Fourier- und Laplace- Transformation

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1 Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure Fourier- und Lalace- Transformation Teil : Lalace-Transformation Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) Fachhochschule Pforzheim FB-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik

2 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Übungsblatt Lalace-Transformation Aufgabe : Berechnen Sie die Lalace-Transformierte von f(t) sin(ωt) für t [f(t) sonst] mittels Integral. Aufgabe : Lösen Sie mittels Lalace-Transformation die DGL f (t) - ω f(t) ωe -ωt mit f() (Bitte Lösen Sie die Aufgabe zur Übung auch mit DGL-Lösungsmethoden nach Ka. ). Aufgabe : Lösen Sie mittels Lalace-Transformation die DGL y ' + y x mit den Randbedingungen y(π/) und y'(π/) (Bitte Lösen Sie die Aufgabe zur Übung auch mit DGL-Lösungsmethoden nach Ka. ). Aufgabe 4: Lösen Sie mittels Lalace-Transformation die homogene DGL. Ordnung y ' + y' + y mit den Anfangsbedingungen y() und y'() (Bitte Lösen Sie die Aufgabe zur Übung auch mit DGL-Lösungsmethoden nach Ka. ). Aufgabe 5: Lösen Sie mittels Lalace-Transformation die inhomogene DGL. Ordnung y ' + y cos(x) mit den Anfangsbedingungen y() und y'() (Partialbruchzerlegung in Terme /(x +q)). Aufgabe 6: Lösen Sie mittels Lalace-Transformation die DGL y ' - 5y' + 4y x mit den Randbedingungen y() und y'() (Hinweis: vgl. Übungsblatt DGL Aufgabe 9). Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

3 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Lösungen zum Übungsblatt Lalace-Transformation Aufgabe : f ( t) sin( ωt) σ ( t) j f ( t) ( e j ω t jωt e ) σ ( t) j t j t t e e e dt j ω ω F( ) ( ) ( j ) ( + ) ( e e ) ω t jω t dt j ( jω ) t ( + jω ) t e e + j jω + jω j jω + jω jω j + ω { } LT sin( ωt) ω + ω Aufgabe : F(f ) F() - f() ( Rechenregeln) F(e -ωt ) /(+ω) ( Korresondenztabelle Nr. 4) F() - f() - ω F() ω/(+ω) F() (-ω) ω/(+ω) F() ω/[(+ω)(-ω)] ( ) f t e ω ωt e ω ωt (Korr.tab. Nr. 8 mit a ω u. b -ω) f(t) sinh(ωt) Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

4 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Aufgabe : F(y ) ²F() - y() - y () ( Rechenregeln) F(x) /² ( Korresondenztabelle Nr. mit n ) ²F() - y() - y () + F() /² F() {² + } /² + y() + y () F() /[²(² + )] + y()/(² + ) + y ()/(² + ) Partialbruchzerlegung: /[²(² + )] /² - /(²+) F() /² - /(² + ) + y()/(² + ) + y ()/(² + ) Rücktransf. x sinx cosx sinx (ω ) y(x) x - sinx + y()cosx + y ()sinx y (x) - cosx - y()sinx + y ()cosx Randbed.: y(π/ ) π/ - sinπ/ + y()cosπ/ + y ()sinπ/ π/ y () y () - π/ y (π/ ) - cosπ/ - y()sinπ/ + y ()cosπ/ - - y() + y() y(x) x - sinx + + ( - π/)sinx x - sinx + sinx - π/ sinx y(x) x -(π/)sinx Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 4

5 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Aufgabe 4: F(y ) ²F() - y() - y () F(y ) F() - y() ( Rechenregeln) ( Rechenregeln) ²F() - y() - y () + F() - y() + F() ²F() F() - + F() F() { ² + + } F() /(² + + ) /(+)² Korresondenztabelle Nr. 9 (n, a ) y x e -x Aufgabe 5: F(y ) ²F() - y() - y () ( Rechenregeln) F(cosx) /(²+4) ( Korresondenztabelle Nr. 6, ω ) ²F() - y() - y () + F() /(²+4) F() {² + } /(²+4) + y() + y () F() /[(²+4)(²+)] + y() /(²+) + y ()/(²+) Zerlegung des ersten Bruchs: B + C B + C ( + )( + ) (s. Anm. in Ka...6., a ) Koeff.vergl.: (B + C )( + ) + (B + C )( + 4) C C B -/ B / (bitte nachrechnen!) F() / /( +) - / /( +4) + /( +) + Rücktransformation über Korresondenztabelle (Nr. 6): f(t) 4/ cos(x) - / cos(x) Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 5

6 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Aufgabe 6: y'' - 5y' + 4y x F() - y() - y'() - 5 [F() -y()] + 4F() / F()[ ] / + y() ( - 5) + y'() Randbedingung: y() y'() F( ) 4 + ( 5 + 4) Partialbruchzerlegung: Nullstellen von N(x):, 5/ ± (5/4-6/4) 5/ ± / 4 + doelte Nullstelle bei,4 F() kann in 4 Partialbrüche zerlegt werden F( ) A B C D Bestimmung von A,B,C u. D durch Koeffizientenvergleich: A[ ] + B[ ] + C[ - 4 ] + D[ - ] [A + C + D] + [-5A + B - 4C - D] + [4A - 5B] + 4B Lineares Gleichungssystem: A + C + D -5A + B - 4C - D -4 4A - 5B 4B B /4 4A 5B 5/4 A 5/6 Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 6

7 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation -4C - D /6-4/6-4/6 C + D - 5/6 /6 D /6 - C -C - /6-4/6 C / D /48 F( ) Rücktransformation mit Korresondenztabelle (Nr., (n), 4): 5 y( x) + x + e x + e x (Setzen Sie bitte zum Test die Randbedingungen ein) Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 7

8 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Ergänzungsaufgaben zur Lalace-Transformation. Bestimmen Sie mittels Integral die Lalace-Transformierte zu den folgenden Funktionen: a) f ( t) cos( ωt) c) δt f ( t) e sin( ωt) b) 4t f ( t) t e d) f ( t) sinh( at). Berechnen Sie die Lalace-Transformierte von f ( t) cos( ωt) folgenden Beziehungen: cos ( ωt) jωt jωt e und { e } + e f t t e) ( ) f) f ( t) sin ( t) unter Berücksichtigung der LT at a. Führen Sie für folgende Funktionen die Lalace-Transformation durch: a) at at f ( t) e e c) f ( t) sin( 4t ) + 5cos( t ) b) f ( t) t + t + 4. Wie lautet die Lalace-Transformierte zu den folgenden Funktionen: a) f ( t) sin ( t ) t < t c) f ( t) sin ( ωt ϕ ) t < ϕ ω t ϕ ω b) f ( t) ( t ) t < t 5. Führen Sie die Lalace-Rücktransformation (Korresondenztabelle) durch für folgende Funktionen: a) F ( ) F + ( ) + b) ( ) c) F ( ) d) F ( ) Bestimmen Sie die Originalfunktionen f(t) mittels Partialbruchzerlegung: a) F ( ) ( + ) ( ) c) F ( ) ( + ) ( + 4) b) F ( ) ( + ) d) F( ) ( a) Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 8

9 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation e) F( ) ( + a ) + g) F ( ) schwierig + f) F ( ) h) ( ) schwierig! F 7. Wie lautet die Lalace-Transformierte der folgenden Differentialgleichungen? a) 4y'' + y f (t) c) y (4) - 6y f (t) b) 5y''' + 6y' + y f (t) 8. Bestimmen Sie für folgende DGLn mit konstanten Koeffizienten die Lalace- Transformierte F() der Lösung y(t). a) y' + y t Anfangswert: y() b) y'' + y' + y cos(t) Anfangswerte: y() y'() 9. Welchen Anfangswert f() besitzt die zugehörige Originalfunktion f(t)? + 8 a) F ( ) + b) F ( ) + ( ) + 4 Anleitung: Verwenden Sie den entsrechenden Anfangswertsatz (Vorlesg. Ka...). Berechnen Sie mit Hilfe des Endwertsatzes aus der gegebenen Lalace-Transformierten F() den Endwert f( ) der zugehörigen Originalfunktion f(t). a) F ( ) ( + 4) e F b) ( ) Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 9

10 Übungsaufgaben "Mathematik : Fourier- und Lalace-Transformation", Teil : Lalace-Transformation Lösungen zu den Ergänzungsaufgaben zur Lalace-Transformation. a) +ω b) ( + 4) c) ω ( + δ ) + ω a d) a 6 e) 4 f) ( + 4). +ω a. a) a b) c) a) / e + 9 b) 6 e 4 c) ω e + ω ϕ ω 5. a) t t e b) sin( t ) c) e t t + sin t cos d) e t sin ( t) t t 6. a) ( e e ) b) cos( t) c) ( sint sin t ) 6 d) t e at e) cos(at) ½ at sin(at) f) e -t + e t g) e -t (cos t + sin t) h) + t + t + cos t sin t 7. a) F ( ) LT{ y} b) F ( ) LT{ y} LT LT ' { f ( t) } + 4( y + y ) 4 + '' ' { f ( t) } + 5( y + y + y ) y c) F ( ) LT{ y} LT { f ( t) } + y '' + y + y 4 6 ''' ' + y 8. a) F ( ) LT{ y} b) F ( ) LT{ y} ( + ) ( + ) ( + 4) 9. a) b). a) ¼ b) (mit Regel von L'Hosital) Prof. Dr.-Ing. T. Benkner