Filterentwurf. Aufgabe

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1 Aufgabe Filterentwurf Bestimmung der Filterkoeffizienten für gewünschte Filtereigenschaften Problem Vorgaben häufig für zeitkontinuierliches Verhalten, z.b. H c (s) Geeignete Approximation erforderlich Ansätze Impulsinvarianz, Sprunginvarianz Bilineare Transformation

2 Ziel Filterentwurf - Impulsinvarianzverfahren Impulsantwort des diskreten Systems = abgetastete Impulsantwort des kontinuierlichen Systems Beispiel: Einfaches -Glied x(t) R C y(t) H c (s) = sc R + sc = s + h c (t) = u c (t) e t u c (t) = { 0 für t < 0 für t 0 Abtastung zu Zeitpunkten t n = nt : h(n) = T h c (nt ) ( ) n h(n) = T e n T = T e T H(z) = T z z e T 2

3 Allgemein Filterentwurf - Impulsinvarianzverfahren H c (s) = P (s) ist Übertragungsfunktion eines kausalen, stabilen Q(s) Systems mit einfachen Polen s i und Nennergrad > Zählergrad N A i Partialbruchzerlegung H c (s) = s s i h c (t) = u c (t) N A i e s it i= Abtastung: h(n) = u(n)t i= N ( A i e s i T ) n i= H(z) = N i= Pol von H c (s) bei s = s i wird zu Pol von H(z) bei z = e s it T A i z z e s it 3

4 Filterentwurf - Impulsinvarianzverfahren Einschränkungen Verfahren wegen Aliasing nur sinnvoll bei Bandbegrenzung von H c (jω) H(e jω ( ) ) = H c j ω+2πk T k= Beispiel Sprungantwort -Glied: h c (t) = e t h(n) = T Sprungantwort s c (t) = e t ( n e ) T Sprungantwort s(n) = T t : s c (t), n : s(n) T e T ( ) n e T e T 4

5 Ziel Filterentwurf - Sprunginvarianzverfahren Sprungantwort des diskreten Systems = abgetastete Sprungantwort des kontinuierlichen Systems Beispiel: -Glied ( ) s c (t) = u c (t) e t S(z) = z z z z e T H(z) = S(z) U(z) = e T z e T s(n) = s c (nt ) = u(n) ( ( ) n ) e T ( n h(n) = ( e ) T e ) T u(n ) 5

6 Allgemein N A i H c (s) = s s i i= s(n) = u(n) H(z) = N i= Filterentwurf - Sprunginvarianzverfahren N i= s c (t) = u c (t) N i= A i s i ( ( e s it ) n ) S(z) = A i (z i ) s i z z i mit z i = e s it Pole wie bei Impulsinvarianzverfahren A i s i ( e s i t ) N i= andere Gewichtsfaktoren andere Nullstellen h(0) = 0 A i s i ( z z z i z ) z 6

7 Idee Filterentwurf - Bilineare Transformation Verzerrung der Frequenzachse, so dass Ω auf π ω π abgebildet wird Umsetzung Einsetzen von s = 2 T z + z = 2 T z z + Berechnung einer Übertragungsfunktion H(z) aus H c (s) ( 2 z ) H(z) = H c T + z 7

8 Filterentwurf - Bilineare Transformation Eigenschaften der Abbildung: s = 2 T z z + z = + T 2 s T 2 s Einsetzen von s = σ + jω z = + T 2 σ + j T 2 Ω T 2 σ j T 2 Ω σ < 0 z < σ = 0 z = σ > 0 z > linke s-halbebene wird auf das Innere des Einheitskreises der z-ebene abgebildet Einsetzen von s = jω z = + j T 2 Ω j T 2 Ω = ej2 arctan T Ω 2 Verzerrung der Frequenzachse: ω = 2 arctan T Ω 2, Ω = 2 T tan ω 2 8

9 Filterentwurf - Bilineare Transformation jω s jim z σ Re Abbildung der linken s-halbebene auf das Innere des Einheitskreises der z-ebene 9

10 3 Filterentwurf - Bilineare Transformation 2 ω T Ω 0

11 Anwendungen: Filterentwurf - Bilineare Transformation Verwendung bekannter Entwurfsverfahren für zeitkontinuierliche Filter (z.b. Butterworth, Bessel, Tschebyscheff, Cauer) mit angepassten Grenzfrequenzen H(ω) H c (Ω) δ d δ d δ s 0 ω d ω s π ω δ s 0 Ω Ω d Ω s

12 Filterentwurf - Bilineare Transformation Vorgehensweise bei Vorgabe von ω d, δ d, ω s, δ s Bilineare Transformation: Ω d = 2 T tan ω d 2, Ω s = 2 T tan ω s 2 Normierung der Frequenz auf Ω d : v = Ω/Ω d Darstellung mittels Charakteristischer Funktion K(jv): H c (jv)h c ( jv) = + c 2 K(jv)K( jv) Toleranzschema für c K(jv) : c 2 K(jv) 2 = H c(jv) 2 H c (jv) 2 mit H c (jv) Grenzen: d = 2δd δ 2 d δ d, s = δ 2 s δ s 2

13 Filterentwurf - Bilineare Transformation c K(jv) s d 0 v s Normiertes Toleranzschema v 3

14 Filterentwurf - Bilineare Transformation Beispiel Butterworth-Tiefpass (Potenzfilter) Ansatz: K(jv) 2 = v 2n Bedingung für Durchlassbereich: c d Bedingung für Sperrbereich: cvs n s n log s c log v s Mit c = d ergibt sich: n log s d log v s Nach Wahl eines ganzzahligen Wertes n: s v n s c d 4

15 Filterentwurf - Bilineare Transformation, Butterworth Beispiel Butterworth-Tiefpass Vorgaben: Abtastfrequenz: 48kHz Max. Abweichung im Durchlassbereich: db δ d = 0, 0879 Dämpfung im Sperrbereich mindestens 40dB δ s = 0, 0 Übergangsbereich von 3kHz bis 4kHz Berechnung: d = 0, 50896, s = 0, ω d = 2π 6 = 0, 39270, ω s = 2π 2 = 0, 52360, v s = tan(ω d tan( ω s 2 ) 2 ) n > Wahl: n = 8 0, c 0, Wahl: c = 0, =, 347 5

16 Filterentwurf - Bilineare Transformation, Butterworth Hc(jv) v Normierter Betragsfrequenzgang 6

17 Filterentwurf - Bilineare Transformation, Butterworth 0.8 H(e jω ) ω Betragsfrequenzgang 7

18 Filterentwurf - Bilineare Transformation, Butterworth H(e jω ) ω Betragsfrequenzgang (Ausschnitt) 8