Signale und Systeme. Christoph Becker

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1 Signale und Systeme Christoph Becker Signale Definition 1 Ein Signal ist eine Folge von Zahlen {xn)} welche die Bedingung xn) < erfüllt Definition 2 Der Frequenzgang / frequency domain representation eines Signals xn) ist die Funktion ˆxw) = xn)e 2πinw = Xe 2πiw )Xz) = ˆx lnz) 2πi ) Systeme Definition 3 1 Ein System ist eine Abbildung T, welche ein Eingangssignal xn) einem Ausgangssignal yn) zuordnet Man schreibt T xn) = yn) 2 Ein System T ist linear wenn T ax 1 + bx 2 )n) = at x 1 n) + bt x 2 n) 3 Ein lineares System T ist stabil BIBO-Stabilität), wenn es eine Konstante C > 0 gibt, so dass für alle Signale xn), T xn) C xn) 4 Für n 0 Z sei der Translations Operator definiert, τ n0, by τ n0 xn) = xn n 0 ) 5 Ein lineares zeitinvariantes System LZI / linear time-invariant LTI) ist ein lineares System T für welches T τ n0 x)n) = τ n0 T x)n) = T xn n 0 ) 6 Die Faltung zweier Signale x 1 n) und x 2 n), geschrieben x 1 x 2 n), ist das Signal yn) gegeben durch yn) = x 1 x 2 n) = k Z x 1 k)x 2 n k) Satz 1 Faltungen sind linear 1 Wenn x 1 n) und x 2 n) Signale sind, dann ist auch yn) = x 1 x 2 n) ein Signal 2 Für edes Paar von Signalen x 1 n) und x 2 n), gilt x 1 x 2 )n) = x 2 x 1 )n) 3 Es seien x 1 n) und x 2 n) Signale und yn) = x 1 x 2 )n) Dann ist ŷw) = ˆx 1 w)ˆx 2 w) Satz 2 T h ist genau dann ein stabiles LTI system, wenn es ein Signal hn) gibt, so dass T h xn) = x h)n), T ˆ xw) = ˆxw) ĥw) 1

2 Definition 4 Es sei ein stabiles LTI system T gegeben, das Signal hn) so dass T xn) = x h)n) heist Impulsantwort bzw Gewichtsfunktion / Impulse response von T Die Impulsantwort eines stabilen LTI systems wird oft Filter genannt Der Frequenzgang von hn), ĥw), wird Frequenzantwort / frequence response von T, und die z-transformierte von hn), Hz), heißt die Übertragungsfunktion / system function von T Definition 5 Ein stabiles LTI System ist kausal / causal, wenn dessen Impulsantwort hn) die Bedingung hn) = 0 für n < 0 erfüllt Definition 6 Ein System T ist realisierbar / realizable, wenn die Beziehung zwischen Eingangssignal xn) und Ausgangssignal yn) von T durch eine Gleichung der Form für edes n Z gegeben ist K ak)yn k) = k=0 M bm)xn m) Satz 3 Wenn die Übertrangungsfunktion Rz), eines realisierbaren Systems T alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises der komplexen Zahlenebene hat, dann ist T kausal und stabil Wenn T ein realisierbares System ist, folgert man aus Satz 13, a y)n) = b x)n), âw)ŷw) = ˆbw)ˆxw) Die Anwendung des Satzes ist legitim, da {an }, {b n } Folgen mit endlich vielen Folgegliedern ungleich null sind und von daher Signale sind) Umgeformt ŷw) = ˆbw) âw) ˆxw) Das Ziel der nachfolgende Rechnung ist die Impulsantwort rn) zu erhalten Die Rechnung nimmt den Umweg über die z-transformierte Rz) von T Rz) = ˆr ) lnz) = 2πi ) ˆb lnz) ) = â 2πi lnz) 2πi M m=0 m=0 bn)e 2πin lnz) 2πi ) K lnz) k=0 an)e 2πin 2πi ) = M m=0 bn)z n K k=0 an)z n = Bz) Az) Rz) = Bz) Az) = Bz)zN wobei N > maxm, K) Somit steht sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom von Grad N a0) 0) Dividiert man Rz) anschließend durch z, wird der Grad des Az)z N Nennerpolynoms um eins größer als der des Zählerpolynoms Das ist die Vorraussetzung um eine Partialbruchzerlegung durchzuführen Rz)/z = N m z p i ) +1 p i sind die Nullstellen des Nennerpolynoms von Rz) z und m i die Vielfachheit der Nullstelle p i Wenn a 0, dann a ) n a n z n 1 = = z 1 a/z) = z z a Wenn z > a d ) da a n z n n= n! n )! an z n = Rz) = ) n a n z n = N m = d z da z a!z z a) +1 z z a) +1 wobei z N z p i ) +1 = m ) n = 0 für > n n ) ) p n i z n 2

3 Die Reihe konvergiert, wenn z > max{ p i } Die absolute Konvergenz muss vorausgesetzt werden, damit ich die Summationsreihenfolge vertauschen darf N m ) ) n N m ) Rz) = p n i z n = n p n i z n = rn)z n rn) = N m n ) p n i Aus dieser Darstellung von rn) wird klar, dass T kausal mit Impulsantwort rn) ist Es bleibt noch zu zeigen, dass T stabil ist Wenn es gelingt zu zeigen, dass r ein Signal ist, so wäre nach Satz 2, T stabil und ein LTI?) rn) konvergiert Vertauschung der ============= Summationsreihenfolge ) n p n i die Anwendung des Quotientenkriteriums liefert für i, beliebig: n+1)!!n+1 )! pn+1 i = n + 1 n + 1 p i n p i n!!n )! pn i Wenn p i < 1 für alle i, so konvergiert rn) < konvergiert Definition 7 Die Impulsantwort eines realisierbaren Systems, dessen Übertragungsfunktion keine Polstellen außer möglicherweise bei z = 0 hat, heist finite Impulse response FIR) Filter und eine Übertragungsfunktion mit Polstellen innerhalb des Einheitskreises heist infinite Impulse response IIR) Filter Periodische Signale und die Diskrete Fourier Transfomation Definition 8 Es sei xn) ein Signal mit Periode N gegeben, die N-Punkte) diskrete Fourier Transformierte von xn), geschrieben ˆxn), ist die N periodische Folge definiert durch ˆxn) = N 1 x)e 2πin/N Definition 9 Es sei eine N periodische Folge xn) gegeben mit DFT ˆxn), für alle Z x) = 1 N N 1 ˆxn)e 2πin/N Satz 4 Es seien xn) and yn) N periodische Signale, und ˆxn) und ŷn) die DFTs, dann wobei ˆ x y)n) die DFT von x yn) ist ˆ x y)n) = ˆxn)ŷn), 3

4 Schnelle Fourier-Transformation / Fast Fourier Transform 1 e 2πi/N e 2πi2/N e 2πi3/N e 2πiN 2)/N e 2πiN 1)/N 1 e 2π2/N e 2πi4/N e 2πi6/N e 2πiN 2)2/N e 2πiN 1)2/N X = 1 e 2π4/N e 2π6/N e 2πi9/N e 2πiN 2)3/N e 2πiN 1)3/N 1 e 2πiN 1)/N e 2πiN 1)2/N e 2πiN 1)3/N e 2πiN 2)N 1)/N e 2πiN 1)N 1)/N ; x = x0) x1) x2) xn 1) X x; N = 2 M Ich klammere in den Spalten gerader Numerierung in der 2 Zeile e 2πi/N aus, in der 3 e 2πi2/N, in der 4 e 2πi3/N 1 e 2πi/N 1) e 2πi2/N e 2πi/N e 2πi2/N e 2πiN 2)/N e 2πi/N e 2πiN 2)/N 1 e 2πi2/N 1) e 2πi4/N e 2πi2/N e 2πi4/N e 2πiN 2)2/N e 2πi2/N e 2πiN 2)2/N 1 e 2πi4/N 1) e 2πi6/N e 2πi3/N e 2πi6/N e 2πiN 2)3/N e 2πi3/N e 2πiN 2)3/N 1 e 2πiN 1)/N 1) e 2πiN 1)2/N e 2πiN 1)/N e 2πiN 1)2/N e 2πiN 2)N 1)/N e 2πiN 1)/N e 2πiN 2)N 1)/N x0) x1) xn 1) In der nächsten Matrix wurde keine Umformung vorgenommen, ich habe lediglich ein paar Zeilen eingefügt 1 e 2πi/N 1) e 2πi2/N e 2πi/N e 2πi2/N e 2πiN 2)/N e 2πi/N e 2πiN 2)/N 1 e 2πi2/N 1) e 2πi4/N e 2πi2/N e 2πi4/N e 2πiN 2)2/N e 2πi2/N e 2πiN 2)2/N 1 e 2πi4/N 1) e 2πi6/N e 2πi3/N e 2πi6/N e 2πiN 2)3/N e 2πi3/N e 2πiN 2)3/N 1 e 2πiM/N 1) e 2πi2M/N e 2πiM/N e 2πiM2/N e 2πiN 2)M/N e 2πiM/N e 2πiN 2)M/N 1 e 2πiM+1)/N 1) e 2πi2M+1)/N e 2πiM+1)/N e 2πiM+1)2/N e 2πiN 2)M+1)/N e 2πiM+1)/N e 2πiN 2)M+1)/N 1 e 2πiN 1)/N 1) e 2πi2N 1)/N e 2πiN 1)/N e 2πiN 1)2/N e 2πiN 2)N 1)/N e 2πiN 1)/N e 2πiN 1)N 2)/N x0) x1) xn 1) 4

5 Im folgendem Umformungsschritt wandle ich folgende Terme ineinander um : e 2πiM+n)/N = e 2πin/N und e 2πigerade)M+n)/N = e 2πigerade)n/N 1 e 2πi/N 1) e 2πi2/N e 2πi/N e 2πi2/N e 2πiN 2)/N e 2πi/N e 2πiN 2)/N 1 e 2πi2/N 1) e 2πi4/N e 2πi2/N e 2πi4/N e 2πiN 2)2/N e 2πi2/N e 2πiN 2)2/N 1 e 2πi4/N 1) e 2πi6/N e 2πi3/N e 2πi6/N e 2πiN 2)3/N e 2πi3/N e 2πiN 2)3/N e 2πi/N 1) e 2πi2/N e 2πi/N e 2πi2/N e 2πiN 2)/N e 2πi/N e 2πiN 2)/N 1 e 2πiM 1)/N 1) e 2πi2M 1)/N e 2πiM 1)/N e 2πi2M 1)/N e 2πiN 2)M 1)/N e 2πiM 1)/N e 2πiN 2)M 1)/N x0) x1) xn 1) Als nächstes forme ich folgendermaßen um 2/N = 1/M 1 e 2πi/N 1) e 2πi1/M e 2πi/N e 2πi/M e 2πiM 1)/M e 2πi/N e 2πiM 1)/M 1 e 2πi2/N 1) e 2πi2/M e 2πi2/N e 2πi2/M e 2πiM 1)2/M e 2πi2/N e 2πiM 1)2/M 1 e 2πi4/N 1) e 2πi3/M e 2πi3/N e 2πi3/M e 2πiM 1)3/M e 2πi3/N e 2πiM 1)3/M e 2πi/N 1) e 2πi/M e 2πi/N e 2πi/M e 2πiM 1)/M e 2πi/N e 2πiM 1)/M 1 e 2πiM 1)/N 1) e 2πiM 1)/M e 2πiM 1)/N e 2πiM 1)/M e 2πiM 1)M 1)/M e 2πiM 1)/N e 2πiM 1)M 1)/M x0) x1) xn 1) Ich ordne die Spalten mit ungerader Nummerierung an den Anfang der Matrix Weiterhin seien definiert a) = x2) und b) = x2 + 1) e 2πi1/M e 2πiM 1)/M e 2πi/N 1) e 2πi/N e 2πi/M e 2πi/N e 2πiM 1)/M 1 e 2πi2/M e 2πiM 1)2/M e 2πi2/N 1) e 2πi2/N e 2πi2/M e 2πi2/N e 2πiM 1)2/M 1 e 2πi3/M e 2πiM 1)3/M e 2πi4/N 1) e 2πi3/N e 2πi3/M e 2πi3/N e 2πiM 1)3/M e 2πi/M e 2πiM 1)/M e 2πi/N 1) e 2πi/N e 2πi/M e 2πi/N e 2πiM 1)/M 1 e 2πiM 1)/M e 2πiM 1)M 1)/M e 2πiM 1)/N 1) e 2πiM 1)/N e 2πiM 1)/M e 2πiM 1)/N e 2πiM 1)M 1)/M a0) a1) am 1) b0) b1) bm 1) 5

6 e 2πi/N e 2πi1/M e 2πi2/M e 2πiM 1)/M 0 e 2πi2/N 0 0 W M := 1 e 2πi2/M e 2πi4/M e 2πi2M 1)/M ; Ω M := 0 0 e 2πi3/N 0 1 e 2πiM 1)/M e 2πiM 1)2/M e 2πiM 1)M 1)/M e 2πiM 1)/N e 2πi/N e 2πi2/N 0 0 a0) W M 0 0 e 2πi3/N 0 W M a1) e 2πiM 1)/N e 2πi/N am 1) e 2πi2/N 0 0 b0) = W M 0 0 e 2πi3/N 0 b1) W M bm 1) e 2πiM 1)/N ) x0) ) ) x0) WM Ω = M W M IM Ω P W M Ω M W M M = M WM 0 P I M Ω M 0 W M M xn 1) xn 1) Satz 5 mn) = 2 mn/2) + N/2)) Wenn N = 2 s für ein s N, dann L 2 Fourier Reihen / Fourier Series mn) = N/2) log 2 N) Definition 10 Es sei eine l 2 Folge x = xn) gegeben, dessen Fourierreihe, geschrieben ˆxγ), ist die 1 periodische Funktion gegeben durch ˆxγ) = xn)e 2πinγ Es sei darauf hingewiesen, dass es sich dabei um eine L 2 Fourierreihe handelt Satz 6 der Satz von Riesz-Fischer) Es sei eine l 2 Folge gegeben, cn), es existiert eine Lebesgue messbare Funktion fx) auf [0,1) mit der Eigenschaft, dass 1 N lim M,N fγ) 2 cn)e 2πinγ dγ = 0, 0 n= M wobei das Integral das Lebesgue Integral ist In dem Fall ist, 1 fx) 2 dx = cn) 2 < 0 n= Satz 7 Der Satz von Carleson) Es sei eine l 2 Folge cn) gegeben, die symmetrischen partial Summen S N γ) = N n= N cn)e 2πinγ konvergieren an edem Punkt von [0,1), außer möglicherweise auf einer Menge mit Lebesgue Maß Null Quellen Filter Skriptpdf An Introduction to Wavelet Analysis von David F Walnut 6