Aufgabe 1: Transformationen 25 Pkt. 1.1 Berechnen und skizzieren Sie die Werte der drei Signale für k = 0,...,5 und

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August Claus Zimmermann
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1 Aufgab 1: Transformationn Aufgab 1: Transformationn Ggbn sin di diskrtn Signal ) k 1 v 1 k) = sin Ω 0 k) ε k), 2 v 2 k) = v 1 k 2), ) k 1 v 3 k) = sin Ω 0 k) ε k 2), Ω 0 R Brchnn und skizzirn Si di Wrt dr dri Signal für k = 0,...,5 und Ω 0 = π 2! 1.2 Wlch dr Signal sind a) bschränkt, b) kausal und c) zitbgrnzt? 1.3 Bstimmn Si di z-transformirtn dr dri Signal. Gbn Si jwils auch dn ROC an! 1.4 Existirn di zitdiskrtn Fourir-Transformirtn V 1,2,3 jω ) dr dri Signal v 1,2,3 k)? Bgründn Si Ihr Aussagn! Bstimmn Si das DTFT-Spktrum V 1 jω ) von v 1 k). Ist das Spktrum kontinuirlich, diskrt, priodisch, bschränkt, bgrnzt? 1.5 Wisn Si di Linarität dr diskrtn Fourir-Transformation DFT) nach und diskutirn Si twaig Einschränkungn. Zusatzaufgabn: 1.6 Was folgt aus dr Eignschaft, dass das DFT-Spktrum frqunzdiskrt ist, für das zughörig Signal im Zitbrich? Zu wlchn Problmn kann das führn, wnn Si das Spktrum ins gmssnn Signals bstimmn möchtn? Wodurch kann man in dism Fall in Vrbssrung rziln? 1.7 Si habn inn FFT-Algorithmus zur Vrfügung, mit dm Si in DFT ffizint brchnn könnn. Bschribn Si mindstns in Möglichkit, wi disr Algorithmus dazu vrwndt wrdn kann, in IDFT zu brchnn! Di Zusatzaufgabn sind zum Errichn dr volln Punktzahl disr Aufgab 25 Pkt.) nicht rfordrlich.

2 Aufgab 2: Abtastthorm Aufgab 2: Abtastthorm Ggbn si das folgnd Btragsspktrum U jω) ds rlln Signals u t): Uj2 f) f/mhz Es wist im Brich 6 < f/mhz < 8 in nicht vrschwindnds Spktrum auf U j2π 6MHz) = U j2π 8MHz) = 0.). Im Folgndn wrdn zwi vrschidnn Systm a) und b) untrsucht, di jwils in abgtastt Vrsion ds Signals ut) britstlln: u t) v t a ) A/D va k) a f y a k) A Systm a) H b j ) v b t) A/D b f A m a k) v k) b m b k) y b k) Systm b) All Filtr und A/D-Wandlr sin idal. 2.1 Skizzirn Si das Btragsspktrum U jω) ds Signals ut) im Brich 10 < f/mhz < 10. Wlch Symmtrin wist diss auf Bgründung)? 2.2 Spzifizirn und analysirn Si Systm a). Lgn Si für dis Aufgab das Abtastthorm für rll Tifpass-Signal zu Grund. a) Bstimmn Si dn Wrt dr minimal zulässign Abtastfrqunz f a,tp A,min! b) Zichnn Si das Btragsspktrum ) V TP a jω ds Signals v TP a k) im Brich π < Ω < 2π! Wlch Symmtrin wist diss auf Bgründungn)? 2.3 Spzifizirn und analysirn Si Systm a). Lgn Si für dis Aufgab das Abtastthorm für rll Bandpass-Signal zu Grund. a) Lgn Si in Tabll dr möglichn Wrt für di Abtastfrqunz f a, A an.

3 Aufgab 2: Abtastthorm b) Bstimmn Si dn Wrt dr minimal zulässign Abtastfrqunz f a, A,min! c) Zichnn Si das Btragsspktrum ) V a jω ds Signals v a k) im Brich π < Ω < 2π mit dr Abtastfrqunz f a, A,min! Wlch Symmtrin wist diss auf Bgründungn)? d) Zusatzaufgab: Es glt m a k) = j π 2 k. Zichn Si das Btragsspktrum ) Y a jω ds Signals y k) im Brich π < Ω < 2π! Wlch a Symmtrin wist diss auf Bgründungn)? 2.4 Spzifizirn und analysirn Si Systm b). Bnutzn Si dabi das für dis Anwndung gignt Abtastthorm. a) Es glt H b jω) = { 1, ω > 0 0, ω < 0. Wi nnnt man disn Filtrtyp? Ist das Filtr H b jω) rll odr komplx Bgründung)? Zu wlchr Signalklass ghört v b t)? b) Gbn Si di minimal zulässig Abtastfrqunz fa,min b an. Wlchs Abtastthorm habn Si zu Grund glgt? c) Zichnn Si das Btragsspktrum V b jω ) ds Signals vb k) im Brich π < Ω < 2π! Wlch Symmtrin wist diss auf Bgründungn)? d) Zusatzaufgab: Wlchn Wrt Ω b R wähln Si, damit nach Multiplikation von v b k) mit m b k) = jω bk das Btragsspktrum Y b jω ) ds Signals y b k) bi Ω = 0 zntrirt ist? ) Zusatzaufgab: Zichn Si das Btragsspktrum Y b jω ) im Brich π < Ω < 2π! Di Zusatzaufgabn sind zum Errichn dr volln Punktzahl disr Aufgab 25 Pkt.) nicht rfordrlich.

4 Aufgab 3: Zustandsraumdarstllung Aufgab 3: Zustandsraumdarstllung Ggbn ist di Struktur SFG) ins digitaln Systms mit zwi Zustandsspichrn: 3.1 Bstimmn Si di Zustandsraumdarstllung ZRD) ds anggbnn Systms! 3.2 Bstimmn Si mit dr rmittltn ZRD di Übrtragungsfunktion ÜF) ds Systms! 3.3 Untrsuchn und charaktrisirn Si di Stabilitätsignschaftn ds Systms! Zichnn und bnutzn hirzu das Pol-/Nullstlln-Diagramm ds Systms! 3.4 Bstimmn Si mit dr rmittltn ZRD di Wrt dr Systmimpulsantwort IA) hk) = c T A k 1 b εk 1) + d δk) für k = 0,..., 8 und litn Si hirvon in gschlossn Forml allgmin Gstzmäßigkit) für dn zitlichn Vrlauf dr Impulsantwort ab! Zichnn Si di IA für k = 0,...,10! Prüfn Si, ob Ihr Ergbniss zu Tilaufgab 4. und Ihr Aussagn zu Tilaufgab 3. konsistnt sind! 3.5 Skizzirn Si di allgmin Vorghnswis bi dr Systmskalirung! Skalirn Si das anggbn Systm drart, dass di Aussturung dr Zustandsspichr im Vrglich zur ursprünglichn Struktur halbirt wird! Wisn Si dn Erfolg Ihrr Skalirung nach! Zichnn Si dn SFG ds skalirtn Systms!

5 Aufgab 4: Strukturn Aufgab 4: Strukturn Ggbn ist di Übrtragungsfunktion ÜF) ins instabiln SISO-Systms dr Ordnung n = 2: z H I z) = z 2 14z Gbn Si für H I z) in kanonisch Ralisirung Struktur, SFG) an! 4.2 Bstimmn Si di Pol und Nullstlln ds Systms und zichnn Si das Pol- /Nullstlln-Diagramm! Bgründn Si damit, dass das Systm H I z) instabil ist! Wlch Konsqunzn hat dis Systm-Instabilität für a) di Impulsantwort IA) ds Systms? b) dn Frqunzgang ds Systms? 4.3 Kombinirn Si das ggbn instabil Systm H I z) auf gignt Wis mit inr Allpassfunktion Allpass-Systm AP) H A z) drart, dass das rsultirnd modifizirt Gsamtsystm Hz) folgnd Bdingungn rfüllt: a) Hz) ist stabil, b) Di Systmordnung von Hz) ist idntisch mit dr Ordnung n = 2 ds ursprünglichn instabiln Systms H I z), c) Es gilt Hz) = H I z) z = 1; d.h., di Btragsvrläuf dr bidn ÜF sind auf dm gsamtn Einhitskris dr z-ebn idntisch. 4.4 Gbn Si di Pol und Nullstlln dr Systm H A z) und Hz) an und zichnn Si di Pol-/Nullstlln-Diagramm! Bgründn Si damit, dass das modifizirt Systm Hz) stabil ist! Wlch Konsqunzn hat dis nu gwonnn Systm-Stabilität für a) di Impulsantwort IA) ds Systms? b) dn Frqunzgang ds Systms? 4.5 Gbn Si für das modifizirt Systm Hz) in kanonisch Ralisirung an, di sich strukturll untrschidt von dm zu Tilaufgab 1 anggbnn SFG! Könntn Si hirfür auch in nichtrkursiv Struktur angbn nur Bgründung zählt)?

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