Name Vorname Fachrichtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe max. Punkte Punkte. Bitte beachten!

Transkript

1 Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Mihael Höding Modulprüfung Mathematik III Fahrihtung: Computer Siene in Engineering, Computervisualistik, Informatik, Wirtshaftsinformatik WS / 8.. Name Vorname Fahrihtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe max. Punkte Punkte Note Bitte beahten! Shreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Matrikelnummer. Beginnen Sie jede Aufgabe mit einem neuen Blatt. Alle Aussagen müssen sorgfältig begründet werden. Bearbeitungszeit Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: Keine. Viel Erfolg!

2 . Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Monat genügt folgender Verteilung: Ausfälle x i 4 > 4 P (X = x i ), 5,,,, Der Ausfall des Servers verursaht vershiedene Kosten. Der einmalige Ausfall des Servers kostet Euro. Fällt der Server zweimal aus, so betragen die Kosten 5 Euro. Bei drei- und viermaligem Ausfall müssen jeweils Euro bezahlt werden. i) Wie groß ist die Wahrsheinlihkeit dafür, dass mehr als Euro Kosten im Monat wegen Ausfällen des Servers entstehen? ii) Wie groß sind die im Monat zu erwartenden Kosten? i) Y - zufällige Kosten pro Monat wegen Ausfällen des Servers. Verteilung von Y : Ausfälle x i 4 > 4 Kosten 5 P (X = x i ), 5,,,, P (Y > ) = P (X > ) = P (X = )+P (X = )+P (X = 4) =, ii) E(X) = (, 5 +, + 5, +, +, ) Euro = 75 Euro. Die Breite des Controllers auf einem USB-Stik X in mm lässt sih als Zufallsvariable auffassen. X sei normalverteilt und habe den Mittelwert µ = mm und die Standardabweihung σ =, mm. i) Wieviel Prozent Ausshuß sind zu erwarten, wenn die Breite um maximal ±, mm vom Sollwert mm abweihen soll? ii) Wie müssen die Toleranzgrenzen und + gewählt werden, damit niht mehr als 5% Ausshuss entstehen? (Die Verteilungstabelle der Normalentwiklung finden Sie am Ende der Aufgaben.) ( i) P (, X +, ) = Φ ) (, Φ = Φ(, 5) Φ(, 5) = Φ(, 5) ( Φ(, 5)) ) 9,97

3 = Φ(, 5), 8664 (Wahrsheinlihkeit, dass X im Toleranzbereih) Gesuhte Wahrsheinlihkeit:, 8664 =, 6 % ii) P (( ) X ( + ) ) =, 5 + Φ Φ =, 5 ( ) ( ( )) Φ Φ =, 95 ( ) ( ) Φ =, 95 Φ =,95 =, 975 =, 96, 9 9, 96 X, 9. Gegeben seien A = os ϕ 6 os ϕ sin ϕ 6 sin ϕ os ϕ os ϕ, Q = sin ϕ sin ϕ und b = 4 i) Zeigen Sie, dass Q zu einer QR-Faktorisierung QR = A der Matrix A gehört. Hinweis: r sin ϕ + r os ϕ = r. ii) Lösen Sie das Gleihungssystem Ax = QRx = b mithilfe der QR- Faktorisierung. os ϕ i) q = und q = os ϕ also q = q = q = q = 6 os ϕ 6 sin ϕ 6 os ϕ 6 sin ϕ os ϕ sin ϕ os ϕ sin ϕ os ϕ sin ϕ 4 os ϕ + 4 sin ϕ + 4 =, os ϕ+ sin ϕ+ 6 os ϕ 6 sin ϕ, os ϕ sin ϕ os ϕ os ϕ mit ϕ R.

4 und q = 9 os ϕ + 9 sin ϕ + = also q = os ϕ os ϕ und Q = sin ϕ sin ϕ os ϕ sin ϕ oder alternativ zeigen, dass Q eine orthogonale Matrix ist und R berehnen, so dass A = QR (Siehe ii)!). ii) Aus A = QR folgt R = Q T A. ( R = os ϕ sin ϕ ) os ϕ sin ϕ QRx = b Rx = Q T b ( Q T b = os ϕ sin ϕ ) os ϕ sin ϕ ( ) ( ) 6 Rx = 6 x = x = ( und ) x = x = os ϕ 6 os ϕ sin ϕ 6 sin ϕ 4 = = ( 6 ( 6 4. Gegeben sei die Funktion f : [, ] R mit f(x) = x 4 sin ( π x) +. i) Bestimmen Sie eine Näherung N des Integrals ) f(x) dx mithilfe der Simpson shen Regel, also der Newton-Cotes-Formel für n = mit den Stützstellen x i = i mit i =,,. ii) Zeigen Sie, dass p(x) = 5x 8x + das quadratishe Interpolationspolynom von f an den Stützstellen x i = i mit i =,, ist. iii) Zeigen Sie, dass die Näherung N aus i) dem Integral p(x) dx entspriht. i) I = f(x)dx 6 (f() + 4f() + f()) = ( + 4 ( ) + 6) = 4 ) 4

5 ii) iii) i x i f(x i ) 6 p(x) dx = p(x) = a + a x + a x = a = a + a + a 6 = a + a + 4a a =, a = 5, a = 8 p(x) = 8x + 5x (5x 8x + ) dx = [ 5 x 4x + x ] = = 4 6 = 4 also N = 4 = p(x) dx 5. Bestimmen Sie alle Lösungen y : R R der Differentialgleihung y y = e x, mit y() =. Gehen Sie dabei wie folgt vor: i) Lösen Sie die zugehörige homogene Differentialgleihung. ii) Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleihung. iii) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der obigen inhomogenen Differentialgleihung und alle Lösung y mit y() =. i) Die zugehörige homogene Differentialgleihung ist y y =. Die Lösung y h davon kann man mittels Separation der Variablen (Satz.4) wie folgt finden: dy y = dx. Somit ist ln(y h (x)) = x+ für eine Konstante R. Dann ist y h (x) = e x für R. ii) Eine partikuläre Lösung findet man mit Hilfe der Variation der Konstanten (Bemerkung.9) oder durh draufshauen. Diese ist dann der Form y p (x) = (x)e x 5

6 wobei (x) bestimmt werden soll (oder mit Bemerkung.9 direkt berehnet werden kann). Die Ableitung von y p ist nun y p (x) = e x (x) + (x)e x. Einsetzen in der inhomogenen Differentialgleihung liefert e x = e x (x) + (x)e x e x (x) = (x)e x. Also (x) = ex e x = e x. Mittels Integration bzgl. x erhalten wir (x): (x) = (x) dx = e x dx = e x +, mit R. Somit ist eine partikuäre Lösung ( = ) y p = e x e x = e x. iii) Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleihung ist gegeben durh (siehe Satz.6) y = y p + y h. Also ist R. y = e x + e x, Um die Lösung des Anfangswertproblems zu finden, setzen wir den Wert in der inhomogenen Differentialgleihung ein: = y() = +. Somit ist =, und y = e x + e x ist die Lösung des Anfangswertproblems. 6. a) Bestimmen Sie alle γ R, so dass die Funktionen e x und e γ x linear unabhängig sind. b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleihung y + 4 y = e x. zu a) Mit y = e x und y = e γ x ergibt sih für die Wronski-Determinante (siehe Def..4 und Satz.5) ( ) ( ) y y W (x) = det e x e y y = det γ x e x γ e γ x = γe x e γx e x e γx = (γ )e γx+. Somit ist W (x) = genau dann, wenn γ = ist, d.h., für γ sind die Funktionen linear unabhängig. 6

7 zu b) Es handelt sih hierbei um eine inhomogene lineare DG.ter Ordnung mt konstanten Koeffizienten. Gemäß Satz.6 betrahten wir das zugehörige harakteristishe Polynom τ(λ) = λ + 4 mit den komplexen Nullstellen ± i. Nah.6 führt dies zu den beiden Lösungen os( x) uns sin( x), so dass die allgemeine Lösung der homogenen DG y + 4 y = gegeben ist durh os( x) + sin( x),, R. (*) Zum Ermitteln einer partikulären Lösung y p von y + 4 y = e x verwenden wir den Ansatz aus Satz.7, das bedeute hier wegen τ() : y p (x) = b e x. Es ist y p(x) = b e x und y p(x) = 9 b e x. Einsetzen in die DG liefert e x = y p + 4 y p = 9 b e x + 4 b e x = b e x. Also b = und somit ist y p(x) = e x eine partikuläre Lösung. Zusammen mit (*) und Satz.6 sind daher e x + os( x) + sin( x),, R, alle Lösungen der DG y + 4 y = e x. 7