Aufgabenblatt 4: Der Trade-off zwischen Bankenwettbewerb und Bankenstabilität

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1 Aufgabenblatt 4: Der Trade-off zwischen Bankenwettbewerb und Bankenstabilität Prof. Dr. Isabel Schnabel The Economics of Banking Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2009/ Aufgabe Wir betrachten einen Bankensektor mit n Banken, i = 1,...n, die miteinander im Mengenwettbewerb um Einlagen stehen. Eine Bank i sammelt Einlagen d i und investiert diese in ein riskantes Projekt. Das Projekt hat eine Zweipunktverteilung: Der Ertrag pro investierter Einheit beträgt y mit einer Wahrscheinlichkeit von p und 0 sonst. Das gesamte Einlagenvolumen in der Ökonomie beträgt D = n d i. Die Einlagenangebotsfunktion lautet i=1 R D (D) =D, wobeir D den (Brutto-) Einlagenzins bezeichnet. Die Einlagen sind vollständig versichert, wobei die Kosten der Einlagenversicherung vereinfachend auf Null gesetzt werden. Alle Akteure sind risikoneutral. (a) Modell ohne Risikowahl (a1) Vollständiger Wettbewerb: Wir nehmen zunächst an, es herrsche vollständiger Wettbewerb im Bankensystem, so dass die Banken sich als Preisnehmer verhalten. 1. Wie lautet das Optimierungsproblem einer Bank i? 2. Bestimmen Sie das Einlagenvolumen der Bank, d i, das gesamte Einlagenvolumen der Ökonomie, D, den Einlagenzins R D und die Marge der Bank. 1

2 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 2 (a2) Monopol: Wir nehmen nun an, es gebe nur eine monopolistische Bank im Bankensystem. 1. Wie lautet das Optimierungsproblem der Bank? 2. Bestimmen Sie das Einlagenvolumen der Bank, d = D, den Einlagenzins, R D, und die Marge der Bank. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Lösung bei vollständigem Wettbewerb. (a3) Oligopol mit n Banken: Wir nehmen nun an, es gebe n Banken im Bankensystem. 1. Wie lautet das Optimierungsproblem einer Bank i? 2. Bestimmen Sie das Einlagenvolumen der Bank, d i, das gesamte Einlagenvolumen der Ökonomie, D, den Einlagenzins R D und die Marge der Bank. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Lösungen bei vollständigem Wettbewerb und im Monopol. 3. Wie hängen d i, D, R D und die Marge von der Anzahl der Banken, n, und von der Auszahlung im Erfolgsfall, y, ab? 4. Zeichnen Sie die Reaktionsfunktionen der Banken für den Fall n = 2. Interpretieren Sie die Steigungen dieser Funktionen. Zeigen Sie, wie man auf Basis dieser Reaktionsfunktionen das (Nash-) Gleichgewicht bestimmen kann. (b) Oligopolmodell mit Risikowahl Wir gehen nun im Folgenden davon aus, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit p eine Funktion von y ist und dass die Banken y wählen können. Die Risikowahl der Bank ist nicht beobachtbar. Es gilt: p(y) = 1 y; hierbei nimmt y maximal den Wert ȳ = 1 an. Im Bankensystem herrscht weiterhin Cournot- Wettbewerb. 1. Stellen Sie die Funktion p(y) graphisch dar. 2. Stellen Sie den Erwartungswert des Projektes in Abhängigkeit von y graphisch dar. Welches y sollte aus Wohlfahrtssicht gewählt werden? 3. Wie lautet nun das Optimierungsproblem einer Oligopolbank i?

3 The Economics of Banking Aufgabenblatt Bestimmen Sie das Einlagenvolumen der Bank, d i, das gesamte Einlagenvolumen der Ökonomie, D, den Einlagenzins R D, die Auszahlung im Erfolgsfall, y, und die Marge der Bank. Zeigen Sie, dass die Bank im Gleichgewicht ein aus Wohlfahrtssicht zu hohes Risiko wählt. 5. Wie hängen d i, D, R D, y und die Marge von der Anzahl der Banken, n, ab? Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Variablen für n. Besteht ein Trade-off zwischen Wettbewerb und Stabilität? 6. Argumentieren Sie, ob es aus Wohlfahrtssicht sinnvoll sein könnte, die Anzahl der ausgegebenen Banklizenzen zu beschränken. (c) Oligopolmodell mit Risikowahl und Kreditmarktwettbewerb Betrachten Sie nun J Unternehmer j =1,...J, die Projekte mit der oben beschriebenen Zweipunktverteilung durchführen wollen. Die Unternehmer haben kein Kapital und müssen ihre Projekte durch Bankkredite finanzieren. Die Unternehmer können die Auszahlung im Erfolgsfall, y j,wählen; die Banken können die Risikowahl der Unternehmer nicht beobachten. Das Kreditvolumen eines Unternehmers j beträgt l j. Die Kreditnachfragefunktion der Unternehmer lautet R L (L) =1 L, wobeil = J j=1 l j und L 1; R L bezeichnet den (Brutto-) Kreditzins. Im Bankensystem herrscht weiterhin Cournot-Wettbewerb. Die Banken finanzieren sich über Einlagen. Die Einlagenangebotsfunktion ist so wie zuvor. Die Zeitstruktur ist die folgende: Zunächst wählen die Banken das Einlagenvolumen und bestimmen dadurch die Einlagen- und Kreditzinsen. Dann wählen die Unternehmer das Risiko und investieren. Am Ende zahlen die Unternehmer die Kredite zurück, falls sie können. Die Banken oder die Einlagenversicherung zahlen die Einlagen zurück. 1. Wie lautet das Optimierungsproblem eines Unternehmers j? 2. Bestimmen Sie die Auszahlung im Erfolgsfall, y j,inabhängigkeit von L. Zeigen Sie, dass der Unternehmer im Gleichgewicht ein aus Wohlfahrtssicht zu hohes Risiko wählt. 3. Wie lautet das Optimierungsproblem einer Bank i?

4 The Economics of Banking Aufgabenblatt Bestimmen Sie das Einlagenvolumen der Bank, d i, das gesamte Einlagenvolumen der Ökonomie, D, den Einlagenzins, R D, den Kreditzins, R L, die Auszahlung im Erfolgsfall, y, und die Marge der Bank. 5. Wie hängen d i, D, R D, R L, y und die Marge von der Anzahl der Banken, n, ab? Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Variablen für n. Besteht ein Trade-off zwischen Wettbewerb und Stabilität? 6. Konvergiert das Gleichgewicht für n gegen die effiziente Lösung? Warum oder warum nicht? 7. Könnte es hier aus Wohlfahrtssicht sinnvoll sein, die Anzahl der ausgegebenen Banklizenzen zu beschränken?

5 The Economics of Banking Aufgabenblatt Lösungen (a) Modell ohne Risikowahl (a1) Vollständiger Wettbewerb Teilaufgabe 1: Die Banken maximieren ihre erwarteten Gewinne über d i : max d i EΠ i = pd i (y R D ) Hierbei nehmen sie R D als gegeben hin. Teilaufgabe 2: Die Ableitung der Zielfunktion nach d i ergibt die FOC: p(y R D )=0 y R D =0 Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass R D = y und dass die Marge der Bank gleich Null ist; die Bank gibt den gesamten Ertrag des Projekts an ihre Einleger weiter. Einsetzen der Einlagenangebotsfunktion ergibt: D = R D = y. Aus der Symmetrie der Wettbewerber (d i = d) folgt: n d = y d = y. n Für n geht das Einlagenvolumen der einzelnen Bank gegen Null. (a2) Monopol: Teilaufgabe 1: Die Zielfunktion der Monopolbank lautet (D = d): max EΠ =pd(y R D (d)) = pd(y d) d

6 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 6 Teilaufgabe 2: Die Ableitung der Zielfunktion nach d ergibt die FOC: p[y d d] =0 d = D = y. 2 Hieraus folgt: R D = D = y. 2 Die Marge der Bank beträgt y R D = y. 2 Die Bank gibt im Monopolfall also nur den halben Ertrag des Projekts an ihre Einleger weiter. Ein Vergleich mit der Lösung bei vollständigem Wettbewerb zeigt, dass das aggregierte Einlagenvolumen und der Einlagenzins im Monopolfall nur halb so groß sind. (a3) Oligopol mit n Banken: Teilaufgabe 1: Die Zielfunktion der Oligopolbank lautet: Teilaufgabe 2: max d i EΠ i = pd i (y R D (D)) = pd i (y D) Die Ableitung der Zielfunktion nach d i ergibt die FOC: p[y D d i ]=0. Die FOC bezeichnet man auch als Reaktionsfunktion. Aus der Symmetrie der Wettbewerber (d i = d) folgt: y (n+1)d = 0 d = y. n+1 Das aggregierte Einlagenvolumen beträgt D = nd = ny = R n+1 D. Auch hier geben die Banken nur einen Teil ihrer Projekterträge an die Einleger weiter; dieser beträgt aber für n 2mehrals1/2 (mindestens 2/3). Die Marge der Bank beträgt y R D = y (1 n )= y. n+1 n+1 Ein Vergleich mit (a1) und (a2) zeigt, dass die Lösungen des Oligopolfalls zwischen denjenigen des vollständigen Wettbewerbs und des Monopolfalls liegen.

7 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 7 Teilaufgabe 3: Das individuelle Einlagenvolumen d fällt in n und steigt in y; für n konvergiert es gegen Null. Das aggregierte Einlagenvolumen und der Einlagenzins steigen in n und in y; für n konvergieren sie gegen y, was der Wettbewerbslösung entspricht. Die Marge fällt in n und steigt in y; für n konvergiert sie gegen Null. Wir sehen also, dass es für n eine Konvergenz gegen die Wettbewerbslösung gibt. Teilaufgabe 4: Die Reaktionsfunktionen für n = 2 lauten: d 2 = y 2 d 1 d 1 = 1 2 (y d 2) für Bank 1 d 1 = y 2 d 2 d 2 = 1 2 (y d 1) für Bank 2 Wenn der Wettbewerber das Volumen um eine Einheit erhöht, reagiert die andere Bank mit einer Senkung des Volumens, d. h., die Einlagenvolumina sind strategische Substitute. Die Senkung in Höhe von einer halben Einheit ist jedoch kleiner als die Erhöhung des Volumens durch den Wettbewerber; das aggregierte Volumen steigt also. Ist das Volumen eines Wettbewerbers gleich Null, so entspricht das Volumen der anderen Bank der Monopollösung. Das in Teilaufgabe 2 beschriebene Gleichgewicht kann man auch dadurch berechnen, dass man den Schnittpunkt der beiden Reaktionsfunktionen berechnet, indem man das obige Gleichungssystem der Reaktionsfunktionen nach d 1 und d 2 löst. (b) Oligopolmodell mit Risikowahl Teilaufgabe 1: p(y) =1für y =0;p(y) =0für y = ȳ = 1; die Steigung der Funktion beträgt 1.

8 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 8 Teilaufgabe 2: Der Erwartungswert des Projekts beträgt p(y)y. Er ist für y =0 und für y = 1 gleich Null. Er verläuft wie eine umgekehrte Parabel. Sein Maximum erreicht er an der Stelle, an der gilt p (y)y +p(y) = 0 y +1 y =0 y = 1.Dieswäre die aus Wohlfahrtssicht 2 optimale Risikowahl. Teilaufgabe 3: Die Oligopolbank maximiert wieder ihren erwarteten Gewinn, diesmal aber über d i und über y i : Teilaufgabe 4: max d i,y i EΠ i = p(y i )d i (y i R D (D)) = (1 y i )d i (y i D) Die FOC des Optimierungsproblems lauten: EΠ i = d i (1 y i )[y i D d i ]=0 y i D d i =0 EΠ i = y i d i [ (y i D)+(1 y i )] = 0 D +1 2y i =0 Aus der ersten FOC ergibt sich nach Berücksichtigung der Symmetrie der Wettbewerber (d i = d, y i = y): y =(n +1)d. Einsetzen in die zweite FOC ergibt nach einigen Umformungen: d = 1. n+2 Hieraus folgt: D = R D = nd = n. n+2 Einsetzen in die erste FOC ergibt: y =(n +1)d = n+1.für n 2 n+2 gilt also, dass y 3 > 1 ;eswerdenalsoübermäßige Risiken 4 2 übernommen. Der Grund ist die beschränkte Haftung der Bank, die dazu führt, dass die Bank einen Teil ihrer Verluste auf die Gläubiger (bzw. die Einlagenversicherung) abwälzen kann. Die Marge der Bank beträgt y R D = 1 n+2.

9 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 9 Teilaufgabe 5: d hängt negativ von n ab und konvergiert für n gegen 0. D und R D hängen positiv von n ab und konvergieren gegen 1. y hängt positiv von n ab und konvergiert gegen ȳ =1.Esbesteht also ein Trade-off zwischen Wettbewerb und Stabilität: Je höher die Anzahl der Banken, desto größer ist das Einlagenvolumen, aber auch die Risikoübernahme. Die Marge fällt in n und konvergiert gegen Null. Teilaufgabe 6: Eine Erhöhung der Anzahl der Banklizenzen erhöht das Einlagenvolumen im Bankensystem, was tendenziell die Wohlfahrt erhöht. Gleichzeitig erhöht sich aber auch das Risiko (y steigt bzw. p(y) fällt). Für n geht p(y) gegen Null; damit geht auch der Erwartungswert des Projektes gegen Null. Eine unendliche Anzahl an Banklizenzen kann daher nicht wohlfahrtsmaximal sein. (c) Oligopolmodell mit Risikowahl und Kreditmarktwettbewerb Teilaufgabe 1: Die Unternehmer maximieren ihre erwarteten Gewinne über y j : max y j EΠ j = p(y j )(y j R L )=(1 y j )(y j R L ) Hierbei nehmen sie R L als gegeben hin. Teilaufgabe 2: Die Ableitung nach y j ergibt die Bedingung erster Ordnung: EΠ j y j = [y j R L ]+(1 y j )=0 R L (L)+1 2y j =2 L 2y j =0 y j =1 L 2

10 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 10 Für jeden positiven Kreditzins ist L<1 (siehe Kreditnachfragefunktion). Hieraus folgt unmittelbar, dass y j > 1 ; die Unternehmer übernehmen also übermäßige Risiken. 2 Die Risikoübernahme der Unternehmer fällt in L. Der Grund ist, dass ein höheres L zu einem geringeren Kreditzins R L führt, wodurch das Moral-hazard-Problem der Unternehmer entschärft wird. Teilaufgabe 3: Die Banken maximieren ihre erwarteten Gewinne über d i,wobei L = D (Bilanzidentität), y j = y (Symmetrie) und y =1 L 2 (aus der Optimierung der Unternehmer): Teilaufgabe 4: Die FOC lautet: max EΠ i = p(y) d i [R L (L) R D (D)] d i =(1 y) d i [1 L D] = L 2 d i[1 L D] = D 2 d i[1 2D] EΠ i d i = 1 2 d i(1 2D)+ D 2 (1 2D) Dd i =0 Nach einigen Umformungen erhält man unter Berücksichtigung der Symmetrie (d i = d): d = n+1. 2n(n+2) Das aggregierte Einlagenvolumen beträgt D = nd = n+1 = L = 2(n+2) R D. Die Auszahlung im Erfolgsfall beträgt y =1 L n+1 =1. 2 4(n+2) Der Kreditzins beträgt R L =1 L =1 n+1. 2(n+2) Die Marge der Bank beträgt R L R D =1 2D =1 n+1 (n+2).

11 The Economics of Banking Aufgabenblatt 4 11 Teilaufgabe 5: Das individuelle Einlagenvolumen der Banken fällt in n und konvergiert für n gegen Null. Das aggregierte Einlagen- bzw. Kreditvolumen steigt in n und konvergiert (von unten) gegen 1. Dasselbe gilt für den Einlagenzins. 2 Der Kreditzins fällt in n und konvergiert ebenfalls gegen 1 (von 2 oben). Die Marge der Bank konvergiert also gegen Null. Die Auszahlung im Erfolgsfall (und damit die Risikoübernahme) fällt in n; es gibt hier also keinen Trade-off zwischen Wettbewerb und Stabilität. Für n konvergiert y gegen 3. Der Grund für das Absinken von y ist das Absinken der Kreditzinsen R L aufgrund des 4 stärkeren Wettbewerbs um Kredite; hierdurch wird das Moralhazard-Problem auf Seiten der Unternehmer entschärft. Teilaufgabe 6: Die bestehende Ineffizienz wird durch den höheren Wettbewerb zwar abgemildert, aber sie verschwindet nicht. Es gibt hier also keine Konvergenz gegen die effiziente Lösung. Auch bei vollständigem Wettbewerb im Bankwesen übernehmen die Unternehmer immer noch übermäßige Risiken. Dies liegt daran, dass sie einer beschränkten Haftung unterliegen und sich durch Fremdkapital finanzieren, und hat nichts mit dem Wettbewerb im Bankensystem zu tun. Dieses Problem besteht für jeden streng positiven Kreditzins. Teilaufgabe 7: Eine Beschränkung der Banklizenzen kann hier nicht sinnvoll sein. Eine Erhöhung von n führt zu einem höheren Einlagen- bzw. Kreditvolumen und zu einer Risikoübernahme, die näher an der effizienten Lösung liegt.

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