = π () Di bidn Kurvn y = und y = bgrnzn nbnsthnd Fläch. Si soll um di y-achs rotirn. B A Zurst brchnt man di Schnittstlln und. C Nun wrdn dr obr und dr untr Drhkörpr gtrnnt brchnt: Für di obr Funktion gilt: y = y' = yb= B= 6 6 ya= A= V =π dy =π y'd =π d = π d = π = π Für di obr Funktion kann man dn Drhkörprinhalt auf zwi Artn brchnn: Aus y = = y also ya= ya= 6 yc= yc= V =π dy = π y dy = π y = π 9= π odr so: ya= A= A= A= 6 yc= C= C= C= V =π dy =π y' d =π 6 d = 6π d = 6π = π= π Gsamtvolumn: V = V + V = π+ π = π 6

C Nun wrdn dr obr und dr untr Drhkörpr gtrnnt brchnt: Für di obr Funktion gilt: y = y' = yb= B= 6 6 ya= A= V =π dy =π y'd =π d = π d = π = π Für di obr Funktion kann man dn Drhkörprinhalt auf

12 Rotationskörpr Aufgabn: Rotation um di y-achs 6 ) f = mit f'() = = Di schraffirt Fläch drht sich um di y-achs. Wlch Mng Flüssigkit, kann man anschlißnd in dn trichtrförmign Hohlraum fülln? C Ich wrd in Ring. Hir wird also in Ring rzugt. Dafür habn wir in Spzialforml ntwicklt, mit dr das ganz infach ght: Volumn ds Rings: B W =π =π =π =π A 8 V f' d d d = π = π = π B A Dabi ntstht in rundr Körpr, dr in trichtrförmig Öffnung hat. Man kann dis bis hinauf zum Randpunkt C mit inr Flüssigkit fülln. Um drn Volumn zu bkommn, muß man dn Bogn BC um di y-achs drhn: Dazu bnötigt man dn Hochpunkt C. Aus f' ( H ) = folgt = = = H = Volumn ds Trichtrs: yc= C= / Tr =π =π = =π yb= B= V dy y'd... Di Zwischnrchnung muß man nicht noch inmal machn, si wurd schon bi dr Muld durchgführt, handlt s sich doch um dasslb Intgral. 6 VTr =π 6 6 =π =π = π / () f = + + f' = + Di schraffirt Fläch drht sich um di y-achs. Wlch Mng Flüssigkit, kann man anschlißnd in dn trichtrförmign Hohlraum fülln? B C Volumn ds Rings: Dazu bnötigt man di Nullstlln von f: ± = = = ( ± ) = 6 Aus = 6 folgt dahr =± 6. ( = - hat kin Lösungn. ) N B 6 W =π =π ( + ) =π ( + ) =π A 6 6 V f' d d d = π = π 6 8 = 8π 6 Volumn ds Trichtrs: (Info: Dr Hochpunkt ist C( ) ) Tr yc yb C 6..so.. 8 ( ) V =π dy =π y'dy = B = π + = π + = π = π 6 6 A

Dafür habn wir in Spzialforml ntwicklt, mit dr das ganz infach ght: Volumn ds Rings: B W =π =π =π =π A 8 V f' d d d = π = π = π B A Dabi ntstht in rundr Körpr, dr in trichtrförmig Öffnung hat.

13 Rotationskörpr Aufgabn: Rotation um di y-achs 7 (6) f = ln( 8 ) K bgrnzt mit dn Koordinatnachsn und dr Parallln zur y-achs durch dn Hochpunkt in Fläch. Wlchn Inhalt hat dr Rotationskörpr, dr bi Drhung disr Fläch um di y-achs ntstht. Brchnung dr Nullstlln: Bd.: Argumnt = d.h. 8 = 8 + = 8± 6 8± 6 8±,7 N = = = = ± 7,87 Brchnung ds Hochpunkts: 8 f = ln( 8 ) f' =. 8 y f ln 6 ln6 Aus f' ( E ) = folgt E = mit = = ( ) = also H ln6 E Volumn ds Rotationskörprs: yh H 8 V =π dy =π y'd =π d = 8 yn N,,7 So kommt man nicht witr. Dr Trick bstht darin, di Logarithmusfunktion so zu zrlgn: f = ln( 8 ) = ln ( 8 ) = ln + ln( 8 ) Dann rhält man in günstigr Ablitung: f' = + = Damit vrläuft di Brchnung günstigr: yh H V =π dy =π y'd =π + d =π + d 8 8 yn N,,7,7 Aufspaltung in zwi Intgral :,7,7 d= 8 d Substitution: u = 8 = u + 8 d = du 8,7 ( u + 6u+ 6 ) u+ 8 6 = u + 6u + 6 ln u du du u 6 du = = =,7 + + u u u,7,7,7 = ln,7 6,7 6 ln,7,7 Zusammngstzt: V π 8 +,7

8 y f ln 6 ln6 Aus f' ( E ) = folgt E = mit = = ( ) = also H ln6 E Volumn ds Rotationskörprs: yh H 8 V =π dy =π y'd =π d = 8 yn N,,7 So kommt man nicht witr.

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