Mathematik III Vorlesung 5,

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1 Mathematik III Vorlesung 5, Markus Nemetz November Vorbemerkung Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.t. gerafften Zusammenstellungen sind z.t. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf zu finden sind. Markus Nemetz Lineare DGL n-ter Ordnung Der Satz über dem Lösungsraum: Homogene DGL Die homogene DGL hat die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 und ihre allg. Lösung hat die Form y [h] (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) + + c n ϕ n (x) Inhomogene DGL Die inhomogene DGLhat die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x) = s(x) 1

2 s(x) ist eine Störfunktion. Angenommen ϕ 1,...ϕ n sind unabh. Lösungen der homogenen DGL und bekannt - wie erhält man die Partikulärlösung y [p]? Die allg. Lösung ergibt sich aus: y(x) = y [h] (x) + y [p] (x) Erhalten eine partikuläre Lösung über den Ansatz Variation der Konstanten (c c(x)): y [p] (x) := c 1 (x)ϕ 1 (x) + c 2 (x)ϕ 2 (x) +...c n (x)ϕ n (x) Für c 1 (x),...,c n (x) gelten folgende Bedingungen: (1) c 1(x)ϕ 1 (x) + c 2(x)ϕ 2 (x) c n(x)ϕ n (x) = 0 (2) c 1x)ϕ 1(x) + c 2(x)ϕ 2(x) c n(x)ϕ n(x) = 0. (n 1) c 1x)ϕ (n 2) 1 (x) + c 2(x)ϕ (n 2) 2 (x) c n(x)ϕ n (n 2) (x) = 0 (n) c 1x)ϕ (n 1) 1 (x) + c 2(x)ϕ (n 1) 2 (x) c n(x)ϕ n (n 1) (x) = s(x) Folgendes Lineare Gleichungssystem ergibt für c 1(x),...,c n(x) eindeutige Lösungen: ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ n (x) c 1(x) 0 ϕ 1(x) ϕ 2(x)... ϕ n(x) c 2(x). = ϕ [n 1] 1 (x) ϕ [n 1] 2 (x)... ϕ n [n 1] (x) c n(x) s(x) }{{} Fundamentalmatrix Wir erhalten c 1 (x),...,c n (x) durch die Integration der aus dem Linearen Gleichungssystem errechneten c 1(x),...,c n(x) Anmerkung: Bei einer DGL 1. Ordnung sieht dieser Ansatz einfach so aus: ϕ 1 (x) ϕ 1 (x) c 1(x) = s(x). Beispiel einer Eulerschen DGL: x 2 y 2xy + 2y = x 3 2

3 Im ersten Schritt bestimmen wir das Fundamentalsystem ϕ 1 (x),ϕ 2 (x) der zugehörigen homogenen DGL., und zwar mit dem Ansatz ϕ(x) = x m : y(x) = x r, y (x) = rx r 1, y (x) = r(r 1)x r 2 x 2 r(r 1)x r 2 2xrx r 1 + 2x r = 0 r(r 1)x r 2rx r + 2x r 1 = 0 : r(r 1) 2r + 2 = 0 x r Indexgleichung r 2 3r + 2 = 0 (r 2)(r 1) = 0 r 1,2 = 1,2 Die Lösungen der homogenen DGL sind somit: ϕ 1 (x) = x 1 = x,ϕ 2 (x) = x 2. Mit Hilfe der Wronski-Determinante (s.4.vo) prüfen wir die Unabhängigkeit der Lösungen: x x 2 W(x) = 1 2x = 2x2 x 2 = x 2 W(1) = 1 2 = 1 0 Somit sind die Lösungen unabhängíg und die Lösung der homogenen DGL lautet: y [h] (x) = c 1 x + c 2 x 2 3

4 Nun wenden wir die Variation der Konstanten an: x 2 y 2xy + 2y = x 3 1 x 2 1y 2 x y + 2 x 2y = x ϕ 1 = x,ϕ 2 = x 2 Ansatz y [p] = c 1 (x)ϕ 1 (x) + c 2 (x)ϕ 2 (x) [ ] ( ) ( ) x x 2 c 1 (x) 0 = 1 2x c x 2(x) 3 = x x 2 Cramer sche Regel anwenden 0 x 2 x 2x c 1(x) = W(x) = x3 = x x 2 x 0 1 x c 2(x) = W(x) = x2 x = 1 2 Nach Integration ergibt sich c 1 (x) = x2 2 und c 2(x) = x und damit: y [p] (x) = x2 2 x + x x2 = x3 2 y(x) = x3 2 + c 1x + c 2 x 2 allg.lsg. Eine weitere Anwendung für die Variation der Konstanten ist die folgende: Es sei eine homogene lineare DGL gegeben und es sei angenommen, man kenne eine Lösung ϕ 1 (x). In diesem Fall führt man eine Reduktion der Ordnung n der DGL durch den Reduktionsansatz y(x) = ϕ 1 (x) c(x) durch, was eine DGL der Ordnung n 1 für c (x) ergibt. 4

5 Beispiel (s. vorhergehendes): x 2 y 2xy + 2y = 0, ϕ 1 (x) = x Ansatz y = c(x)x y = c (x) + c y = c x + c + c = c x + 2c x 2 (c x + 2c ) 2x(c x + c) + 2cx = 0 x 3 c = 0 c = 0 c = 1 c = x y(x) = c(x) x = x x = x 2 unabh. Lsg. 3 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die allgemeine Form (homogen) ist: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 (x)y = 0 a 0,...,a n 1 R Verwendug des Exponentialansatzes y(x) = e λx, was das folgende charakteristische Polynom von Grad n ergibt: Nullstellen (Vielfachheit k): P(λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 P(λ) = (λ λ 1 ) k1 (λ λ 2 ) k2 (λ λ i ) k j λ i λ j, 1 j i, λ i C Die Lösungsbasis ϕ 1 (x),...,ϕ n (x) der homogenen DGL erhält man wie folgt: Falls λ eine reelle Nullstelle mit der Vielfachheit k ist: k i ist unabhängige Lösung, gegeben durch e λ ix,xe λ ix,x 2 e λ ix,...,x k 1 e λ ix, Falls λ = α iβ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit k ist, dann ist auch λ j = α iβ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit k j. Unabhängige Lösung ist gegeben durch e αx cos(βx),xe αx cos(βx),x 2 e αx cos(βx),...,x k 1 e αx und e αx sin(βx),xe αx sin(βx),x 2 e αx sin(βx),...,x k 1 e αx sin(βx) Die allgemeine Form (inhomogen) ist: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 (x)y = s(x) a 0,...,a n 1 R 5

6 Zur Lösung kann die Variation der Konstanten verwendet werden oder bei speziellen s(x) verschiedene unbestimmte Ansätze, z.b.: s(x) = (c 0 + c 1 x + + c m m)e µx, µ R Ansatz y p (x) = (A 0 + A 1 x + + A m x m )e µx µ ist die Lösung des aus der zugehörigen homogenen DGL resultierenden charakteristischen Polynoms P(λ). Wenn µ eine k-fache Nullstelle ist, so tritt der Resonanzfall auf und es gilt: Anderes Beispiel: Ansatz y p (x) = (A 0 + A 1 x + + A m x m )e µx x k s(x) = (c 0 + c 1 x + + c m m)e αx cos(βx) s(x) = (c 0 + c 1 x + + c m m)e αx sin(βx) y p (x) = (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx cos(βx)+ (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx sin(βx) (Falls α + iβ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms P(λ) ist) Ansatz y p (x) = x k (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx cos(βx)+ x k (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx sin(βx) (Falls α + iβ k fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms P(λ) ist) 4 Lösen von DGL mittels Laplace-Transformation Gegeben ist eine Funktion f(t) [0, ) R. Falls das uneigentliche Integral für zumindest ein s R existiert, dann heißt F(s) (Bildfunktion) die Laplace-Transformierte (L-transformierte) von f(t) (Zeitfunktion): F(s) = L{f(t)} = 0 f(t)dt Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für L-transformierte: Ist die Funktion f : [0, ) R auf beschränkten Intervallen stückweise stetig (d.h. sie besitzt in Intervallen nur endlich viele Sprungstellen) und f(t) hat höchstens exponentielles Wachstum, d.h. es existieren Konstanten M,δ > 0 dann gilt: f(t) Me δt, t 0 6

7 F(s) = L{f(t)} existiert für alle s > δ Das uneigentiche Integral 0 f(t)dt konvergiert für alle s s 0 > δ gleichmässig f(t) ist durch F(s) eindeutig bestimmt (bis auf die Sprungstellen). Die Rücktransformierbarkeit ist daher gewährleistet lim s F(s) = 0 Es gibt allerdings auch L-transformierbare Funktionen, die o.g. Bedingungen nich vollständig genügen. 7