Angewandte Mathematik - Probeklausur SS 10 - Prof. Scheltho. 1. Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion. f(x; y) = 1 xy. D v (f) = grad f ~v

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1 Angewandte Mathematik - Probeklausur SS 0 - Prof. Sheltho. Berehnen Sie die Rihtungsableitung der Funktion f(x; y) = xy im Punkt ~x 0 = (x 0 ; y 0 ) = (; 3) in Rihtung des (bereits normierten) Vektors ~v = p mit Hilfe des Skalarproduktes D v (f) = grad f ~v. Berehnen Sie zur Funktion f(x; y) = e x y die Tangentialebene im Punkt x 0 = ; y 0 = 3 in kartesisher Form, also T (x; y) = f(x 0 ; y 0 ) + f x (x 0 ; y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 ) (y y 0 ) 3. Berehnen Sie alle komplexen Lösungen in der kartesishen Form der Gleihung z = 6i 4. Berehnen Sie das Volumen der Funktion f(x; y) = x +y über den Ring zwishen den Kreisen mit Radius und um den Ursprung für positive x- und y-koordinaten. Fertigen Sie zunähst eine Skizze des Integrationsgebietes an. 5. Lösen Sie die DGL zweiter Ordnung a) y y 0 + 6y = 5 os(x) b) ) y y 0 + 9y = 3e x y 00 6y 0 + 3y = 3x + x y(0) = y 0 (0) = d) y y 0 + 6y = 6e x

2 6. Lösen Sie die DGL des Federpendels im Vakuum (keine Reibung) m y 00 (t) + y(t) = mg y(0) = 0 y 0 (0) = 0 und beshreiben Sie wie der Funktionsverlauf ist (Wie gross sind Minima/Maxima, welher Funktionstyp liegt vor?). 7. Welher Punkt (x 0 ; y 0 ) auf dem Einheitskreis, d.h. x 0 + y 0 = hat das größte bzw kleinste Produkt der Koordinaten, also ein lokales Extremum der Funktion f(x; y) = xy 8. Welher Punkte der Geraden y = 3x hat den kleinsten quadratishen euklidishen Abstand d = x + y zum Ursprung des Koordinatensystems? 9. Lösen Sie die Di erentialgleihungen zur gesuhten Funktion y(x) a) b) ) d) y 0 = x + y x + y y 0 = (x + y) y(0) = y 0 = y x y(0) = 5 y 0 xy = x ex 0. Berehen Sie zur Messung x k 0 y k die Regressionsgerade und den Korrelationskoe zienten.

3 Angewandte Mathematik - Probeklausur SS 0 - Prof. Sheltho. Berehnen Sie die Rihtungsableitung der Funktion f(x; y) = xy im Punkt ~x 0 = (; 3) in Rihtung des (bereits normierten) Vektors ~v = p mit Hilfe des Skalarproduktes D v (f) = grad f ~v D v (f) = grad f ~v! = y 0x 0 y0 x0 = p = = p p y 0 x 0 p p + y0 x 0 + x 0 y0 8 + x 0 y 0 = 5 7. Berehnen Sie zur Funktion f(x; y) = e x y die Tangentialebene im Punkt x 0 = ; y 0 = 3 in kartesisher Form, also T (x; y) = f(x 0 ; y 0 ) + f x (x 0 ; y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 ) (y y 0 ) p f(x; y) = e x y =) f(; 3) = 9 f x (x; y) = e x y =) f x (; 3) = 9 f y (x; y) = e x y =) f x (; 3) = 6 T (x; y) = (x ) + 6 (y 3)

4 3. Berehnen Sie alle komplexen Lösungen in der kartesishen Form der Gleihung z = 6i z = 6 e i900 n = ^r = 6 =) r = 4 ^' = 90 0 ' 0 = = 45 0 z 0 = 4 e i450 = os(45 0 ) + i 4 sin(45 0 ) = 4 p + p i = p + p i ' = = 5 0 z = 4 e i50 = 4 os(5 0 ) + i 4 sin(5 0 ) = 4 p p i = p p i 4. Berehnen Sie das Volumen der Funktion f(x; y) = x +y über den Ring zwishen den Kreisen mit Radius und um den Ursprung für positive x- und y-koordinaten. Fertigen Sie zunähst eine Skizze des Integrationsgebietes an. y x

5 Z '=0 Z r= r rdrd' = = = Z '=0 Z '=0 Z '=0 Z r= r drd' [ln(r)] r= d' ln()d' = ln() 5) Lösen Sie die DGL zweiter Ordnung a) y y 0 + 6y = 5 os(x) b) ) d) a) Allgem. Lsg der homogenen DGL Char. Gleihung y y 0 + 9y = 3e x y 00 6y 0 + 3y = 3x + x y(0) = y 0 (0) = y y 0 + 6y = 6e x = 0 r 5 5 ; = 4 = 3 _ = 4 4 Partik. Lsg y h = e 3x + e x y p = A sin(x) + B os(x) yp 0 = A os(x) B sin(x) yp 00 = A sin(x) B os(x) A sin(x) B os(x) + 5(A os(x) B sin(x)) + 6(A sin(x) + B os(x)) = 5 os(x) A 5B + 6A = 0 =) A = B B + 5B + 6B = 5 =) B = A = y p = sin(x) + os(x)

6 Allgem. Lsg der inhom. DGL y = y h + y p = e 3x + e x + sin(x) + os(x) b) Allgem. Lsg der homogenen DGL Char. Gleihung = 0 ; = 3 p 9 9 ; = 3 Partik. Lsg y h = ( + x) e 3x y p = Ae x y 0 p = Ae x yp 00 = Ae x Ae x + 6Ae x + 9Ae x = 6Ae x = 3e x =) A = y p = e x Allgem. Lsg der inhom. DGL ) Allgem. Lsg der homogenen DGL Char. Gleihung y = y h + y p = ( + x) e 3x + e x = 0 ; = 3 p 9 3 ; = 3 i y h = e 3x ( os(x) + sin(x))

7 Partik. Lsg y p = ax + bx + yp 0 = ax + b yp 00 = a a 6(ax + b) + 3(ax + bx + ) = x 3a + x ( a + 3b) + (a 6b + 3) = 3x + x Allgem. Lsg der inhom. DGL =) a = + 3b = =) b = = 0 3 = 4 = 4 3 y p = x + x y = y h + y p = e 3x ( os(x) + sin(x)) + x + x d) y(0) = 0 =) = 0 =) = 4 3 y 0 = 3e 3x ( os(x) + sin(x)) +e 3x ( sin(x) + os(x)) +x + y 0 (0) = = = 0 = 3 = 6 4 y = y h + y p = e 3x 3 os(x) 6 sin(x) + x + x Allgem. Lsg der homogenen DGL = 0 r 5 5 ; = = 3 _ =

8 Partik. Lsg y h = e 3x + e x y p = Axe x y 0 p = Ae x Axe x = Ae x ( x) y 00 p = Ae x Ae x ( x) = Ae x ( + x) = 4Ae x (x ) 4Ae x (x ) + 5Ae x ( x) + 6Axe x = e x (4A(x ) + 5A ( x) + 6Ax) = Ae x = 6e x Allgem. Lsg der inhom. DGL A = 6 y p = 6xe x y = y h + y p = e 3x + e x + 6xe x 6. Lösen Sie die DGL des Federpendels im Vakuum (keine Reibung) m y 00 (t) + y(t) = mg y(0) = 0 y 0 (0) = 0 und beshreiben Sie wie der Funktionsverlauf ist (Wie gross sind Minima/Maxima, welher Funktionstyp liegt vor?). Superposition Allg. Lsg der homogenen DGL y 00 (t) + m y(t) = g y p = mg + m = 0 r ; = m i r r y h = os( m t) + sin( m t)

9 Allg. Lsg der inhomogenen DGL y = mg r r + os( m t) + sin( m t) AWP y(0) = mg + = 0 mg = y 0 (t) = r m mg r r r sin( m t) + m os( m t) y 0 (0) = r m = 0 =) = 0 y(t) = mg = mg r mg os( m t) r os( m t) mit den Maximalauslenkun- Ist eine periodishe Oszillation um den Mittelwert mg gen 0 und os( p m t): 7) Welher Punkt (x 0 ; y 0 ) auf dem Einheitskreis, d.h. x 0 + y 0 = hat das größte bzw kleinste Produkt der Koordinaten, also ein lokales Extremum der Funktion f(x; y) = xy L(x; y; ) = xy + (x + y ) x L x = y + x = 0 L y = x + y = 0 L = x + y = 0 = y x y x = 0 =) x = y x = y = p

10 Kandidaten: p ; p ; p ; p ; p ; p ; p ; p ; Hesse-Matrix: L xx = L xy = L yy = L x = x L y = y 0 x H ya x y 0 det H = 8x + 8xy 8y = 8(x + y ) + 8xy = 8(xy ) p ; p ; p ; p ; p ; p ; : det H > 0 : Lok:Max: f p ; : det H > 0 : Lok:Max: f p ; : det H < 0 : Lok:Min: f p ; : det H < 0 : Lok:Min: f p = p ; p ; p ; p = p = p = 8. Welher Punkte der Geraden y = 3x hat den kleinsten quadratishen euklidishen Abstand d = x + y zum Ursprung des Koordinatensystems?

11 Wir betrahten das Quadrat des Abstandes, welhes dort minimal wird, wo der Abstand minimal wird, also f(x; y) = x + y g(x; y) = y 3x + = 0 L(x; y; ) = x + y + (y 3x + ) L x = x 3 = 0 L y = y + = 0 L = y 3x + = 0 = 3 x Kandidaten: Hesse-Matrix: y + 3 x = 0 =) y = 3 x 3 x 3x + = 0 =) 0 3 x = x = 6 0 = 0; 6 y = 0 = 0; (0; 6; 0; ; 0; 4) L xx = L xy = 0 L yy = L x = 3 L y = 0 H A 3 0 det H = 0 < 0 lokales Minimum f((0; 6; 0; ) = 0; ; 04 = 0; 4 p Abstand : 0:4 = 0; 63

12 y x 9. Lösen Sie die Di erentialgleihungen zur gesuhten Funktion y(x) a) b) ) y 0 = x + y x + y y 0 = (x + y) y(0) = y 0 = y x y(0) = 5 d) y 0 xy = x ex a) Substitution z(x) = y(x) x y = z x y 0 = z 0 x + z

13 ergibt z 0 x + z = x + z + z x z 0 x = x + z x Z z 0 = Z + z + z dz = dx ln( + z) = x + ~ z(x) = e x y(x) = (e x ) x b) Substitution z(x) = x + y(x) y = z x y 0 = z 0 ergibt Z z 0 = Z z z dz = dx z = x + z = x + y = x + x AWP: = = ) y = x x y 0 = y x y 0 y = x Linear inhomogene DGL mit konstanten Koe zienten

14 Allg. Lsg der homogenen DGL yh 0 y h = 0 y h = e x Partik. Lsg y p = ax + bx + yp 0 = ax + b ergibt ax + b (ax + bx + ) = x ax + (a b)x + (b ) = x a = b = = y p = x + x + Allg. Lsg der inhom. DGL y = y h + y p = e x + x + x + AWP: 5 = y(0) = + = 3 y = 3e x + x + x + d) y 0 xy = x e x Variation der Konstanten Homogene DGL y 0 xy = 0 y = e x Variation der Konstanten y = (x) e x y 0 = 0 (x) e x + (x) e x x = 0 (x) e x + y x y 0 xy = 0 (x) e x

15 0 (x) e x = x ex 0 (x) = x (x) = ln(x) + y = (ln(x) + ) e x 0. Berehen Sie zur Messung x k 0 y k die Regressionsgerade und den Korrelationskoe zienten. X xk = 0 X yk = X x k = 6 X xk y k = 7 n = 4 Zu lösen 4 0 j 0 6 j 7 liefert Korrelationskoe zient: a = 3 b = 7 6 y = x x = 0 y = 3

16 X (x x) = 6 X (y y) = = 54 X (x x)(y y) = 5 + ( 3) + ( 4) = 7 r x;y = 7 p 6 54 = 0; 944 d.h. es besteht ein stark negativer Zusammenhang.