Musterlösung zur Klausur Digitale Signalverarbeitung

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1 Musterlösung zur Klausur Digitale Signalverarbeitung Arbeitsgruppe Digitale Signalverarbeitung Ruhr-Universität Bochum 9. August 008

2 Aufgabe : Transformationen 5 Pkt. v (k) = v (k) = v 3 (k) = ( ) k sin (Ω 0 k) ε (k) ( ) k sin (Ω 0 (k )) ɛ (k ) ( ) k sin (Ω 0 k) ɛ (k ) = v (k) δ (k ). k v (k) v (k) v 3 (k) v (k) v (k) v 3 (k) k. Die Signale v,,3 (k) sind (a) beschränkt: v,,3 (k) < k (b) kausal: v,,3 (k) = 0 k < 0 (c) und nicht zeitbegrenzt (von unendlicher Länge), wenngleich die Werte mit steigendem k sehr klein werden. 3. Bestimmen aller z-transformierten

3 Bestimmung der z-transformierten von v (k): V (z) = = ( ) k sin (Ω 0 k) ε (k) z k ( ) k sin (Ω 0 k) z k ( ) k (e jω0k e ) jω 0k z k = j [ = ( ) k e jω0k z k j [ ( ) ejω 0 k ( ) e jω 0 k ] ( ) ] k e jω0k z k = j z z = ( j ) ( ejω 0 ), e jω 0 z z = [ ] z z j z ejω 0 z e jω 0 e±jω 0 z < mit dem ROC e±jω 0 z < z > Bestimmung der z-transformierten von v (k): Anwendung des Verschiebungssatzes V (z) = V (z) z der ROC ist identisch: z > Bestimmung der z-transformierten von v 3 (k): Signifikanten Wert bei k = abziehen V 3 (z) = V (z) z der ROC ist identisch: z > 4. Der ROC aller Signale ist z >, damit liegt der Einheitskreis z = innerhalb des ROC und die zeitdiskrete Fourier-Transformierten (DTFT) existieren. Die DTFT 3

4 von v (k) ergibt sich aus der z-transformierten V (z): ( V ) e jω = V (z) z:=e jω = [ e jω e jω j e jω ejω 0 e jω e jω 0 Das DTFT-Spektrum ist kontinuierlich und π-periodisch, und aufgrund der Einhaltung der Konvergenzbedingung auch beschränkt. Es kann deshalb nicht diskret oder begrenzt sein. 5. Linearität der DFT nur unter der Einschränkung zu zeigen, dass die Länge N beider zu überlagernden Teilsignale v (k) und v (k) identisch ist: DFT {α v (k) + α v (k)} = 6. Spektralanalyse mittels DFT N N = α [α v (k) + α v (k)]w kn N, N v (k)wn kn + α ]. v (k)w kn N = α DFT {v (k)} + α DFT {v (k)} α, α C DFT-Spektrum frequenzdiskret impliziertes Zeitsignal periodisch Zeitsignal nicht periodisch oder andere Periodizität als impliziert verfälschtes DFT-Spektrum Durch Fensterung des Zeitsignals vor der Berechnung des DFT-Spektrums kann eine Verbesserung erzielt werden. Das Problem verschwindet dadurch jedoch nicht völlig, außerdem verschlechtert sich die Frequenzauflösung durch Verbreiterung der Keulen im Frequenzbereich. Die Verformung des Spektrums durch eine Fensterung muss generell beachtet werden. 7. Es sind aus der Vorlesung zwei Möglichkeiten bekannt: (a) IDFT {V (n)} = j N [DFT {jv (n)}] : i. Real- und Imaginärteil von V (n) vertauschen ii. FFT berechnen iii. Real- und Imaginärteil von v(k) vertauschen iv. mit N skalieren (b) IDFT {V (n)} = N [DFT {V (n)}] : i. Vorzeicheninversion aller Imaginärteile von V (n) 4

5 ii. FFT berechnen iii. Vorzeicheninversion aller Imaginärteile von v(n) iv. mit N skalieren 5

6 Aufgabe : Abtasttheoreme 5 Pkt.. Das Signal u (t) ist reell das Betragsspektrum U (jω) ist spiegelsymmetrisch zu ω = 0: U(j f) f/mhz. System (a), Abtasttheorem für reelle Tiefpass-Signale (a) Maximale Signalfrequenz: f g = 8MHz, wobei U (jπ 8MHz) = 0 Nyquist-Frequenz muss nicht dargestellt werden, angepasstes Abtasttheorem: f a,tp A,min = f g = 6MHz. (b) Das Signal va TP (k) ist reell und diskret: Das Betragsspektrum ( ) V TP a e jω ist π-periodisch und spiegelsymmetrisch zu Ω = νπ, ν Z: j V a, (e ) System (a), Abtasttheorem für reelle Bandpass-Signale (a) Modifiziertes Abtasttheorem für reelle Bandpass-Signale: f a,bp A 4fc b, 4m± m N 0 f c = 7MHz, b = MHz m ± f a,bp A /MHz f a,bp A b = 4MHz = = = = 9 3 notw. Bed. verletzt 9 6

7 (b) Gemäß der Tabelle wird f a,bp A,min = 4MHz gewählt. (c) Das Signal va BP (k) ist reell und diskret: Das Betragsspektrum V BP a π-periodisch und spiegelsymmetrisch zu Ω = νπ, ν Z: j V a,3 (e ) ( e jω ) ist - 0 (d) Das Signal y BP(k) ist komplex und diskret: Das Betragsspektrum ( ) a Y BP a e jω, welches eine mit Ω 0 = π modulierte Version von ( ) V BP a e jω ist, ist πperiodisch: j Y a,3 (e ) - Zusatzpunkt: Es ist außerdem symmetrisch zu ± (ν + ) π 0 4. System (b) (a) Es handelt sich dabei um einen Hilbert-Transformator, der ein komplexes System darstellt (Frequenzganz nicht symmetrisch zu ω = 0). Dieser erzeugt aus einem reellen Signal das zugehörige analytische. Das Signal v b (t) ist daher komplex (nach komplexem System) und analytisch. (b) Nach dem modifizierten Abtasttheorem für analytische komplexe Signale wird fa,min b = b = MHz zu Grunde gelegt. (c) Das Signal y b (k) ist komplex und diskret: Das Betragsspektrum Y b ( e jω ) ist π-periodisch und weist keine weiteren Symmetrien auf : 7

8 j V b (e ) - 0 (d) Ω b = π (e) Betragsspektrum Y b ( e jω ) : j Y b (e ) - 0 8

9 Aufgabe 3: Zustandsraumdarstellung Gegeben war die Struktur (SFG) eines digitalen Systems mit zwei Zustandsspeichern:. Zunächst führt man für beide Zustandsspeicher jeweils einen zusätzlichen Eingangsund Ausgangsknoten ein: SFG. Eliminiert man aus dem so geringfügig modifizierten SFG nach Entfernen der beiden Zustandsspeicher (die gestrichelten Verbindungen) mit Hilfe der SFG-Rechenregeln alle inneren Knoten, die weder Eingangsnoch Ausgangsknoten sind, so ergibt sich die Struktur SFG, was nachfolgend dargestellt ist: Hieraus sind die Elemente der Zustandsraumdarstellung unmittelbar ablesbar: [ ] [ ] [ ] 0 A =, b =, c =, d = Hiermit ergibt sich die Übertragungsfunktion (ÜF) des LTI Systems der Ordnung n = : H(z) = c T (zi A) b + d [ ] [ ] [ ] z H(z) = 0 z = [ 0 ][ ][ ] z z + z = [ 0 ] (z + ) z z + = [ 0 ] z + F(z) = z + z +, wobei F(z) den Vektor der ÜF vom Systemeingang zu den Ausgängen der Zustandsspeicher darstellt. 9

10 3. Das System der Ordnung n = besitzt eine Nullstelle bei z 0 = und ein konjugiert komplexes Polpaar bei z, = ±j, wie im Pol-/Nullstellen-Diagramm nachfolgend dargestellt: Da das System einfache Pole auf dem Einheitskreis der z-ebene besitzt (und keine außerhalb), ist es grenzstabil: Die Impulsantwort (IA) ist ein rechtsseitig (zeitlich) unbegrenztes und beschränktes Signal. 4. Die IA h(k) = c T A k b ε(k )+d δ(k) wird mit den oben berechneten Elementen der ZRD bestimmt. Für die Potenzen A l, l = 0,...,4,... der Systemmatrix gilt zunächst: A 0 = I, A = [ 0 0 ], A = I, A 3 = A, A 4 = A 0 = I. Damit und mit der ZRD folgt für die IA: h(k) = [ 0 ] [ 0 0 ] k [ ] ε(k ) für k = 0,...,8: k h(k) Die IA ist offenbar, wie aufgrund der Überlegungen zu Teilaufgabe 3. zu erwarten war, ein periodisches Signal mit der Grundfrequenz f 0 = f A /4 (vgl. PN/Diagramm), weshalb sich das Ausgangssignal des grenzstabilen Systems (des Oszillators) allgemein wie folgt darstellen lässt: h(k) = sin(πk f 0 π f A 4 ) = sin(k π π 4 ) = [ π ] sin 4 (k ) 0

11 5. Um ein System der Ordnung n = zu skalieren, ist dessen ZRD mit einer nichtsingulären n n = Diagonalmatrix zu transformieren: [ ] [ ] t 0 T = T /t 0 =. 0 t 0 /t In dem vorliegenden Fall sind beide Zustandsvariablen mit demselben Faktor t = t = t = zu skalieren, weshalb sich die Transformationsmatrix wie folgt vereinfacht: [ ] 0 T = t = t I = I T = I = 0, 5 I. 0 t Mit der so spezifizierten Transformationsmatrix T folgt für die ZRD des skalierten Systems {A s,b s,c s, d s }: A s = T AT = A, b s = T b = [ ] [ ], c s = T T c =, d 0 s = d = 0. Mit dieser Skalierung bleibt offenbar (entsprechend den Erfordernissen) die Systemstruktur unverändert, während sich die Aussteuerung der Zustandsspeicher wie gefordert halbiert: x s (k) = T x(k) = x(k), was nachzuweisen war. Der SFG des skalierten Systems ist nachfolgend dargestellt:

12 Aufgabe 4: Strukturen 5 Pkt. Vorgegeben war die Übertragungsfunktion (ÜF) des instabilen SISO-Systems der Ordnung n = : z + H I (z) = z 4 z + 8. () 5 5. Zur Ermittlung eines (kanonischen) Signalflussgraphen (SFG) wird die ÜF zunächst wie folgt umgeformt: H I (z) = Y (z) V (z) = z + z 4 5 z = + z 4 5 z z = H I(z ). Im nächsten Schritt werden die Nenner jeweils auf die andere Seite gebracht: Y (z)[ 4 5 z z ] = V (z) [ + z ] und die Gleichung wie folgt nach Y (z) aufgelöst: Y (z) = V (z) [ + z ] Y (z)[ 4 5 z z ] mit der zugehörigen Differenzengleichung (dgl): y(k) = v(k) y(k ) + v(k ) 8 y(k ), 5 wovon sich unmittelbar die. kanonische Form mit Verzögerungsgliedern als Realisierung ableiten lässt:. Die Nullstellen des Systems sind gegeben durch die Nullstellen des Zählerpolynoms von H I (z): z 0, = z 0, = ±j. Die Pole des Systems sind die Nullstellen des Nennerpolynoms von H I (z): z 4 5 z = 0 z, = ± = 7 5 ± 3 5,

13 womit sich die beiden reellen Pole ergeben: z = z = 4 5 = 0, 8. Die Ergebnisse sind im P/N-Diagramm nachfolgend visualisiert: Da einer der beiden Pole außerhalb des Einheitskreises der z-ebene liegt ( z > ), ist das System instabil, was zu zeigen war. (a) Für die Impulsantwort (IA) bedeutet dies, dass sie nicht beschränkt ist. Es gilt h(k) für k. Das System ist nicht BIBO-stabil (s.o.) (b) Formale Betrachtung: Für instabile Systeme existiert kein Frequenzgang, weil der Einheitskreis der z-ebene nicht im Konvergenzgebiet von H I (z) liegt. Alternative Betrachtung: Der Frequenzgang gibt Auskunft über die Systemantwort eines Systems im eingeschwungenen Zustand. Da ein instabiles System mit unbeschränkter IA aber niemals einen eingeschwungenen Zustand erreichen kann, hat der Frequenzgang H I (e jω ) (obwohl selbst beschränkt) keinerlei Aussagekraft bzw. Bedeutung. 3. Das instabile System H I (z) soll mit einer Allpass-Funktion (AP) H A (z) so kombiniert werden, dass das modifizierte System stabil ist. Bedingung (a): Der AP muss eine Nullstelle z 0A aufweisen, womit der Pol von H I (z) außerhalb des Einheitskreises der z-ebene eliminiert (kompensiert) werden kann: z 0A = z =. Der Kompensationsprozess wird ermöglicht durch die Kaskadierung des AP-Systems mit dem ursprünglichen instabilen System: Damit lautet die benötigte AP-Funktion. Ordnung: H(z) = H I (z)h A (z). () H A (z) = z z z z = z z z z z = z A z z 0A z z A, (3) deren Polstelle gegeben ist durch die Spiegelung der Nullstelle am Einheitskreis der z-ebene: z A = z 0A = z. Mit dem Ansatz (3) ist offenbar Bedingung (c) erfüllt: e H A (z) z = e jω = = jω z z e jω = (cos Ω z ) + sin Ω (z cos Ω ) + z sin Ω =. 3

14 Die Kaskadierung des ursprünglichen Systems () mit dem AP-System (3) entsprechend () ergibt mit z = : z + H(z) = (z z )(z z ) z z z z = z + (z z )(z z ) = z + z 3z Offenbar ist die Ordnung der stabilisierten ÜF wie vorgeschrieben weiterhin n =, weshalb auch Bedingung (b) erfüllt ist. Man beachte dabei, dass die Stabilisierung des Systems ausschließlich durch eine Veränderung des Phasenverlaufs von H I (z) entlang des Einheitskreises der z-ebene bewirkt wurde. 4. Aus Teilaufgabe 3 folgt für die Pole und Nullstellen des AP-Systems und für die des modifizierten Systems H(z): H A (z) H(z) Nullstellen z 0A = z = z 0, = z 0, = ±j Pole z A = z 0A = z = z A = Pole z = z = 4 = 0, 8 5 Die zugehörigen P/N-Diagramme sind nachfolgend angegeben: Nun liegen beide Pole des Systems H(z) innerhalb von z =, weshalb das System (strikt) stabil ist. (a) Für die IA bedeutet dies, dass sie beschränkt ist. Es gilt h(k) 0 für k. Das System ist BIBO-stabil (s.o.) (b) Für das stabile Systeme existiert der Frequenzgang: H(e jω ) = H(z) z=e jω = DTFT{h(k)}, da der Einheitskreis der z-ebene im Existenzgebiet von H(z) liegt. 5. Für das modifizierte System H(z) der Ordnung n = wird nachfolgend zunächst wiederum der SFG in der. kanonischen Form angegeben (wobei der Skalierungsfaktor / zusätzlich zu berücksichtigen ist), wovon die. kanonische Form, eine mögliche alternative Struktur, durch Transponierung abgeleitet ist: 4

15 Weder das ursprüngliche noch das modifizierte System sind mit einer nichtrekursiven Struktur realisierbar, da beide Systeme eine nicht (zeit-)begrenzte IA aufweisen bzw. da beide Systeme Pole besitzen, die nicht im Ursprung der z-ebene liegen. 5