Zusammenfassung Differentialgleichungen

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1 Zusammenfassung Differentialgleihungen 2 Februar Gewöhnlihe Dierentialgleihungen 101 Aufstellen einer Dierentialgleihung 1 Die gegebene Gleihung Φ(x, y, 1,, n ) = 0 n mal nah x dierenzieren Die Gleihungen nah den Konstanten auösen und in die Ausgangsgleihung einsetzen 2 Wegdierenzieren der Konstanten, dh Φ(x, y, 1,, n ) = 0 nah 1 auösen und dierenzieren, analog mit den anderen Konstanten fortfahren 11 gewöhnlihe Dgl 1Ordnung 111 orthogonale Trajektorien 1 Bestimmen der Dgl zur Kurvenshar Φ(x, y, ) = 0 2 Ersetzen von y durh 1 y 3 Lösen der neuen Dgl F (x, y, 1 y ) Ψ(x, y, ) = Elementare Lösungsmethoden a) Dgl vom Produkttyp y = g(x)h(y) dy h(y) = g(x)dx Substitution (y = y(x)) b) Dgl vom Typ y = g( y x ) Substitution u(x) = y x y = xu, y = u + xu neue Dgl: u + u x = g(u) u = g(u) u x du wie bei (a) g(u) u = dx x weiter ) Dgl vom Typ y = g(ax + by + ) 1 lineare Substitution u = ax+by +, u = a+by y = u a b weiter wie bei (a) d) Dgl vom Typ y = f ( ) ax+by+ αx+βy+γ neue Dgl: u a b = g(u) u = g(u) b+a 113 Lineare Dierentialgleihung 1Ordnung Form: y + a(x)y = f(x) Lösung: y = y h + y p Lösung der homogenen Dgl y = a(x)y nah 112a Partikuläre Lösung durh Variation der Konstanten y p = (x)y h (x) y h + y h + ay h = f(x) man erhält Gleihung für, Integration dann in y h einsetzen 1

2 114 Bernoullishe Dgl y + a(x)y + b(x)y α mit α 0, 1 Lösung: 1 Triviallösung y = 0 2 Division durh y α y y α + a(x)y 1 α + b(x) = 0 3 Substitution u = y 1 α u 1 α + a(x)u + b(x) = 0 lineare Dgl 1 Ordnung bezüglih u 115 Riatti - Gleihung y = f(x)y + g(x)y 2 + h(x) Sei ŷ eine spezielle Lösung der Dgl dann führt die Substitution y = ŷ + 1 u, y = ŷ 1 u 2 u zur Lösung (nur noh homogene Lösung gesuht) einsetzen u + [f(x) + 2ŷg(x)] u = g(x) 116 Exakte (totale) Dierentialgleihung Gleihung vom Typ g(x, y)dx + h(x, y)dy = dφ = 0 Φ(x, y) = C ist Lösung 1 Prüfen ob Dgl exakt: g y = h x 2 Φ x = g Integration nah x oder Φ y = h Integration nah y, dann nah der anderen Variable dierenzieren um die Integrationskonstante zu eliminieren (nah y (y), nah x (x), anshlieÿender Vergleih mit h bzw g) 3 Lösung der Form Φ(x, y) = C 117 Überführen in eine exakte Dgl Ist die Dgl niht exakt kann versuht werden durh Multiplikation mit Faktor µ = µ(x, y) eine exakte Dgl zu erhalten 1 2 g y h x h g y h x g hängt nur von x ab: µ (x) = gy hx h, µ berehnen, multiplizieren mit Dgl und dann Dgl lösen hängt nur von y ab: µ (x) = gy hx g µ(x), dann analog 118 Singuläre Lösung von Dgl 1Ordnung Eine Lösung y = y(x) der Dgl F (x, y, y ) = 0 heiÿt singuläre Lsg falls sie niht in der Kurvenshar Φ(x, y, ) = 0 der allgemeinen Lösung enthalten ist Ist y = y(x) eine Kurve, die jede Kurve der Kurvenshar berührt, so nennt man sie auh Hüllkurve Bestimmen der Hüllkurve: Φ(x, y, ) = 0 Gleihung für Einsetzen in Φ ergibt Hüllkurve 119 Zwei weitere Beispiele für implizite Dgl 1Ordnung a) Clair'autshe Dgl y = xy + f(y ) Substitution y (x) = p(x) y = xp + f(p), dierenzieren nah x: y = p = p + xp + f (p)p p (x + f (p)) = 0 1Fall: p = 0 y = 0 y = 1 x + f( 1 ) Geradenshar 2Fall: x + f (p) = 0 und auÿerdem y = xp + f(p) Parameterdarstellung b) d'alembert'she Dgl y = xf(y ) + g(y ) x = f (p) und y = pf (p) + f(p) 1Fall: Existiert ein mit f() =, dann ist y = x + g() die Lösung 2Fall: Substitution y = p, (x = x(p), y = y(p)), dy dx = p y = xf(p) + g(p) Dierentiation nah p: dy dp = dy dx dx dp = p dx dp = pẋ pẋ = ẋf(p) + xf (p) + g (p) ẋ = f (p) p f(p) x + g (p) p f(p), linerare Dgl 1Ordnung 2

3 12 Dierentialgleihungen höherer Ordnung 121 Dgl der Form y = f(x) Lösung durh zweimaliges Integrieren y = f(x)dx + 1 = F (x) + 1, y = F (x) + 1 x Dgl der Form y = f(y) Lösung durh Energiemethode y y = f(y)y Integration nah x Trennung der Variablen 1 2 (y ) 2 = F (y) + mit d dx F (y) = f(y)y nun weiter durh 123 Dgl der Form y = f(y, y ) 1Triviale Lösung: y = onst 2 Ansatz y = p(y), y = p (y)y = p p p p = f(y, p) Dgl 1Ordnung für p = p(y)ist p = p(y) Lösung dann durh Trennung der Variablen weiter um y = p(y) zu lösen 124 Dgl der Form y = f(x, y ) Substitution: y = u, u = u(x) u = f(x, u) Dgl 1Ordnung für u(x) 13 Lineare Dgl n-ter Ordnung allgemeine Lösung: y = y h + y p 131 homogene lineare Dgl n-ter Ordnung Gegeben: y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 0 (x)y = 0 ( ) a) Reduktionsmethode Vorraussetzung: v(x) ist Lösung von (*), dann Ansatz y(x) = z(x)v(x) b)homogene lineare Dgl mit konstanten Koezienten Gegeben: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 0 y = 0 Ansatz: y = e λx, einsetzen führt zum harakteristishen Polynom P (λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Es folgt die Bestimmung der Nullstellen ( ) 1Fall: Sei λ 1 eine einfah Nullstelle, dann ist e λ1x die zugehörige Lösung 2Fall: Sei λ 1 eine k fahe Nullstelle, dann sie die zugehörigen Lösungen: e λ1x, xe λ1x,, x k 1 e λ1x 3Fall: Sei λ 1 eine komplexe Nullstelle, dann ist auh die konjugiert komplexe Zahl Nullstelle mit gleiher Vielfahheit, Lösungen sind: e ax os(bx), xe ax os(bx),, x k 1 e ax os(bx), und e ax sin(bx), xe ax sin(bx),, x k 1 e ax sin(bx), wobei λ 1 = a + bi, λ 1 = a bi 132 inhomogene lineare Dgl n-ter Ordnung Gegeben: y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 0 (x)y = f(x) ( ) 3

4 a) Variation der Konstanten: Seien y 1,, y n n linear unabhängige Lösungen der zugehörigen homogenen Dgl und y(x) = 1 y n y n die allgemeine Lösung der homogenen Dgl Ansatz: y p = 1 (x)y n (x)y n y p = 1(x)y n(x)y n + 1 (x)y n (x)y n Setze 1(x)y n(x)y n = 0 y p = 1(x)y n(x)y n + 1 (x)y n (x)y n Setze 1(x)y n(x)y n = 0 y (n 1) p = 1(x)y (n 2) n(x)y n (n 2) + 1 (x)y (n 1) n (x)y n (n 1) Setze 1(x)y (n 2) n(x)y (n 2) n = 0 y (n) = 1(x)y (n 1) n(x)y n (n 1) + 1 (x)y (n) n (x)y n (n) Man erhält dann nah einsetzen in die Dgl folgendes Gleihungssystem: 1y ny n = 0 1y ny n = 0 1y (n 2) ny (n 2) n = 0 1y (n 1) ny n (n 1) = f(x) b) Ansatzmethode Hat f(x) folgende Form: f(x) = q(x)e αx os(βx), oder f(x) = q(x)e αx sin(βx) mit q(x) ein Polynom mit reellen Koezienten und grad(q) = m dann ist die Dgl u (n) + a n 1 u (n 1) + + a 1 u + a 0 u = q(x)e (α+iβ)x mit dem Ansatz 1Fall u(x) = (b 0 + b 1 x + + b m x m )e (α+iβ)x falls α + iβ keine Nullstelle von P (λ) 2Fall u(x) = (b 0 + b 1 x + + b m x m )x k e (α+iβ)x falls α + iβ eine Nullstelle mit der Vielfahheit k ist Anshlieÿend ist der Realteil (os) oder der Imaginärteil (sin) der Lösung zu bilden Bemerkung: Ist f(x) eine Summe von Funktionen der oben genannten Gestalt, so ist für jeden Summanden dieser Ansatz zu mahen 133 Die Eulershe Dierentialgleihung Gegeben: x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + + a 1 xy + a 0 y = f(x) mit a n 1,, a 0 Konstanten a) homogene Eulershe Dgl Ansatz: y = x λ (1) falls x > 0 oder y = ( x) λ für x < 0 oder Substitution x = e t, y(e t ) = u(t) Einsetzen von (1) liefert harakteristishes Polynom P (λ), nah Bestimmen der Nullstellen, ergibt es folgendes Fundamentalsystem von Lösungen: 1 Fall: Einer reellen Nullstellen λ der Vielfahheit k werden die k Lösungen zugeordnet: x λ, x λ ln(x),, x λ (ln x) k 1 2 Fall: Einem komplexen Nullstellenpaar α + iβ, α iβ werden die 2k Lösungen: x α os(β ln x), x α os(β ln x) ln x,, x α os(β ln x)(ln x) k 1 und x α sin(β ln x), x α sin(β ln x) ln x,, x α sin(β ln x)(ln x) k 1 4

5 b) inhomogene Eulershe Dgl 1 Möglihkeit: Variation der Konstanten { { os(β ln x) R 2Möglihkeit: Falls f(x) = q(ln x)x α = sin(β ln x) I q(ln x)xα+iβ wobei q(t), t = ln x ein Polynom mit reellem Koezienten ist, mit grad(q) = m man löst die Dgl x n u (n) + a n 1 x n 1 u (n 1) + + a 1 xu + a 0 u = q(ln x)x α+iβ mit dem Ansatz: u = (b 0 + b 1 ln x + + b n (ln x) m )(ln x) k x α+iβ mit k = 0 falls α + iβ keine Nullstelle von P (λ) ist, sonst ist k die Vielfahheit der Nullstelle 134 Potenzreihenansatz Gegeben: y (n) = f(x, y, y,, y (n 1) ) Ansatz: y = k=0 k(x x 0 ) k 14 Gewöhnlihe Dierentialgleihungssysteme 141 Dgl n-ter Ordnung Sytem von n Dglen 1Ordnung a) Gegeben y (n) = f(x, y, y,, y (n 1) ) Setze: y 1 = y 2, y 2 = y Systeme von linearen Dgl 1Ordnung a 11 (x) a 1n (x) Gegeben: y = A(x) y + f(x) mit A = oder ausführlih a n1 (x) a nn (x) y 1 = a 11 (x)y 1 + +a 1n (x)y n + f 1 (x) y n = a n1 (x)y 1 + +a nn (x)y n + f n (x) a) Lösen der homogenen Dglsysteme Ansatz: y = be λx einsetzen ergibt: λ be λx = (A b)e λx (A λe) b = 0, det(a λe) = 0 führt zum harakteristishen Polynom, um die Eigenwerte zubestimmen Einsetzen in (A λe) b = 0 führt zu den Eigenvektoren Lösung: y = y 1 y n = 1 e λnx Bei mehrfahen Nullstellen kommen Potenzen von x dazu b 11 b 1n e λ1x + + n b n1 b nn b) Bestimmen der partikulären Lösung durh Variation der Konstanten Der Ansatz y p = 1 (x) y n (x) y n führt auf das Gleihungssystem: 1 y n y n = f(x), welhes zu lösen ist Bestimmen von 1,, n, nah Integration: 1,, n, dann Einsetzten in y h ) Ansatzmethode { Ist f(x) = ( b 0 + b 1 x + + os(βx) b m x m )e αx dann führt der Ansatz u = ( B sin(βx) 0 + B 1 x + + B m+k x m+k )e (α+iβ)x zum Ziel, der in die Dgl: u = A u + ( b 0 + b 1 x + + b m x m )e (α+iβ)x eingesetzt wird, wobei k = 0 falls α + iβ keine Nullstelle von P (λ) ist, sonst ist k die Vielfahheit der Nullstelle B sind n dimensionale Vektoren, die durh Koezientenvergleih zu bestimmen sind 5

6 2 Funktionentheorie 21 Die Cauhy - Riemannshen Dierentialgleihungen Sei die Funktion f(z) = u(, x, y) + iv(x, y) in einer Umgebung z 0 = x 0 + iy 0 deniert Sie ist genau dann in z 0 dibar, wenn gilt u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) und v x (x 0, y 0 ) = u y (x 0, y 0 ) Folgernung: u xx + v yy = 0 und v xx + u yy = 0 (Laplae Gleihungen) 22 Integration von komplexen Funktionen 221 Zusammenhang zwishen komplexen und reellen Kurvenintegralen f(z)dz = u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy wobei Kurve und in C Kurve im R dh = {x + iy}, = {(x, y)} 222 Berehnung von komplexen Integralen Sei z(t) = x(t) + iy(t)eine Parameterdarstellung in der komplexen Ebene f(z)dz = β {u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))} (ẋ(t) + iẏ(t)) dt oder α β f(z)dz = f(z(t))ż(t)dt wihtiges Beispiel 1 f(z) = (z z 0 ) n { 0 n 1 f(z)dz = 2πi n = 1 2 f(z) = R(z z 0 ) f(z)dz = πir2 23 Der Cauhyshe Integralsatz Ist f(z) eine in einem einfah zusammenhängendem Gebiet G holomorphe Funktion, dann gilt: f(z)dz = 0 für jede geshlossene Kurve, die ganz in G liegt 231 Folgerungen aus den Cauhyshen Integralsatz α Ist f holomorph in G mit Ausnahme von endlih vielen Stellen Und 1, n Kurven um diese Stellen, dann gilt für beliebige Kurven in G f(z)dz = f(z)dz f(z)dz n für die n Stellen, die mit eingeshlossen sind 24 Die Cauhy'she Integralformel Sei f(z) in einem einfah zusammenhängendem Gebiet G holomorph Ist eine geshlossene, doppelpunktfreie Kurve in G, dann gilt für jeden Punkt z 0 im Inneren von : f(z 0 ) = 1 f(z) dz 2πi z z 0 6

7 25 Residuensatz Ist f(z)im abgeshlossenen Bereih B holomorph mit Ausnahme endlih vieler Punkte z 1, z 2,, z n die im Inneren von B liegen, dann gilt für das Integral über die Randkurve 1 f(z)dz = 2πi n Res z=zk f(z) k=1 7