Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg"

Transkript

1 Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung

2 Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei gegebenen Produkten; Lagerhaltung erzeugende Industrie: Parameteridentifikation, d.h. bestimme Parameter (Hitzezufuhr etc.), sodass das gewünschte Produkt erhalten wird; Kontrolle chemischer und biologischer Prozesse; Oberflächenoptimierung in der Fahrzeugindustrie; Berechnung von Roboterbahnen Anwendungen Medizin: Bildverarbeitung; Strahlentherapie, d.h. wo soll wie bestrahlt werden, um die Krebszellen zu zerstören, aber gesunde zu erhalten Natur: Energieminimierung; Identifikation der seismologischen Eigenschaften der Erde Travelling Salesman; Bahnfahrpläne; Routen von Handyverbindungen; Navigationssysteme Einige konkrete Beispiele sind u.a. im Geiger/Kanzow oder auch in: H.J. Pesch: Schlüsseltechnologie Mathematik, zu finden.

3 Klassifizierung Die diskrete (oder ganzzahlige, kombinatorische) Optimierung untersucht x Z n. Hierzu gehört das Traveling-Salesman-Problem. Neuerdings wird auch vermehrt gemischt ganzzahlige Optimierung betrachtet (x 1,... x n Z, x k+1,... x n IR). In dieser Vorlesung betrachten wir die kontinuierliche (continuous), (endlich dimensionale) Optimierung, also x IR n. In manchen Optimierungsproblemen können die Modelle (Nebenbedingungen) nur stochastisch beschrieben werden. Dann ist das Kostenfunktional f in der Regel ein Erwartungswert und wir erhalten ein stochastisches Optimierungsproblem (z.b. Finanzplanung unter Zukunftsprognosen). Wir betrachten in dieser Vorlesung die deterministische Optimierung. Klassifizierung Desweiteren betrachten wir nur glatte Funktionen, d.h. sie sind zumindest einmal differenzierbar. Damit sind z.b. mehrstufige Optimierungsprobleme min f (ŷ(x)) u.d.n. ŷ(x) = arg min g(x, y) x B y B x ausgeschlossen, da ŷ i.d.r. auch für glattes g nicht differenzierbar von x abhängt.

4 Klassifizierung Wir betrachten also deterministische, kontinuierliche, glatte Optimierungsprobleme im IR n (= B). Auch diese lassen sich einteilen: Klassifizierung 1 Unrestringierte Minimierungsprobleme: außer x IR n gibt es keine Nebenbedingungen (E = I = ). Somit ist f auch nichtlinear. (unconstrained NLP) 2 Lineare Programierung, LP (Programme): f und alle c i sind affin (oft wird auch lax von c i linear gesprochen). 3 Nichlineare Programmierung, NLP: f oder ein c i ist nicht affin 4 Quadratische Probleme,QP: f ist eine quadratische Funktion (f (x) = 1 2 xt Gx + x T c + d) und alle c i sind affin. 5 Konvexe Programme: f und F sind konvex, d.h. in (1.2) f ist konvex, c i ist affin für i E, c i ist konkav für i I. 6 restringierte nichtlineare Optimerung, NLP

5 Klassifizierung Obige Einteilung ist jedoch nicht disjunkt: x Z c(x) := sin(πx) = 0 also diskretes Problem entspricht einem glatten NLP c i (x) 0 c i (x) x 2 i = 0 mit einer zusätzlichen Variablen x i (Schlupfvariable) Ungleichungsrestriktionen werden zu Gleichungsrestriktionen c 1 (x) = 0,..., c k (x) = 0 c 2 1 (x) c2 k (x) = 0 Durch solche Umformungen wird oft jedoch nichts gewonnen, da die neue Problemformulierung nicht einfacher ist. Lokale und globale Optimierung Eine weitere Unterscheidung gibt es zwischen globaler und lokaler Optimierung. Die meisten Analysen und Algorithmen für NLPs betrachten lokale Lösungen der Optimierungsprobleme, also lokale Minima. Für konvexe und somit insbesondere für lineare Probleme sind lokale Minima jedoch immer auch globale Minima (siehe später).

6 Lokale und globale Optimierung 1.4 Beispiel: für die Relevanz der Nebenbedinungen f (x 1, x 2 ) = x x 2 2 min u.d.n.b. (1) : x 2 = x 1 bzw. (2) : x 2 = 3 2 sin(10x 1) + 2 f quadratisches, konvexes Gütefunktional (1): lineare Nebenbedingung, ein lokales/globales Minimum (2): nichtlineare Nebenbedingung, viele lokale Minima Aufbau der Vorlesung I Nichlineare Minimierung ohne Nebenbedingungen Theorie inklusiver konvexer Optimierungsprobleme Liniensuche Trust-Region-Methode II Optimalitätsbedingungen für NLP KKT-Bedingungen (Bedingungen 1ter Ordnung) Regularitätsbedingungen (als Voraussetzung für KKT-Bed.) Bedingungen 2ter Ordnung III Theorie und Numerik zu Quadratischen Problemen

7 Literatur J. Nocedal, S.J. Wright: Numerical Optimization, Springer-Verlag W. Alt: Nichtlineare Optimierung, Eine Einführung in Theorie, Verfahren und Anwendungen, Vieweg Verlag. C. Geiger, C. Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben, Springer. C. Geiger, C. Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben, Springer. Chr. Großmann, J. Terno: Numerik der Optimierung, Teuber-Studienbücher. 2 Einführung und Optimalitätsbedingungen

8 2.5 Beispiel: Rosenbrock-Funktion f (x 1, x 2 ) = 100(x 2 x 2 1 ) 2 + (1 x 1 ) Beispiel: Rosenbrock-Funktion Höhenlinien

9 2.6 Beispiel: Funktion von Himmelblau (1972) f (x 1, x 2 ) = (x x 2 11) 2 + (x 1 + x 2 2 7) Beispiel: Funktion von Himmelblau (1972) Höhenlinien

10 4 Überblick über die Algorithmen Beispiel: Suchrichtungen abhängig vom Trust-Region-Radius

11 5.3 Gradientenverfahren Beispiel: quadratische Funktion ( ) 1 0 A =, b = bzw. f (x, y) = 1 2 (x y 2 ) mit Startwert (1, 20) T

12 Beispiel: Rosenbrock-Funktion Gradientenverfahren nach Algorithmus 5.38 angewendet auf die Rosenbrock-Funktion mit x 0 = ( 1.9, 2) T, c 1 = 0.2, β = 0.5 Beispiel: Rosenbrock-Funktion Mit Startschrittweite 1: tol it x f grad x j x 1.00e [ , ] 1.37e e e e [ , ] 8.45e e e e [ , ] 1.01e e e e [ , ] 8.25e e e e [ , ] 9.96e e e e [ , ] 8.00e e e-06

13 Beispiel: Rosenbrock-Funktion Gradientenverfahren nach Algorithmus 5.38 angewendet auf die Rosenbrock-Funktion mit x 0 = ( 1.9, 2) T, c 1 = 0.2, β = 0.5 aber mit der Armijo-Regel startend mit der Testschrittweite 0.2 statt 1. Beispiel: Rosenbrock-Funktion Die Suchrichtungen sind visuell parallel zur den übernächsten:

14 Beispiel: Rosenbrock-Funktion Mit Startschrittweite 0.2: tol it x f grad x j x 1.00e [ , ] 8.93e e e e [ , ] 8.84e e e e [ , ] 9.02e e e e [ , ] 8.86e e e e [ , ] 8.84e e e e [ , ] 8.82e e e-06 Die Kondition κ = cond( 2 f (x )) ist relativ groß und κ 1 κ nahe bei 0. Abschätzung (5.35) ergibt eine Reduktion um 0.1 nach rund 2888 Iterationen ( 2888 κ 1 κ+1) /10. In der obigen Tabelle werden ungefähr 2500 gebraucht. 6.5 Iterative Lösung des Trust-Region Teilbproblems

15 Aufwand p c keine Zerlegung von B dogleg: p B Zerlegung von B IR n n mittels Cholesky Newton-Verfahren für (6.35): für jede Iteration λ (l) muß p (l) = p(λ (l) ) nach (6.31) berechnet werden, d.h. (B + λ (l) I ) zerlegt werden. Da (B + λ (l) I ) pos.def. für λ (l) > λ 1 ist, nutze hierfür die Cholesky-Zerlegung. Typischerweise werden nur 2-3 Iterationen ausgeführt, um die exakte Lösung so gut zu approximieren, daß das ganze trust-region Verfahren konvergiert. Mehr hierzu in Moré/Sorensen 1983: Computing a trust region step. Fall q T 1 g = 0 Falls eine Nullstelle λ λ 1 von p(λ) = 0 existiert, verfahre wie oben Falls nicht, gibt es ein λ mit λ 2 < λ < λ 1 und p( λ) =, aber B + λi ist nicht positiv semidefinit. Daher: berechne einen normierten Eigenvektor q 1 zum Eigenwert λ 1 von B. Für p = τq 1 + n j=1 λ j λ 1 q T j g λ j + λ q j gilt p 2 = τ 2 + n j=1 λ j λ 1 q T j g (λ j + λ) 2 Bestimme nun τ so dass p = mit λ = λ 1. Dann folgt (6.30). Mehr hierzu in Moré/Sorensen 1983: Computing a trust region step.

16 7 Ergänzung Inexakte Newton-Methoden Nutze die Newton-Darstellung des Schritts p N k, d.h. 2 f k p N k = f k aber löse dieses Gleichungssystem inexakt, z.b. durch einen iterativen Löser. Vermeide hiermit die Zerlegung, das Aufstellen und das Speichern der Hesse-Matrix 2 f k. Unter der Voraussetzung, dass die relativen Residuen gleichmäßig beschränkt sind, d.h. 2 f k p k + f k f k η < 1 kann superlineare (quadratische) Konvergenz gezeigt werden.

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung Teil II Optimierung Gliederung 9 Einführung, Klassifizierung und Grundlagen 10 Lineare Optimierung 11 Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung 12 Dynamische Optimierung Literatur: zu 10-12: Neumann,

Mehr

Optimierung. Florian Jarre Josef Stoer. Springer

Optimierung. Florian Jarre Josef Stoer. Springer 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Florian Jarre Josef Stoer Optimierung Springer Inhaltsverzeichnis

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) 1 Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Einleitung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 11. Oktober 2013) 2 Kommunikationsnetzwerke...

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz WS 2009/10 Universität Freiburg Dieses Vorlesungsskript ist auf der Basis von Vorlesungen

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 8. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 NLP Aufgabe KKT 2 Nachtrag

Mehr

Nichtlineare Optimierungsprobleme mit Komplexität

Nichtlineare Optimierungsprobleme mit Komplexität Definition eines Nichtlinearen Optimierungsproblemes (NLP) min f (x) bzw. min f (x) s.d. x S x S wobei die zulässige Menge S R n typischerweise definiert ist durch S {x R n : h(x) =, c(x) } für Gleichungs-

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Optimierung mit Matlab

Optimierung mit Matlab Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Computerbasierte Mathematische Modellierung für Mathematiker, Wirtschaftsmathematiker, Informatiker im Wintersemester

Mehr

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII Inhaltsverzeichnis Vorwort................................................................. V Symbolverzeichnis...................................................... XIII Kapitel 1: Einführung......................................................

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Das Trust-Region-Verfahren

Das Trust-Region-Verfahren Das Trust-Region-Verfahren Nadine Erath 13. Mai 2013... ist eine Methode der Nichtlinearen Optimierung Ziel ist es, das Minimum der Funktion f : R n R zu bestimmen. 1 Prinzip 1. Ersetzen f(x) durch ein

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

MATTHIAS GERDTS. Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung

MATTHIAS GERDTS. Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung MATTHIAS GERDTS Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung Address of the Author: Matthias Gerdts Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Universität

Mehr

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 3/) Kapitel : Optimierung ohne Nebenbedingungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom. Oktober 3) Gliederung

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung

Mehr

Konvexe Optimierungsprobleme

Konvexe Optimierungsprobleme von: Veronika Kühl 1 Konvexe Optimierungsprobleme Betrachtet werden Probleme der Form (P) min x C f(x) wobei f : C R eine auf C konvexe, aber nicht notwendigerweise differenzierbare Funktion ist. Ziel

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Operations Research. Konvexe Funktionen. konvexe Funktionen. konvexe Funktionen. Rainer Schrader. 4. Juni Gliederung

Operations Research. Konvexe Funktionen. konvexe Funktionen. konvexe Funktionen. Rainer Schrader. 4. Juni Gliederung Operations Research Rainer Schrader Konvexe Funktionen Zentrum für Angewandte Informatik Köln 4. Juni 2007 1 / 84 2 / 84 wir haben uns bereits mit linearen Optimierungsproblemen beschäftigt wir werden

Mehr

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der

Mehr

(Lineare) stochastische Optimierung

(Lineare) stochastische Optimierung (Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:

Mehr

Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion

Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Für eine Näherungsberechnung von Nullstellen einer reellen Funktion f(x) : R R benutzt man das Newton-Verfahren: x (n+1) = x (n) f(x (n) )/f (x (n) ). Das Newton-Verfahren

Mehr

Inexakte Newton Verfahren

Inexakte Newton Verfahren Kapitel 3 Inexakte Newton Verfahren 3.1 Idee inexakter Newton Verfahren Wir betrachten weiterhin das nichtlineare Gleichungssystem F (x) = mit einer zumindest stetig differenzierbaren Funktion F : R n

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS/ / Inhaltsübersicht 3Einführung in die freie Optimierung 4Orakel und Modellfunktionen 5Optimalitätsbedingungen der freien Optimierung 6Das Newton-Verfahren

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra

Mehr

Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben. Eine kurze Einführung in Quasi Newton Verfahren

Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben. Eine kurze Einführung in Quasi Newton Verfahren Ergänzungen zu dem Buch Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben von Carl Geiger und Christian Kanzow (Springer Verlag, 1999) Eine kurze Einführung in Quasi Newton Verfahren

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Ü5.1: Die entsprechende Bellman sche Funktionalgleichung kann angegeben werden als: Vct (, ) = max qt D { r rt t ( min{ q t, c} ) min{ q t, c} Vc ( min{ q t,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Aufgabenblatt 4: Der Trade-off zwischen Bankenwettbewerb und Bankenstabilität

Aufgabenblatt 4: Der Trade-off zwischen Bankenwettbewerb und Bankenstabilität Aufgabenblatt 4: Der Trade-off zwischen Bankenwettbewerb und Bankenstabilität Prof. Dr. Isabel Schnabel The Economics of Banking Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2009/2010 1 Aufgabe

Mehr

Optimierung mit Matlab

Optimierung mit Matlab Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Optimierung mit Matlab 1 Optimierungsaufgaben Die allgemeine Aufgabenstellung der Optimierung besteht darin,

Mehr

Optimal Control in Air Traffic Management

Optimal Control in Air Traffic Management Optimal Control in Air Traffic Management DGLR Workshop Bestimmung optimaler Trajektorien im Air Traffic Management 23.04.2013 Deutsche Flugsicherung GmbH, Langen 23.04.2013 1 Inhalt. Hintergrund und Motivation.

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Überblick. Lineares Suchen

Überblick. Lineares Suchen Komplexität Was ist das? Die Komplexität eines Algorithmus sei hierbei die Abschätzung des Aufwandes seiner Realisierung bzw. Berechnung auf einem Computer. Sie wird daher auch rechnerische Komplexität

Mehr

Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik. a 0 = 0 =

Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik. a 0 = 0 = Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 4 Algorithmische Mathematik 4KSL3 6 Punkte Aufgabe. Die Folge (a n ) n N natürlicher Zahlen a n sei rekursiv definiert durch a 0 = 0, a n = a n + n falls

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Die CUTEr Testbibliothek

Die CUTEr Testbibliothek Die CUTEr Testbibliothek Slide 1 Motivation Softwarepakete mit vollkommen verschiedenen Anwendungsschwerpunkten Optimierung entweder nur einer von vielen Schwerpunkten oder sogar nur Nebenprodukt zur Lösung

Mehr

Bemerkung 2.1: Das Newtonverahren kann auch als sequential quad. minimization verstanden werden: 2.1 Ein globalisiertes Newtonverfahren

Bemerkung 2.1: Das Newtonverahren kann auch als sequential quad. minimization verstanden werden: 2.1 Ein globalisiertes Newtonverfahren Kapitel 2 Newtonverfahren Ziel: Bestimmung von Nullstellen von f (=stationärer Punkt). Dies geschieht mit dem Newtonverfahren. x k+1 = x k ( 2 f (x k )) 1 f (x k ) (2.1) Bemerkung 2.1: Das Newtonverahren

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D

Mehr

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Lehrerfortbildung, Speyer, Juni 2004-1- Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung

Mehr

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975) Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss

Mehr

2. Optimierungsprobleme 6

2. Optimierungsprobleme 6 6 2. Beispiele... 7... 8 2.3 Konvexe Mengen und Funktionen... 9 2.4 Konvexe Optimierungsprobleme... 0 2. Beispiele 7- Ein (NP-)Optimierungsproblem P 0 ist wie folgt definiert Jede Instanz I P 0 hat einen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3

Mehr

Einführung in neuronale Netze

Einführung in neuronale Netze Einführung in neuronale Netze Florian Wenzel Neurorobotik Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 1. Mai 2012 1 / 20 Überblick 1 Motivation 2 Das Neuron 3 Aufbau des Netzes 4 Neuronale Netze

Mehr

Kuhn-Tucker Bedingung

Kuhn-Tucker Bedingung Kapitel 13 Kuhn-Tucker Bedingung Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 1 / Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne das Maximum der Funktion f (x, y) g(x, y) c,

Mehr

(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.

(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist. Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Diskrete Optimierung

Diskrete Optimierung Diskrete Optimierung Mi 10-12, C118, Sand Dr. Stephanie Reifferscheid Universität Tübingen, WSI 12. Oktober 2011 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober 2011 1 / 17 Technisches Erreichbarkeit

Mehr

Univariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester

Univariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 5 Univariate Analysis C. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!). Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (a) 7 :, (b) 795 :.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!):

Mehr

UNIVERSITÄT DORTMUND FACHBEREICH INFORMATIK

UNIVERSITÄT DORTMUND FACHBEREICH INFORMATIK UNIVERSITÄT DORTMUND FACHBEREICH INFORMATIK Thomas Fober Experimentelle Analyse Evolutionärer Algorithmen auf dem CEC 2005 Testfunktionensatz Diplomarbeit 01.07.2006 I N T E R N E B E R I C H T E I N T

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es

Mehr

Das Gradientenverfahren

Das Gradientenverfahren Das Gradientenverfahren - Proseminar: Algorithmen der Nichtlinearen Optimierung - David Beisel December 10, 2012 David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, 2012 1 / 28 Gliederung 0 Einführung 1

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

5.10. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte

5.10. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte 5.1. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte Zur Erinnerung: Eine Funktion f von einer Teilmenge A des R n nach R hat im Punkt a ein (strenges) globales Maximum, falls f( x ) f( a ) (bzw. f( x ) < f(

Mehr

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung

Mehr

Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017

Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017 Mustererkennung Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017 Optimierung: Lagrange-Funktionen, Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen Optimierungsprobleme Optimierung Suche nach dem Maximum oder Minimum

Mehr

Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben

Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben Ergänzungen zu dem Buch Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben von Carl Geiger und Christian Kanzow (Springer Verlag, 1999) Das Nelder Mead Verfahren Sei f : R n R eine (nicht

Mehr

KAPITEL 3. Konvexe Funktionen

KAPITEL 3. Konvexe Funktionen KAPITEL 3 Konvexe Funktionen Sei F R n ein Definitionsbereich und f : F R eine Funktion. Unter dem Epigraphen von f versteht man die Menge epif = {(x, z) R n+1 x F, z R, z f(x)}. Man nennt f konvex, wenn

Mehr

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) 3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände

Mehr

Wirtschaftsmathematik II

Wirtschaftsmathematik II WMS: Wirtschaftsmathematik 2 :: WS 2009/10 Wirtschaftsmathematik II Reinhard Ullrich http://homepage.univie.ac.at/reinhard.ullrich Basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic October 11, 2009 1 Funktionen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung

Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung 18.3.14-20.3.14 Dr. Florian Lindemann Moritz Keuthen, M.Sc. Technische Universität München Garching, 19.3.2014 Kursplan Dienstag, 18.3.2014

Mehr

Numerische Ableitung

Numerische Ableitung Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:

Mehr

Globale Newton Verfahren

Globale Newton Verfahren Betrachten: System von n nichtlinearen Gleichungen: F : D R n, F C 1 D Gesucht: x D, sodass F x =0. Vorher: Bedingungen für Startwert wie z.b. x x 0 2 / garantieren die Konvergenz des lokalen Newton-Verfahrens

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Operations Research II

Operations Research II Operations Research II Einführung in die kombinatorische Optimierung Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Wintersemester 2015/16 Peter Becker (H-BRS) Operations Research

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Dokumentation. estat Version 2.0

Dokumentation. estat Version 2.0 Dokumentation estat Version 2.0 Installation Die Datei estat.xla in beliebiges Verzeichnis speichern. Im Menü Extras AddIns... Durchsuchen die Datei estat.xla auswählen. Danach das Auswahlhäkchen beim

Mehr

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Kapitel 1 Einführung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Inhalt Inhalt 1 Einführung Was ist Operations Research? Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen

Mehr

Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher

Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung Leseprobe Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher 11 - Portefeuilleanalyse 61 11 Portefeuilleanalyse 11.1 Das Markowitz Modell Die Portefeuilleanalyse

Mehr

Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme

Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren

Mehr