Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/6..6 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 67 (Übung) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems. y (x) = x y(x) + x, y() =. + x Es handelt sich bei der Differentialgleichung um eine lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung. In der Notation des Satzes. sei a : R R mit x und b : R R mit x x. Es gilt x +x s A(x) := a(s) ds = ds = [ + s ] s=x = + x x + s s= mit x := sowie e A(s) b(s) ds = e +s + s ds = [ s=x P.I. = + s e +s +] s= = + x e +x + + ( ) s + s e +s + ds + s s + + s e +s + ds [ e +s + ] s=x s= = ( + x + )e +x + für alle x R. Nach dem Satz aus Abschnitt. der Vorlesung ist y : R R mit y(x) = y e A(x) + e A(x) e A(s) b(s) ds = 3e +x + x x für alle x R die maximale Lösung des Anfangswertproblems. Dabei ist in unserem Fall y := y(x ) =. Aufgabe 68 (Tutorium) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme. a) y (x) = xy(x) + x 3, y() =. b) y (x) = x 4xy(x) +x, y() =. a) Es handelt sich bei der Differentialgleichung um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. In der Notation des Satzes. sei a : R R mit x x und b : R R mit x x 3.

2 Es gilt A(x) := a(s) ds = s ds = [ s ] s=x = s= x x mit x := sowie e A(s) b(s) ds = s 3 e s ds = s ( s)e s ds P =.I. [ s e s] s=x x ( s)e s ds s= = x e x [ e s ] s=x = s= ( + x )e x für alle x R. Nach dem Satz aus Abschnitt.3 der Vorlesung ist u : R R mit y(x) = y e A(x) + e A(x) x e A(s) b(s) ds = e x für alle t R die maximale Lösung des Anfangswertproblems. + x b) Es handelt sich bei der Differentialgleichung um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. In der Notation des Satzes. sei a : R R mit x 4x und b : R R mit +x t x. Es gilt +x 4s A(x) := a(s) ds = x + s ds = [ log( + s ) ] ( ) s=x = log( + s= x ) = log ( + x ) sowie x e A(s) b(s) ds = = [ s 3 ( e log 3 + s5 5 ) (+s ) ] s=x s= s + s ds = = x3 3 + x5 5 ( + s ) s + s ds = s + s 4 ds für alle x R. Nach der Bemerkung nach Satz. der Vorlesung ist y : R R mit y(x) = u e A(x) + e A(x) x e A(s) b(s) ds = + x3 für alle x R die maximale Lösung des Anfangswertproblems. Aufgabe 69 (Übung) 3 + x5 5 ( + x ) Bestimmen Sie die maximale Lösung des folgenden Anfangswertproblems. y (x) = xe x y (x), y() =. Es handelt sich bei der Differentialgleichung um eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen. In der Notation des Satzes., sei I = R, J = (, ), f : R R mit x xe x, und

3 g : (, ) R mit y y. Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch F(x) = x f (s) ds = P.I. = [ se s ] s=x s= + se s ds e s ds = [ se s e s ] s=x s= = ( + x)e x für alle x I. Eine Stammfunktion von g ist gegeben durch y y G(y) = y g(s) ds = s ds = y. Nach Satz. ergibt sich die Lösung y : I x R nun durch Auflösen der Gleichung G(y(x)) = F(x) nach y(x), also y(x) = ex + x Dabei ist das Intervall I x das größte Teilintervall von I mit y I x, auf dem y definiert ist und y(i x ) J = (, ), also I x = (, ). Da y in nicht stetig fortsetzbar ist, ist dies das maximale Existenzintervall. Aufgabe 7 (Tutorium) Bestimmen Sie die maximale Lösung der folgenden Anfangswertprobleme. a) y (x) = e y(x) sin(x), y() = log(3). b) y (x) = x y 3 (x), y() =. a) Es handelt sich bei der Differentialgleichung um eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen. In der Notation des Satzes., sei I = R, J = R, f = sin und g = exp. Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch F(x) = f (s) ds = sin(s) ds = cos(x). x Eine Stammfunktion von g ist gegeben durch y y G(y) = y g(s) ds = e s ds = 3 e y. log(3) Nach Satz. ergibt sich die Lösung y : I x R nun durch Auflösen der Gleichung G(y(x)) = F(x) nach y(x), also y(x) = log( + cos(x)). Dabei ist das Intervall I x das größte Teilintervall von I mit y I x, auf dem y definiert ist, also I x = R, was automatisch das maximale Existenzintervall ist. b) Es handelt sich bei der Differentialgleichung um eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen. In der Notation des Satzes.4, sei I = R, f : I R mit x x und g : R \ {} R mit y y 3. Wegen u = bietet es sich an, J = R + zu wählen (das größte 3

4 Intervall, welches y enthält und auf dem g das Vorzeichen von g(u ) = Stammfunktion von f ist gegeben durch 4 > hat). Eine F(x) = f (s) ds = s ds = x3 x 3. Eine Stammfunktion von g ist gegeben durch y y G(y) = y g(s) ds = y 3 ds = y4 4 Nach Satz. ergibt sich die Lösung y : I x R nun durch Auflösen der Gleichung G(y(x)) = F(x) nach y(x), also y(x) = 4 x3 3, wobei das Vorzeichen von y durch y = festgelegt ist. Dabei ist das Intervall I x das größte Teilintervall von I mit y I x, auf dem y definiert ist, also I x = (, 3 3). Da lim x 3 3 y(x) = und nicht im Definitionsbereich von g liegt, haben wir das maximale Existenzintervall gefunden. Aufgabe 7 (Übung) Seien γ,ω > mit ω > γ. Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems. (x) + γy (x) + ω y(x) = sin(ω x), y() =, y () =. Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zunächst bestimmen wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. λ + γλ + ω = λ = γ ± γ ω = γ ± i ω } {{ } γ } {{ } < =:ω Nach Satz.4 der Vorlesung ist also y h (x) = c e γx cos(ωx) + c e γx sin(ωx) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (x) + γy (x) + ω y(x) = In der Notation der Vorlesung (nach Satz.5) gilt für unsere Inhomogenität m =, α = und β = ω. Da iω keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, machen wir den Ansatz y p (x) = Acos(ω x) + Bsin(ω x) 4

5 für eine spezielle Lösung der Differentialgleichung. Die Ableitungen sind durch y p(x) = ω ( Asin(ω x) + Bcos(ω x)) p (x) = ω ( Acos(ω x) Bsin(ω x)) gegeben. Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: p (x) + γy p(x) + ω y p(x) = ( Aω + Bγω + Aω ) cos(ω x) + ( Bω Aγω + Bω ) sin(ω x) = γω Bcos(ω x) γω Asin(ω x)! = sin(ω x) Diese Gleichung ist für B = und A = γω erfüllt. Also ist y p (x) = γω cos(ω x) eine spezielle Lösung der Differentialgleichung und die maximale Lösung des Anfangswertproblems ist durch y(x) = y h (x) + y p (x) = c e γx cos(ωx) + c e γx sin(ωx) γω cos(ω x) gegeben, wobei die Konstanten c und c so gewählt werden müssen, dass die Anfangswertbedingungen erfüllt sind. Es ist c γω = y()! = y =, also c = + γω, und wegen y (x) = γe γx cos(ωx) ωe γx sin(ωx) c γe γx sin(ωx) + c ωe γx cos(ωx) + γ sin(ω x) ist c γ + c ω = y () =! y = c = c γ ω = ( γ + ) ω ω und die maximale Lösung des Anfangswertproblems lautet: ( y(x) = + ) ( ) e γx cos ω γω γ x + ( γ + ) ( ) e γx sin ω ω ω γ x cos(ω γω x) Aufgabe 7 (Tutorium) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems (x) + y (x) + y(x) = e x, y() =, y () =. Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zunächst bestimmen wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. λ + λ + = λ = ± = 5

6 Nach Satz.4 der Vorlesung ist also y h (x) = c e x + c te x die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (x) + y (x) + y(x) = In der Notation der Vorlesung (nach Satz.5) gilt für unsere Inhomogenität m =, α = und β =. Da keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, machen wir den Ansatz y p (x) = Ae x für eine spezielle Lösung der Differentialgleichung. Die Ableitungen sind durch y p(x) = Ae x, p (x) = 4Ae x gegeben. Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: p (x) + y p(x) + y p (x) = 4Ae x + Ae x + Ae x = 9Ae x! = e x Diese Gleichung ist für A = 9 erfüllt. Also ist y p (x) = 9 ex eine spezielle Lösung der Differentialgleichung und die maximale Lösung des Anfangswertproblems ist durch y(x) = y h (x) + y p (x) = c e x + c xe x + 9 ex gegeben, wobei die Konstanten c und c so gewählt werden müssen, dass die Anfangswertbedingungen erfüllt sind. Es ist y() = c +! = y 9 = c = 8 9 und wegen y (x) = 8 9 e x c xe x + c e x + 9 ex ist y () = c + 9 = c 6 9! = y = c = 6 9 und die maximale Lösung des Anfangswertproblems lautet: y(x) = 8 9 e x xex + 9 ex 6