Diskrete Folgen, z-ebene, einfache digitale Filter

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1 apitel 1 Diskrete Folgen, z-ebene, einfache digitale Filter 1.1 Periodische Folgen Zeitkoninuierliche Signale sind für jede Frequenz periodisch, zeitdiskrete Signale nur dann, wenn ω ein rationales Vielfaches von π ist. Beispiel 1 Wählen Sie eine grafische Darstellung, die zeigt, dass die Folge x[n] = e jωn = cos ωn + j sin ωn nur periodisch ist, wenn ω = πk N. Bei zeitkontinuierlichen Signalen können unendlich viele Harmonische der Grundschwingung auftreten, bei zeitdiskreten Signalen können nur maximal N harmonische auftreten. Beispiel Stellen Sie alle Harmonischen der Folge x[n] = e j πk N n für N = 8 grafisch dar. Addieren Sie alle Harmonischen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Beispiel 3 Verwenden Sie um zu zeigen, dass ist. N 1 1 e j πk N n = N k= N 1 x k = 1 xn 1 x δ 0 [n + kn] = { 1 n = 0, ±N, ±N,... 0 sonst Beispiel 4 Vergleichen Sie das Spektrum der (kontinuierlichen) Impulsfunktion mit dem Spektrum des (diskreten) Einzelimpulses. 1

2 APITEL 1. DISRETE FOLGEN, Z-EBENE, EINFACHE DIGITALE FILTER 1. z-ebene In diesem Abschnitt wird anhand von Beispielen die Verwendung von Matlab in der z Ebene dargestellt Pol- und Nullstellen Zur Berechnung der Nullstellen eines Polynoms steht die Funktion roots zur Verfügung. roots(c) berechnet die Nullstellen des Polynoms P (x) = c n 1 + c x n c n x + c n+1 P (x) = x 3 x + 1.5x 0.5 >> p=[ ]; >> [r]=roots(p); i i Zur Berechnung des Polynoms aus den Nullstellen steht die Funktion poly zur Verfügung. >> poly(r) >> poly([ i j ]) Für die Berechnung der Partialbruchzerlegung der Systemfunktion H(z) gibt es die Funktion residuez. H(z) = b 0 + b 1 z 1 + b z b M z M B(z) a 0 + a 1 z 1 + a z = a N z N A(z) = b 0 + b 1 z 1 + b z b M z M M N 1 + a 1 z 1 + a z a N z N + c z k = N M N r k 1 p k z 1 + k=1 c z k } {{ } wenn M N } {{ } wenn M N (1.1) Zur Durchführung der Partialbruchzerlegung muss Zählergrad < Nennergrad sein. Ist das nicht der Fall muss vorher dividiert werden. Das kann durch Polynomdivison mit der Funktion deconv oder direkt mit residue gemacht werden. >> b=[ ] >> a =[ ] 1 + z 1 + 3z + 4z 3 + 3z 4 + z 5 + z 6 1 z z =

3 1.3. FREQUENZGANG 3 >> [q,r]=deconv(b,a); q = z z + 8z z z z 6 1 z z [r,z,c]=residuez(b,a) findet die Residuen, Polstellen und den Rest i i z = i i c = [b,a]=residue(r,z, ) b = a = ( ) z 1 + 3z z + 8z z 4 + z z z 1.3 Frequenzgang Die Matlabfunktion freqz berechnet den komplexen Frequenzgang der Systemfunktion H(z) = B(z). z=jω A(z) [H,w]=freqz(B,A,w) berechnet H in den in w spezifizierten Frequenzen zwischen 0 und π. [H,w]=freqz(B,A,N) berechnet H in den in N Punkten zwischen 0 und π. [H,f]=freqz(B,A,N,fs) berechnet H in den in N Punkten zwischen 0 und fs/. [H,w]=freqz(B,A,N, whole ) berechnet H in N Punkten zwischen 0 und π. freqz(b,a,...) plottet H (Betrag und Phase) Beispiel 5 Finden Sie ein beliebiges (stabiles) Tiefpassfilter mit drei unterschiedlichen Polstellen und vier unterschiedlichen Nullstellen (auf dem Einheitskreis) durch manuelles Platzieren der Pol- und Nullstellen. (1) Ermitteln Sie die Systemfunktion H T P = B(z)/A(z). () Skalieren sie H T P (z), sodass bei ω = 0 die Dämpfung 0 db ist. (3) Zerlegen Sie H T P in Subsysteme. Ordnung und zeichnen Sie das Blockdiagramm des Filters. (4) Finden Sie eine parallele Realisierung von H T P und zeichnen Sie das Blockdiagramm.

4 4APITEL 1. DISRETE FOLGEN, Z-EBENE, EINFACHE DIGITALE FILTER PN-Diagramm und Darstellung von H(z) Zur Darstellung der Pol- und Nullstellen der Systemfunktion stellt Matlab die Funktion zplane zur Verfügung, Pole werden als dargestellt, Nullstellen werden als dargestellt. Zur anschaulichen Darstellung der Systemfunktion (und des Frequenzgangs) kann man den Betrag der Systemfunktion H(z) über der komplexen z Ebene axonometrisch darstellen. Beispiel 6 Schreiben Sie eine Matlabfunktion zur Darstelllung von H(z). Sie können folgendes Code-Fragment verwenden: A... Zählerpolynom, B... Nennerpolynom [x,y]=meshgrid(-1:0.01:1, -1:0.01:1); z=x+1j*y Zmag=abs(polyval(B,z)./(abs(polyval(A,z))+eps) % eps "vermeidet"division durch Null mesh(x,y,zmag) % mesh(x,y,min(zmag,0)) % Da H(z) im Bereich der Pole große Werte annimmt, ist es sinnvoll, die Darstellung zu begrenzen. Zur deutlichen Unterscheidung von Polen und Nullstellen kann Zmag mit Hilfe der Matlabfunktion DB lograithmisch dargestellt werden. (Nullstellen nehmen dann den Wert an.) 1.4 Einfache digitale Filter FIR-Filter Die Systemfunktion eines Tiefpasses 1. Ordnung is H T P = z+1 z. Beispiel 7 Berechnen Sie den Frequenzgang (analytisch). Bei welcher Frequenz liegt die Grenzfrequenz (3 db-punkt)? Beispiel 8 askadieren Sie fünf Tiefpässe 1. Ordnung und vergleichen Sie den TP 1. und 5. Ordnung in einer grafischen Darstellung. Wie ändern sich Flankensteilheit und Bandbreite der Filter. Beispiel 9 Wie lautet die Systemfunktion H HP eines FIR-Hochpasses 1. Ordnung? askadieren Sie H HP wie beim Tiefpass und vergleichen Sie in einer grafischen Darstellung IIR-Filter Tiefpass und Hochpass Das einfachste IIR-FIlter ist H(z) = 1 αz 1, 0 < α < 1 Beispiel 10 Berechnen Sie (analytisch) den Frequenzgang H(e jω ) = H(z)H( z) z=e jω. Welchen Filtertyp können Sie mit realisieren? TP? HP? 1 αz 1 Beispiel 11 Berechnen Sie, sodass H(0) = 1.

5 1.4. EINFACHE DIGITALE FILTER 5 Fügt man zu H(z) = 1 αz im Zähler den Faktor (1+z 1 ) hinzu (Nullstelle 1 bei ω = π) erhält man einen verbesserten Frequenzgang. Beispiel 1 Vergleichen Sie Frequenzgang mit und ohne Nullstelle in einer grafischen Darstellung 1. Die Systemfunktion H(z) = 1 αz liefert einen Hochpass für α < 0. Eine Verbesserung der Frequenzantwort kann erreicht werden, indem man eine 1 Nullstelle bei ω = 0 hinzufügt H HP (z) = 1 + α 1 z 1, α < 1 1 αz 1 Beispiel 13 Stellen Sie den Betrag des Frequenzgangs für die Filter mit den oeffi zienten α = 0.9, 0.8, 0.7, 0.9, 0.8, 0.7 in einem Diagramm dar und erläutern Sie das unterschiedliche Frequenzverhalten auf Grund der Lage der Pol- und Nullstellen. Bandpass und Bandsperre Bandpässe müssen mindestens. Ordnung sein und ein Paar konjugiert komplexer Pole haben. Die Selektivität lässt sich durch Nullstellen bei ω = 0 und ω = π verbessern. H BP (z) = 1 α 1 z 1 β(1 + α)z 1 + αz ( Die Bandbreite (3 db-punkt) ist ω c1 ω c = arccos ) α 1+α, Q = ω0 ω c1 ω c bezeichnet man als Gütefaktor,, die Mittenfrequenz des Filters ist ω 0 = arccos β. Matlab stellt für BP. Ordnung die Funktion iirpeak zur Verfügung Beispiel 14 Stellen Sie in einem Diagramm den Betrag des Frequenzgangs dar: Halten Sie β konstant und wählen Sie α variabel (3 Werte), halten Sie α konstant und wählen Sie β variabel (3 Werte). Die Systemfunktion für Bandsperren. Ordnung lautet H BP (z) = 1 α 1 βz 1 + z 1 β(1 + α)z 1 + αz Dieser Filteryp wird auch erb- oder Notch-Filter genannt. Matlab stellt dafür die Funktion iirnotch zur Verfügung. 1 Für DC-Gain von 0 db muss skaliert werden H LP (z) = 1 α 1+z 1 1 αz 1.