Zusammenfassung Gewöhnliche Differentialrechnung

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1 Zusammenfassung Gewöhnliche Differentialrechnung Grundlage: Eigene Aufzeichnungen aus der Vorlesung Mario Chemnitz 3. September Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung Definition 1 Unter einer DGL erster Ordnung versteht man eine Gleichung y = K(x, y) x, y R. Eine reellwertige Funktion y(x) I heißt Lösung der obigen DGL, wenn y(x) auf I stetig diff.bar ist und y (x) = K(x, y) für alle x I gilt. Die Menge aller Lösungen der DGL heißt allgemeine Lösung. Eine einzelne Lösung dieser Menge wird als spezielle Lösung bezeichnet. Bei einem AWP für die DGL ist zusätzlich noch in einem Punkt x 0 der Wert der Lösungsfunktion y(x 0 ) = y 0 vorgegeben. Definition 2 Eine DGL der Form heißt DGL mit trennbaren Variablen. y = f(x) g(y) Unter einem Richtungsfeld versteht man die Menge aller Linienelemente (Linienelement: [x, y, K(x, y)] ), d.h. alle Anstiege y bzw. Richtungen, die durch Punkte (x, y) zuordenbar sind. Lösen der DGL heißt dann eine Funktion y(x) zu finden, die in das Richtungsfeld passen, d.h. für die gilt: (x, y, y (x)) = (x, y, K(x, y)) ( Differentialgleichungen vom Typ y = h 1. Fall y = h(ax + by + c) ( ) ax+by+c αx+βy+γ ) 1

2 Ansatz: z(x) = ax + b y(x) + c ( ) y (x, y) = h(z) Sei y(x) Lsg. von ( ). Bilden der Ableitung von z(x): z (x) = a + b y (x) = a + b h(z(x)) DGL erster Ordnung mit trennbaren Variablen z = f(z) Lösen und Einsetzen ergibt: Ist Lösung von ( )! y(x) = 1 ( z(x) ax c) b 0 b 2. Fall y = h( y x ) x 0 Ansatz: z(x) = y(x) x bzw. z(x) x = y(x) Sei y(x) Lsg. Bilden der Ableitung von z(x): z (x) x = y (x) = h(z(x)) z (x) = 1 ( ) x h(z) z DGL erster Ordnung mit trennbaren Variablen z = f(z) Lösen und in z(x) x = y(x) einsetzen. Lösung! ( 3. Fall y = h ax+by+c αx+βy+γ Sonderfall: α = β = 0 1. Fall 3.1 a b α β = 0 α b = a β Wenn β = 0 (α 0) b = 0 ) y = h ( ) ax + c αx + γ trivial 2

3 Wenn α = 0 (β 0) a = 0 y = h ( ) by + c βy + γ trivial Wenn β 0 und α 0 dann ex. λ mit a = λα, b = λβ ( ) λαx + λβy + c y = h αx + βy + γ 3.2 a α Dann ist das Gleichungssystem Ansatz : z(x) = αx + βy(x) z = α + β y = α + β h b β 0 α b a β ( λz + c z + γ ) trivial ax 1 + bx 2 + c = 0 αx 1 + βx 2 + γ = 0 eindeutig lösbar. Lösung (x 1, x 2 ) bestimmen! Nun Einführung neuer Variablen: x := u + x 1, y := v + x 2 v(u) := y(u + x 1 ) x 2 dv Kettenregel dy = du dx dx du Substitution dy = dx d(u + x 1) } du {{} =0 = y (u + x 1 ) ( ) dv a(u + du (u) = h x1 ) + b(v(u) + x 2 ) + c α(u + x 1 ) + β(v(u) + x 2 ) + γ ( ) au + bv(u) da = h ax 1 + bx 2 + c = 0 αu + βv(u) ( a + b v ) v u = h α + β v u 0 u (Euler) homogene DGL 2. Fall! 3

4 1.4 aus den Aufzeichnungen fehlt!!! Definition 3 Eine DGL der Form y = P (x) y + Q(x) y n n R heißt Bernouli sche DGL. Vorüberlegung: 1 1 n y n y }{{} Kettenregel d(y 1 n ) dx y = P (x) y + Q(x) y n : y n = P (x) y 1 n + Q(x) = P (x) y 1 n + Q(x) Subst. : z(x) = y 1 n z (x) = (1 n) P (x) z(x) + (1 n) Q(x) Satz 1 Es sei y = P (x) y + Q(x) y n mit y(x 0 ) = y 0 > 0; P (x), Q(x) stetig auf I(x 0 I) und n 0, 1 (da bereits bekannt). Dann besitzt das AWP genau eine Lösung auf dem Teilintervall Ĩ. y(x) ist durch y(x) = z(x) 1 1 n auf dem größten x0 enthaltenen Teilintervall Ĩ definiert, auf dem z(x) durchweg positiv ist. z(x) ist dabei die Lösung von z (x) = (1 n) [P (x) z(x) + Q(x)] (bei einem AWP gilt z(x 0 ) = z 0 ). Tipp: Die Lösung dieser DGL erfolgt i.a. über die Variation der Konstanten. Definition 4 Eine DGL der Form heißt Riccati sche DGL. y = f(x) y 2 + g(x) y + h(x) Satz 2 Es sei f(x), g(x), h(x) stetig auf I. Ist y p (x) eine partikuläre Lösung der Riccati schen DGL, so erhält man alle Lösungen dieser DGL in der Form y = y p + u, wobei u die allgemeine Lösung der Bernoulli schen DGL u = [2 f(x) y p + g(x)] u + f(x) u 2 4

5 Definition 5 Eine DGL der Form P (x, y) + Q(x, y) y = 0 P(x,y), Q(x,y) stetig auf D (Def.Rechteck) heißt exakt, wenn eine stetig partiell diff.bare Funktion F (x, y) D existiert mit F (x, y) x = P (x, y) F (x, y) y = Q(x, y) (x, y) D (P,Q) heißt Potentialfeld/Gradientenfeld, wenn gilt F y (x 0, y 0 ) = lim y y0 F (x 0, y) F (x 0, y 0 ) y y 0 Satz 3 Gegeben seien eine exakte DGL und die zugehörige Potentialfunktion F(x,y). (i) y(x) ist eine Lsg. der DGL genau dann wenn F (x, y(x)) = const (ii) x(y) ist eine Lsg. der DGL genau dann wenn F (x(y), y) = const x y (iii) Ist (x 0, y 0 ) D und grad F (x 0, y 0 ) (0, 0) so ist die DGL mit dem Anfangswert y(x 0 ) = y 0 in der Def.Umgebung lösbar. Satz 4 P (x, y), Q(x, y) D seien stetig partiell diff.bar. Die obige DGL ist exakt genau dann wenn auf D gilt P y Q (x, y) = (x, y). x Sei (x 0, y 0 ) D fixiert, so lässt sich eine Partialfunktion F(x,y) bestimmen als F (x, y) = x x 0 P (t, y 0 )dt + y y 0 Q(x 0, s)ds Die Lösung des AWP wird dann implizit gegeben durch F (x, y) = 0 P = F x P y = 2 F x y Q = F y i.a. = Q x = 2 F x y 5

6 Rechenvariante: Bemerkung: F (x, y) = c löst die DGL nur, wenn sie exakt ist! G(x, y) = Q(x, y) dy ϕ (x) ermitteln ϕ(x) berechnen F (x, y) nach y(x) umstellen = Lösung! F (x, y) := G(x, y) + ϕ(x) F G (x, y) = x x (x, y) + ϕ! (x) = P (x, y) Multiplikator-Methode: Gesucht wird eine Funktion M(x, y), sodass eine nicht-exakte DGL nach Multiplikation mit M(x,y) in eine exakte DGL bergeht. (M P ) y M(x, y) P (x, y) + M(x, y) Q(x, y) y = 0 = M y P + M P y! = M x Q + M Q x = (M Q) x Spezialfälle integrierender Faktoren: Spezielle DGL ] [ P Q y x [ P Q y x [ P Q y x ] ] 1 Q(x,y) = f(x) 1 P (x,y) = g(y) 1 x P (x,y) y Q(x,y) = h(x y) M(x Integrierender Faktor M(x) = exp f(x)dx M(y) = exp g(y)dy y) = exp h(t)dt t=xy 6

7 2. Existenz- und Unitätssätze Integraloperator y(x) sei eine Lösung des AWP y(x 0 ) = y 0. y (x) = k(x, y(x)) y(x) = y 0 + (K y)(x) := y 0 + x x 0 k(t, y(t))dt (Integralgleichung) x x 0 k(t, y(t))dt Und umgekehrt ist y(x) eine stetige Fkt., die die gegebene Integralfunktion löst. So ist y(x) stetig diff.bar und löst das AWP. K ist ein Integraloperator, der stetige (diff.bare) Funktionen wiederum zu stetigen Funktionen ableitet. Lipschitzbedingung (bzgl. y): L > 0 (x, y), (x, ȳ) Q = {(x, y) : x x 0 c, y y 0 d} : k(x, y) k(x, ȳ) L y ȳ [...] Abschnitt 2 wird an dieser Stelle nicht weiter geführt! 7

8 3. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Definition 1 Eine DGL der Form y (n) (x) + p n 1 (x) y (n 1) (x) + + p 1 (x) y (x) + p 0 (x) y(x) = q(x) mit p n 1 (x),..., p 1 (x), p 0 (x), q(x) J heißt lineare DGL n-ter Ordnung. Lemmata Lemma 1 Die allgemeine Lsg. der inhomogenen DGL ist gleich der Summe aus der allgemeinen Lsg. der homogene DGL und einer partikulären Lsg. der inhomogenen DGL: y inh (x) = y homog (x) + y part (x) Lemma 2 Jede Linearkombination u(x) = c 1 u 1 (x) + + c n u n (x) von Lsg.en der homogenen DGL ist wieder eine Lsg. dieser DGL. Lemma 3 Sind die Funktionen p n 1 (x),..., p 1 (x), p 0 (x), q(x) stetig auf J = [x, y], so besitzt für jedes x 0 [a, b] das AWP y(x 0 ) = y 0 ;... ; y (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0 (y 0,..., y (n 1) 0 ) R n genau eine Lsg. auf [a, b]. Homogene DGL x 0 = [a, b] AWP für die homogene DGL eindeutig lösbar. Spezielle Anfangswerte setzen: (y 0,..., y (n 1) 0 ) R n x 0 fest; y 0 -Tupel: (1, 0,..., 0) = y(x 0 ) = 1; y (x 0 ) =... = y (n 1) (x 0 ) = 0 Lsg. sei v 1 (x). x 0 fest; y 0 -Tupel: (0, 1,..., 0) = y (x 0 ) = 1 Lsg. sei v 2 (x).. x 0 fest; y 0 -Tupel: (0, 0,..., 1) = y (n 1) (x 0 ) = 1 Lsg. sei v n (x). Dann ist die allgemeine (eindeutig bestimmte) Lsg. des AWP für die homogene DGL darstellbar als y(x) = y 0 v 1 (x) + y 0 v 2 (x) + + y (n 1) 0 v n (x) 8

9 Inhomogene DGL [...] Fehlt! Definition 2 (Wronski-Determinante) Die Lsg.en u 1 (x),..., u n (x) der homogenen DGL heißen Fundamentalsystem (Integralbasis) falls u 1 (x) u n (x) u 1(x) u n(x).... = W (u 1... u n )(x) 0 x [a, b]. u (n 1) 1 (x) u (n 1) n (x) gilt. W (u 1... u n )(x) heißt Wronski-Determinante. Bemerkung: W (u 1... u n )(x) 0 genau dann wenn u 1 (x),..., u n (x) linear unabhängig sind. Satz 1 Es seien p 0 (x);... ; p n 1 stetig auf [a, b]. Die homogene DGL besitzt dann stets ein Fundamentalsystem, dass aus n Funktionen besteht. Ist u 1 (x) u n (x) ein solches FS, so ist jede Lsg. der homogene DGL darstellbar als y h (x) = c 1 u 1 (x) + + c n u n (x) mit geeigneten (eindeutig bestimmten) reellen Zahlen c 1... c n. Bemerkung: n + 1 Lsg.en der homogenen DGL (n-ter Ordnung) sind stets linear abhängig. Variation der Konstanten Bei gegebenem FS kann eine partikuläre Lsg. einer inhomogenen DGL wie folgt bestimmt werden: Ansatz: y p (x) := c 1 (x)u 1 (x) + + c n (x)u n (x) y p(x) := c 1(x)u 1 (x) + c 1 (x)u 1(x) + + c n(x)u n (x) + c n (x)u n(x) y p(x) := c 1(x)u 1(x) + c 1 (x)u 1(x) + + c n(x)u n(x) + c n (x)u n(x). y p (n) (x) := c 1(x)u (n 1) 1 (x) + c 1 (x)u (n) 1 (x) + + c n(x)u (n 1) n (x) + c n (x)u (n) n (x) Bedingung: Unterstrichene Terme fallen weg, da sie homogene Lsg. der DGL sind: c 1(x)u 1 (x) + + c n(x)u n (x) = 0 c 1(x)u 1(x) + + c n(x)u n(x) = 0. c 1(x)u (n 2) 1 (x) + + c n(x)u (n 2) n (x) = 0 c 1(x)u (n 1) 1 (x) + + c n(x)u (n 1) n (x) = q(x) 9

10 Vorgehensweise: Die unbekannten Funktionen sind c 1(x),..., c n(x). Geben ist: Gleichungssystem für alle x eindeutig lösbar c 1(x),..., c n(x) ausrechnen Integrieren In den Ansatz einsetzen. W (u 1... u n )(x) 0 x [a, b] Cramer sche Regel (Bsp.: Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten) a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 22 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 a 12 (a 11 a 22 a 21 a 12 )x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12 x 1 = ( b1 a det 12 b 2 a 22 ( a11 a det 12 a 21 a 22 ) ) Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten L y }{{} := y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y a j R LinearerOperator Vorgehensweise: Konstruktion eines Fundamentalsystems W (u 1... u n )(x) 0 Ansatz: y(x) = e λx mit dem charakteristischen Polynom L y = L[e λx ] = P (λ) e λx P (λ) = λ n + a n 1 λ n λa 1 + a 0 L[e λx ] ist genau dann Null, wenn p(λ) gleich Null ist, d.h. e λx ist Lsg. der homogenen DGL. (Man siehe additiv den Fundamentalsatz der Algebra.) Spezialfall (n=2) y + a 1 y + a 0 y = 0 10

11 Für das charakteristisch Polynom folgt dann: 1.Fall: P (λ) = λ 2 + a 1 λ + a 0 λ 1,2 = a 1 2 ± a a 0 2.Fall: 3.Fall: a a 0 > 0 λ 1 λ 2 R u 1 (x) = e λ 1x Erste Lsg. der homogenen DGL u 2 (x) = e λ 2x Zweite Lsg. der homogenen DGL F S : W (u 1, u 2 )(x) = e λ 1x e λ 2x λ 1 e λ 1x λ 2 e λ 2x = (λ 2 λ 1 ) e (λ 2+λ 1 ) x 0 a a 0 = 0 λ 1 = λ 2 = a 1 doppelte reelle N ullstelle 2 u 1 (x) = e λ 1x Lsg. der homogenen DGL u 2 (x) = x e λ 1x F S : W (u 1, u 2 )(x) = e λ 1x λ 1 e λ 1x a a 0 < 0 λ 1 λ 2 C λ 1 = a + bi a = a 1 2 λ 2 = a bi b = a 0 a v 1 (x) := e λ1x = e (a+bi)x v 2 (x) := e λ 2x = e (a bi)x V ersuch x e λ 1x e λ1x + λ 1 x e λ 1x = e2 λ 1 x 0 u 1 (x) := 1 2 (v 1(x) v 2 (x)) Linearkombination u 2 (x) := 1 2i (v 1(x) + v 2 (x)) von v 1 (x), v 2 (x) e bxi = cos(bx) + i sin(bx) e bxi = cos(bx) i sin(bx) Addition Imaginärteil entf ällt = u 1 (x) := e ax cos(bx) = u 2 (x) := e ax sin(bx) 11

12 F S : W (u 1, u 2 )(x) = eax cos(bx) a e ax cos(bx) b e ax sin(bx) = e 2 a x 0 Allgemeines n e ax sin(bx) a e ax sin(bx) + b e ax cos(bx) Spezialfall λ 1... λ n seien n paarweise / verschiedene / reelle Nullstellen. u k (x) = e λ k x k = 1... n λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 W (e λ 1 x,..., e λn x )(x) = λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 }{{} V andermond schedeterminante = (λ k λ l ) e (λ 1+ +λ n) x n k>l 1 e (λ 1+ +λ n) x Satz 2 Es sei p(λ) das charakteristische Polynom von L y mit den reellen Nullstellen λ 1... λ i und den konjungiert komplexen Nullstellen z 1 (= a 1 + b 1 i),..., z n. Dann sind die folgenden Ausdrücke Lösungen der homogenen DGL und bilden ein Fundamentalsystem: Mit reellen Nullstellen λ i von p(λ) mit der Vielfachheit l i : e λ1x, x e λ1x,..., x l 1 1 e λ1x,... e λix, x e λix,..., x l i 1 e λ ix Mit konjungiert komplexen Nullstellen z n = a n + b n x von p(λ) mit der Vielfachheit m n : e a 1x cos(b 1 x), e a 1x sin(b 1 x),..., x m 1 1 e a 1x cos(b 1 x), x m 1 1 e a 1x sin(b 1 x),... e anx cos(b n x), e anx sin(b n x),..., x mn 1 e anx cos(b n x), x mn 1 e anx sin(b n x) 12

13 Ansatzverfahren für spezielle Lösungen linearer inhomogener DGL mit konstanten Koeffizienten y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = q(x) Definition 3 Eine DGL der Form heißt Euler sche DGL. Bestimmung eines Fundamentalsystems: Erster Weg: x n y (n) + x n 1 a n 1 y (n 1) xa 1 y + a 0 y = q(x) Nullstellen von q(λ) finden Bestimme FS! Zweiter Weg: Ansatz : y(x) = x λ x > 0 0 = q(λ) x λ Substitution : t = ln x x > 0 y(x) = z(ln x) y (x) = ż(ln x) 1 x y (x) = ż(ln x) z(ln x) x2 x 1 x 13

14 Führt zu einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten für z(t) Lösen und Zurücksubstituieren! Satz 3 (Reduktion der Ordnung einer homogenen linearen DGL) y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0 Es sei u 1 (x) eine Lsg. der oberen DGL auf [a, b] mit u 1 (x) 0 auf [a, b]. Der Ansatz y(x) = u 1 (x) z(x) führt dann auf eine lineare DGL für z(x) z (n) + a n 1 (x)z (n 1) a 1 (x)z = 0 die durch w = z (x) in eine lineare DGL (n 1)-ter Ordnung berführt wird. Sei v 1 (x),..., v n 1 (x) ein Fundamentalsystem dieser DGL, so bilden die Fkt.en u 1 (x), u 1 (x) v 1 (x)dx,..., u 1 (x) v n 1 (x)dx ein FS der Ausgangsgleichung. Satz 4 (Potenzreihenansätze) y + p 1 (x)y + p 0 y = 0 AW P : y(x 0 ) = y 0 ; y (x 0 ) = y 0 Es seien p 1 (x) und p 0 (x) in der δ-umgebung von x 0 in eine Potenzreihe entwickelbar. Dann gilt das auch für die Lsg. der homogenen DGL zweiter Ordnung und die eindeutig bestimmte Lsg. des AWP. Ansatz : y(x) = c k x k k=0 Hermitesches Polynom Hermitesche Funktionen H n (x) = ( 1) n e x2 Ψ n (x) := dn dx n (e x2 ) 1 2n n! π e 1 2 x2 H n (x) Legendresche DGL Ψ m (x)ψ n (x)dx = { 0 n m 1 n = m (1 x 2 ) f 2x f + n(n + 1) f = 0 n N 0, Potenzreihe um x 0 = 0 mit Konvergenz 1: 2x 1 x = 2x (x 2 ) j = 2 j=0 2x 2j+1 x < 1 j=0 14

15 Potenzreihenansatz möglich: y(x) = c 0 u (g) (x) + c 1 u (u) (x) u (g), u (u)??? P otenzreihen Für spezielle Werte von n N 0 wird eine der beiden Potenzreihen abbrechen Polynom. Darstellungsformel: P n (x) = 1 2 n n! d n [ (x 2 1) n] dx n 1 1 P n (x)p m (x) dx = { 0 m n 2 2n+1 m = n Reduzierbare Typen nichtliniearer DGLen zweiter Ordnung Allgemeine, explizite Form: y = f(x, y, y ) Spezielle Form von y Ansatz / Vorgehensweise y = f(x) Zweifache Integration y = f(y ) Substitution mit z = y (x) = z = f(z) y = f(y) Multiplikation mit 2y = DGL mit trennbaren Variablen y = f(x, y ) Substitution mit z = y (x) y = f(y, y ) Substitution mit p = y (x(y)) = dp (y) = y (x(y)) dy p(y) y = f(x, y) DGL nach p lösen! Gesamtlsg. implizit gegeben durch dy p(y) = x + c Keine allgemeinen Regeln, nur Spezialfälle!! Spezialfall 1: y = g(x) y Spezialfall 2: y = h(x, y y ) y = Substitution mit v := y y = v = h(x, v) v 2 DGL erster Ordnung 15

16 4. Rand- und Eigenwertprobleme Satz 1 Es seien u 1, u 2 zwei linear unabhängige Lsg.en der DGL L y = 0. Das Randwertproblem (L y)(x) = q(x), (R 1 y) = u 1, (R 2 y) = u 2 ist genau dann eindeutig lösbar wenn gilt: R 1 u 1 R 1 u 2 R 2 u 1 R 2 u 2 0 Satz 2 (Seperationssatz) u(x, t) = X(x) T (t) 0 = a 2 X (x) T (t) X(x) T (t) X (x) X(x) = T (t) a 2 T (t) = λ unbekannte Konstante X + λ X = 0 T + a 2 λ T = 0 X(0) T (t) = 0 X(l) T (t) = 0 Randwertproblem! Eigentwertprobleme (Sturm-Lionvill sche EW-Aufgabe) Eine DGL der Form y + p 1 (x) y + p 0 (x) y = 0 p 1, p 0 stetig auf [a, b] kann durch Multiplikation mit p(x) = e p 1 (x) dx stets in die Form L y = (p(x) y ) + q(x) y = 0 mit q(x) := p(x) p 0 (x) überführt werden. = Eigenwertproblem - Gesucht sind die λ für die nicht-trivialen Lsg.en des Problems existieren: Analysis Alternative Schreibweise Analogie Algebra L y + R y = 0 L y + λ r(x) y = 0 A x λ x = 0 Da Ly = 0 muss folgen R i y = 0 bzw. λ r(x) = 0 mit r(x) > 0 det(a λ E) = 0 16

17 Da der Operator L symmetrisch ist, können folgende Eigenschaften vereinbart werden: Alle Eigenwerte sind reell, somit existieren stets reelle Eigenfunktionen Eigenwerte sind einfach (?) Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten sind zueinander orthogonal ( u, v = 0) Lineare DGL-Systeme erster Ordnung Rechenweg: y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + Q 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + Q 2 (x). y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + Q n (x) 1. Eigenwerte und Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix K = a 11 a 1n a n1 a nn ( ) 2. Fundamentalsystem aus den Eigenvektoren erstellen: u i = EV (λ) e λx. berechnen. Bei einer Vielfachheit m des Eigenwertes sind folgende Ausdrücke in die DGL einzusetzen und die Koeffizienten zu ermitteln: m 1 ax + b ax 2 + bx + c a k x k k=0 u i+1 =. eλx ; u i+2 =. eλx ;... ; u i+(m 1) =. αx + β αx 2 m 1 + βx + γ α k x k k=0 e λx 3. Homogene Lösung: y hom = c 1 u 1 (x) + + c n u n 4. Inhomogene Lösung: (a) Variation der Konstanten mit dem Ansatz y p = c 1 (x) u 1 (x) + + c n (x) u n In das DGL-System einsetzen! (b) Ansatzverfahren zur entsprechenden Inhomogenität Q i (x) (Spezialansätze) Beachte: Für den Fall k-facher Nullstellen ist im Ansatz der Grad des Polynoms um k zu erhöhen und nicht nur mit x k zu multiplizieren! 17