Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 XIV Gewöhnliche Differentialgleichungen Definition 4. : Sei n IN, F : D(F IR n+2 IR. Gewöhnliche DGL n ter Ordnung a F (x, y, y,..., y (n = heißt gewöhnliche Differentialgleichung (DGL n ter Ordnung. Läßt sich F = nach y (n auflösen, d.h.: existiert f : D(f IR n+ IR mit y (n = f(x, y, y,..., y (n, so heißt diese DGL eine explizite (sonst implizite DGL n ter Ordnung. b Eine Funktion y C n (I (d.h.: n mal stetig differenzierbar in I IR heißt Lösung der DGL in I, wenn (x, y(x, y (x,..., y (n (x T D(F und F (x, y(x, y (x,..., y (n (x = x I. c Sind zusätzlich zur DGL noch Anfangsbedingungen y(ξ = η, y (ξ = η,..., y (n (ξ = η n mit ξ I und η i IR gegeben, und erfüllt y als Lösung auch diese Anfangsbedingungen, so heißt y Lösung der Anfangswertaufgabe (AWA. Wir wollen uns zunächst mit expliziten DGL. Ordnung beschäftigen. Hiebei werden wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen die DGL. Ordnung mit zusätzlicher Anfangsbedingung y(ξ = η lösbar bzw. eindeutig lösbar ist. Explizite DGL. Ordnung mit Anfangsbedingung Gegeben: AWA. Ordnung y = f(x, y, y(ξ = η Geometrische Anschauung Richtungsfeld Ist y Lösung der DGL, so muß ja gelten: y (x = f(x, y(x, also ist die Steigung von y(x ( an der Stelle x gleich f(x, y(x. Zeichnet man also in möglichst vielen Punkten x IR 2 ein Stück Tangente mit der Steigung y = f(x, y ein, so erhält man y ein Richtungsfeld, aus dem man ( den ungefähren Verlauf der Lösungskurve der AWA ξ ablesen kann, wenn man bei beginnt. η Beispiel y = x + y, y( = Exakte Lösung: y(x = e x x. 479

2 Richtungsfeld für die AWA y = x + y, y( = Isoklinen Eine Hilfe, das Richtungsfeld schneller zeichnen zu können, bilden die Isoklinen. Das { ( x } sind Kurven gleicher Steigung, also K c = : f(x, y = c, c IR. y Isoklinen für die AWA y = x + y, y( = Die Isoklinen bei diesem Beispiel sind: x + y = c y = c x Geraden mit der Steigung (. Wir werden nun untersuchen, unter welchen Voraussetzungen eine AWA. Ordnung lösbar bzw. eindeutig lösbar ist. Eine Bedingung, die dabei eine wichtige Rolle spielt, ist die Lipschitzbedingung. 48

3 Definition 4.2 : Sei f : D IR 2 IR. Lipschitzbedingung f genügt auf D einer Lipschitzbedingung bzgl. y M > mit ( ( x x f(x, y f(x, ỹ M y ỹ, D y ỹ Bemerkung 4.3 : Existiert in D IR 2 die partielle Ableitung f f und ist in D stetig und beschränkt y y mit f ( x (x, y M D f genügt auf D einer Lipschitzbedingung bzgl. y. y y Beweis : Dies folgt sofort aus dem Mittelwertsatz. Beispiel { ( x } f(x, y = h(xg(y auf D = : a x b, c y d y mit h ist stetig in [a, b] und g ist stetig differenzierbar in [c, d] f(x, y f(x, ỹ = h(x g(y g(ỹ max h(x max x [a,b] y [c,d] g (y y ỹ ( ( x x M y ỹ, D y ỹ f genügt auf D einer Lipschitzbedingung bzgl. y. Satz 4.4 : Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf ( ξ { ( Sei IR 2 x }, α >, β > und I = : x ξ α, y η β. η y Sei f : I IR stetig in I; f genüge auf I einer Lipschitzbedingung bzgl. y. Sei K = max f(x, y, δ = min{α, β (x,y T I K }. Dann existiert in U δ (ξ = {x IR : x ξ < δ} genau eine Lösung y der AWA y = f(x, y mit y(ξ = η. 48

4 Bemerkung : Der Satz gilt auch, wenn β = ist. Dann ist δ = α, und die eindeutige Lösung y existiert in U α (ξ = {x IR : x ξ < α}. Beweisidee: Es gilt: y (x = f(x, y(x, y(ξ = η y(x = η + x ξ f(t, y(t dt denn: y(x y(ξ = y(x η = x U δ (ξ x U δ (ξ, x ξ y (t dt = x ξ f(t, y(t dt. Auf U δ (ξ wird nun eine Folge von Funktionen (y n n IN folgendermaßen definiert: Verfahren von Picard-Lindelöf y (x η, y n (x = η + x ξ f(t, y n (t dt, n IN, x U δ (ξ Von dieser Funktionenfolge wird nun gezeigt: y n y gleichmäßig auf U δ (ξ. Da y n stetig in U δ (ξ y stetig in U δ (ξ. Da f(x, y n (x f(x, y(x M y n (x y(x x U δ (ξ f(x, y n (x f(x, y(x gleichmäßig auf U δ (ξ x ξ f(t, y n (t dt x ξ f(t, y(t dt y(x = η + x Nun muß noch gezeigt werden, daß y einzige Lösung in U δ (ξ ist. (ausführlicher Beweis siehe Literatur. Bemerkung : ξ f(t, y(t dt auf U δ (ξ. Der Beweis verläuft ähnlich wie der Beweis zum Fixpunktsatz (vgl. S.346. Dort hatten wir es mit Zahlenfolgen zu tun, hier mit Funktionenfolgen. Auch dort war die Lipschitzbedingung (mit L < wesentliche Voraussetzung. Bemerkung : Satz 4.4 sichert also die Existenz- und Eindeutigkeit der Lösung in einer Umgebung der Anfangsstelle ξ. Der Beweis (konstruktiver Beweis liefert gleichzeitig ein Verfahren, mit dem die gesuchte Lösung angenähert werden kann. Dieses Verfahren ist aber für die Praxis nicht besonders gut geeignet (man erhält nur sehr grobe Annäherungen, und in jedem Schritt muß ein Integral berechnet werden. Wir werden später Näherungsverfahren behandeln, die für die Praxis besser geeignet sind. Beispiel für Verfahren von Picard-Lindelöf y = x + y, y( =. 482

5 Da für f(x, y = x + y gilt: f stetig in IR 2 und f y = stetig und beschränkt in IR 2 Lipschitzbedingung bzgl. y erfüllt in IR 2 Voraussetzungen des Satzes 4.4 erfüllt für α = β = existiert eindeutig Lösung in IR. Verfahren von Picard-Lindelöf: y (x, y n (x = + y (x = x x x (t + y n (t dt, n IN, also (t + dt = x2 2 k=2, y 2 (x = x (t + t2 2 y 3 (x = (t + t2 2 + t3 x2 dt = 3! 2 + x3 3! + x4. 4! n+ x k Behauptung: y n (x =. k! Beweis per Induktion: n = (klar x ( n+ t k n n + : y n+ (x = t + k! y n (x = n+ k=2 k=2 x k k! y(x = k=2 dt = x2 n+ 2 + x k k! = ex x x2 dt = 2 + x3 3! k=2 x k+ n+2 (k +! = y(x = e x x ist einzige Lösung der AWA y = x + y, y( = in IR. Beispiel: keine Eindeutigkeit y = 3y 2/3, y( = (vgl. S.232. Lösungen: y(x y(x = x{ 3,falls x < y(x = x 3,falls x Hier ist f(x, y = 3y 2/3, also existiert f y in ( nicht. f genügt nicht der Lipschitzbedingung bzgl. y in U( (. Es gilt aber: f ist stetig in U( (. Aus dem nächsten Satz folgt dann die Existenz der Lösung in U δ (, aber nicht die Eindeutigkeit. Satz ( 4.5 : Existenzsatz von Peano ξ Sei IR 2, α >, β > und I = η Sei f : I IR stetig in I, sei K = { ( x y, k=2 x k k! } : x ξ α, y η β. max f(x, y, δ = min{α, β (x,y T I K }. Dann existiert in U δ (ξ = {x IR : x ξ < δ} mindestens eine Lösung y der AWA y = f(x, y mit y(ξ = η. Beweis : siehe Literatur, z.b.: Stepanow: Lehrbuch der DGL. Wir werden nun einige spezielle DGL. lassen. Ordnung behandeln, die sich exakt lösen 483

6 . Trennung der Variablen (vgl. S.23 y = f(xg(y, y(ξ = η Ist f stetig in [a, b] mit ξ [a, b] und g stetig differenzierbar in [c, d] mit η [c, d] die AWA ist eindeutig lösbar in U δ (ξ (nach Satz 4.4 und Beispiel S.48. a Sonderfall: Ist für ein y g(y =, so untersuche man, ob y Lösung der AWA. b Sei g(y g(y dy = f(x dx ergibt Lösungen der DGL. Anfangsbedingung einsetzen ergibt die gesuchte Lösung. 2. ( ax + by + c y = f αx + βy + γ, y(ξ = η Sind f und f y stetig in U( ( ξ η AWA ist eindeutig lösbar (nach Satz 4.4 und Bem Fallunterscheidungen a b =, β = (d.h.: f ist nur von x abhängig y = f(x y ist Stammfunktion von f. b α = β =, b y = f(ax + by + c u = a + b f(u (lösbar mit Trennung der Variablen, denn: Substitution u(x = ax + by + c u = a + by = a + b f(u. c a = c = β = γ = y = f ( y u x = x ( f(u u (lösbar mit Trennung der Variablen, denn: Substitution u(x = y(x x u = x ( f(u u. u = xy (x y(x x 2 = x (y (x y(x x ( a b d det =, β (β = αb = Fall a oder b α β ( ( ( ( a α a α und linear abhängig λ mit = λ. b β b β ( ax + by + c ( λu λγ + c y = f u = α+βf = αx + βy + γ u f(u (lösbar mit Trennung der Variablen, 484

7 denn: Substitution u(x = αx + βy + γ u = α + βy ( ax + by + c ( λ(αx + βy + γ λγ + c u (x = α + βf = α + βf αx + βy + γ αx + βy + γ ( λu λγ + c = α + βf = u f(u. ( ( ( ( ( a b e det α β x a b x c mit =. y α β y γ ( ax + by + c ( a + b v y = f v u = f αx + βy + γ α + β v = f ( v (lösbar nach c, u u denn: Substitution u = x x, v(u = y(x y v (u = y (x ( ax + by + c v (u = y ax by c ( a(x x + b(y y (x = f = f αx + βy + γ αx βy γ α(x x + β(y y ( au + bv ( a + b v u = f = f αu + βv α + β v = f ( v. u u Beispiele zu b y = (x + y 2, y( =. Für f(x, y = (x + y 2 gilt: f, f y sind stetig in IR 2 AWA ist eindeutig lösbar in U(. Substitution: u(x = x + y(x u = + y = + u 2 u = + u 2 + u 2 du = dx arctan u = x + c u(x = tan(x + c y(x = tan(x + c x, c IR (allgemeine Lösung. y( = y( = tan c = c = y(x = tan x x ist Lösung der AWA in U( = {x : x < π/2}. zu c y = y2 + 2xy x 2, y(2 = 8/3. Für f(x, y = y2 + 2xy x 2 gilt: f, f y sind stetig in U( ( 2 8/3 AWA ist eindeutig lösbar in U(2. ( y 2 ( y y = + 2 = u x x 2 + 2u = f(u mit u = y x u = ( f(u u = x x (u2 + 2u u = u2 + u x u( + u du = x dx u du u + du = ln x + c u ln u ln u + = ln x + c ln u + = ln x + c u = cx u = cx(u + u( cx = cx u + u(x = cx oder u oder u (Sonderfälle cx 485

8 y(x = cx2 oder y oder y(x = x (Sonderfälle sind alle Lösungen cx der DGL. y(2 = 8/3 y und y(x = x erfüllen die Anfangsbedingung nicht, aber y(2 = 4c 2c = 8 c = 2, 3 y(x = 2x2 2x ist Lösung der AWA in U(2 = ( 2,. zu d y 4x 2y 2 = 2x y + 3, y( =. 4x 2y 2 Für f(x, y = 2x y + 3 gilt: f, f y sind stetig in U( ( AWA ist eindeutig lösbar in U(. ( ( ( det = = λ = 2. Substitution: u(x = 2x y + 3 u = 2 y 2(2x y = 2 2x y + 3 u = 2 2u 8 = 8 u u u du = 8 dx u2 2 = 8x + c u 2 = 6x + c y(x = 3 + 2x ± 6x + c. y( = y( = 3 ± c = c = 9 und ( Zeichen y(x = 3 + 2x 6x + 9 ist die Lösung der AWA in U( = ( 9 6,. zu e y = x y + 3 x + y +, y( =. Für f(x, y = x y + 3 x + y + gilt: f, f y sind stetig in U( ( AWA ist eindeutig lösbar in U(. ( ( ( ( ( ( x 3 x 2 det = =. y y Substitution: u = x + 2, v = y v = y (x + 2 (y = (x (y = u v u + v = v u + v = f ( v. u u Weitere Substitution: w(u = v(u u w = u ( f(w w = ( w u + w w = 2w w2 u + w + w 2w w 2 dw = ln w 2 + 2w = ln(u 2 + c 2 w 2 + 2w = c u 2 u du 2 ln w2 + 2w = ln u + c 486

9 (Sonderfall w 2 + 2w = für c = enthalten. Mit w = v u v2 u 2 + 2v u = c u 2 v 2 + 2uv u 2 = c v(u = u ± c + 2u 2. Mit u = x + 2 und v = y y(x = (x + 2 ± c + 2(x y( = y( = ± c + 8 = c = 7 und (+ Zeichen y(x = x + 2(x ist die Lösung der AWA für x + 2 > 7/2, also in U( = ( 7/2 2,. 3. Lineare DGL. Ordnung (vgl. S.236 y = f(xy + g(x, y(ξ = η Sind f, g stetig in [a, b] = [ξ α, ξ + α] die AWA ist eindeutig lösbar in (a, b. Denn: Für F (x, y = f(xy + g(x gilt: F und F y = f(x sind stetig und F y beschränkt in [a, b] IR. Sind f, g stetig in IR α = β = (vgl. Satz 4.4 die AWA ist eindeutig lösbar in IR. Da die DGL linear ist, setzt sich die allgemeine Lösung aus der allgemeinen Lösung y h der zugehörigen homogenen DGL y = f(xy und einer partikulären Lösung y der inhomogenen DGL y = f(xy + g(x zusammen, also y = y h + y (vgl. S.236. homogen: y = f(xy y dy = f(x dx (mit x [a, b] y h (x = c e x x f(t dt, c IR ist allgemeine Lösung der homogenen DGL y = f(xy (Sonderfall y für c = enthalten. partikuläre Lösung: Variation der Konstanten Ansatz: y (x = c(xy (x mit y (x = e Einsetzen in die DGL ergibt x x f(t dt y (x = c (xy (x + c(xy (x = f(xc(xy (x + g(x (da y (x = f(xy (x c (x = g(x x g(t, falls y (x c(x = y (x y (t dt x y (x = y (x x g(t y (t dt ist partikuläre Lösung der inhomogenen DGL y = f(xy + g(x. 487 x.

10 Also gilt (mit x [a, b] x y(x = cy (x + y (x x g(t y (t dt, c IR, mit y (x = e x x f(t dt ist allgemeine Lösung der linearen, inhomogenen DGL y = f(xy + g(x. Ist die Anfangsbedingung y(ξ = η gegeben bestimmte Lösung. Beispiele a y = ( sin xy + 2 sin x, y( =. f(x = sin x, g(x = 2 sin x sind stetig in IR x = ξ, c = η ergibt die eindeutig AWA ist eindeutig lösbar in IR. homogen: ( sin x y (x = e dx = e cos x y h (x = c e cos x ist allgemeine Lösung der homogenen DGL. partikuläre Lösung: 2 sin x c(x = dx = ecos x 2 sin x e cos x dx = 2 e cos x y (x = e cos x 2 e cos x = 2 ist partikuläre Lösung (diese partikuläre Lösung hätte man auch sofort sehen können y(x = c e cos x + 2, c IR, ist allgemeine Lösung der DGL. y( = y( = c e + 2 = c = 2/e y(x = ( 2/ee cos x + 2 ist Lösung der AWA in IR. b y = x y + + x, y( =. f(x =, g(x = + x sind stetig in IR\{} AWA eindeutig lösbar in (,. x homogen: (/x y (x = e dx = e ln x = x y h (x = c ist allgemeine Lösung der homogenen DGL. x partikuläre Lösung: + x c(x = dx = x (x + x 2 dx = x2 2 + x3 3 y (x = x (x2 2 + x3 3 = x 2 + x2 3 y(x = c x + x 2 + x2 3 ist partikuläre Lösung, c IR, ist allgemeine Lösung der DGL in (,. y( = y( = c = c =

11 4. Bernoullische DGL y = f(xy + g(xy α, y(ξ = η, α IR\{, } f, g stetig in [a, b] mit ξ [a, b]. (Für α = oder α = erhalten wir eine lineare DGL. y(x ist Lösung der DGL für α > (Sonderfall. Die Substitution u(x = y α (x führt auf die lineare DGL für u u = ( αf(xu + ( αg(x Denn: u = ( αy α y = ( αy α (fy + gy α = ( αfy α + ( αg u = ( αfu + ( αg. Beispiel y = 2xy x 3 y 3, y( = α = 3. Für F (x, y = 2xy x 3 y 3 gilt: F, F y sind stetig in IR 2 AWA eindeutig lösbar in U(. y(x ist Lösung der DGL (erfüllt nicht die Anfangsbedingung. Substitution u = y α = y 2 führt auf u = 2( 2xu + ( 2( x 3 = 4xu + 2x 3 (lineare DGL für u, 4x homogen: u h (x = c e dx = c e 2x2, 2x 3 ( partikulär: u (x = e 2x2 dx = e 2x 2 4 (2x2 + e 2x2 = 4 x2 2 e 2x2 u(x = c e 2x2 4 x2 2. Da y 2 (x = u(x y(x = ± oder y(x sind alle Lösungen der DGL. c e 2x2 4 x2 2 y( = y( = ± = c = 5 und (+ Zeichen c y(x = (5e 2x2 > + 2x 2 erfüllt x IR 5e 2x 2 2x 2 ist eindeutig bestimmte Lösung der AWA in IR. (Die Anfangsbedingung y( = würde die Lösung y(x ergeben. 5. Riccatische DGL y = f(xy + g(xy 2 + h(x, y(ξ = η f, g, h stetig in [a, b] mit ξ [a, b]. 489

12 Die allgemeine Lösung der Riccatischen DGL kann bestimmt werden, wenn eine Lösung y bekannt ist. Sei also y eine Lösung der gegebenen DGL, dann führt der Ansatz: y(x = y (x + auf weitere Lösungen der DGL. u(x Für die unbekannte Funktion u erhält man die lineare DGL u = (f(x + 2g(xy (xu g(x Denn: y = y u 2 u = f (y + u +g (y + u 2 +h = fy + f u +gy2 + 2gy u Da y = fy + gy 2 + h u 2 u = f + 2gy + g u u 2. Multiplikation mit u 2 ergibt u = (f + 2gy u g. Beispiel + g u 2 +h. y = (2x + y + y 2 + ( + x + x 2, y( = /2. f(x = (2x +, g(x =, h(x = + x + x 2 sind stetig in IR. Für F (x, y = (2x + y + y 2 + ( + x + x 2 gilt: F, F y sind stetig in IR 2 ist eindeutig lösbar in U(. y (x = x ist eine Lösung der DGL (erfüllt nicht die Anfangsbedingung. AWA y = y + u führt auf die lineare DGL für u u = ( (2x + + 2xu u = u u u = (lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, homogen: charakteristisches Polynom: λ = λ = u h (x = c e x, partikulär: u (x = u(x = c e x + (mit y(x = y (x + u(x y(x = x + c e x + oder y(x = x sind alle Lösungen der gegebenen DGL. y( = /2 y( = c + = c = 2 y(x = x + e x ist die einzige Lösung der AWA in IR. + (Die Anfangsbedingung y( = würde die Lösung y(x = x ergeben. 6. Exakte DGL f(x, y + g(x, yy = mit f y = g x in M IR 2 Hierbei muß M ein einfach zusammenhängendes Gebiet sein und f, g C (M. ( Unter der obigen Voraussetzung f y = g x in M gilt für das Vektorfeld V f = : g Die Integrabilitätsbedingung V 2x = V y ist in M erfüllt. 49

13 M ist einfach zusammenhängendes Gebiet, also existiert in M ein Potential u : M IR mit u x = f und u y = g. Damit ergibt die Gleichung u(x, y(x = c, c IR die allgemeine (implizite Lösung der exakten DGL. Denn: Für u(x, y(x = c erhält man durch Differentiation nach x: d dx (u(x, y(x = u x(x, y + u y (x, yy = f(x, y + g(x, yy =. Gelingt es, die Gleichung u(x, y = c nach y aufzulösen, so erhält man die Lösungen y in expliziter Form. Beispiel ( + y 2 + 3x 2 y + (2xy + x 3 y =. Mit f(x, y = + y 2 + 3x 2 y und g(x, y = 2xy + x 3 gilt in IR 2 : f y (x, y = 2y + 3x 2 = g x (x, y. Da IR 2 einfach zusammenhängendes Gebiet die gegenene DGL ist exakt, und es existiert ein Potential u in IR 2. u x = f u(x, y = ( + y 2 + 3x 2 y dx + h (y = x + xy 2 + x 3 y + h (y, u y = g u(x, y = (2xy + x 3 dy + h 2 (x = xy 2 + x 3 y y + h 2 (x u(x, y = x y + xy 2 + x 3 y ist Potential in IR 2 u(x, y = x y + xy 2 + x 3 y = c ist die allgemeine Lösung der gegebenen DGL in impliziter Form. Lösen wir diese Gleichung nach y auf, so erhalten wir die Lösungen in expliziter Form. 7. Exakte DGL durch integrierenden Faktor f(x, y + g(x, yy = mit f y g x Diese DGL ist nicht exakt. Man kann aber versuchen, durch Multiplikation mit einem Faktor µ(x, y (integrierender Faktor diese DGL zu einer exakten DGL zu machen: µ(x, yf(x, y + µ(x, yg(x, yy =. Damit diese DGL exakt ist, muß gelten: (µf y = (µg x µ y f + µf y = µ x g + µg x gµ x fµ y = (f y g x µ Dies ist eine partielle DGL. Ordnung für den integrierenden Faktor µ. Diese partiellen DGL behandeln wir später. Zunächst können wir diese partielle DGL nur für zwei Spezialfälle lösen: 49

14 a µ(x: d.h.: µ ist nur von x abhängig gµ (x = (f y g x µ(x µ(x = e fy g x g dx Dieser Fall kann nur eintreten, wenn f y g x g b µ(y: d.h.: µ ist nur von y abhängig fµ (y = (g x f y µ(y unabhängig von y ist. µ(y = e gx f y f dy Dieser Fall kann nur eintreten, wenn g x f y f unabhängig von x ist. Beispiel ( xy + (xy x 2 y =, y( =. Mit f(x, y = xy und g(x, y = xy x 2 gilt: y f(x, y = g(x, y. f(x, y Für F (x, y = g(x, y gilt: F, F y sind stetig in U( ( (da Nenner dort AWA ist eindeutig lösbar in U(. Da f y g x = x (y 2x = x y DGL ist nicht exakt. f y g x = x y g x(y x = ist unabhängig von y x µ(x = e x dx = e ln x = (für x > ist integrierender Faktor. Also ist die x folgende DGL exakt: x ( xy + x (xy x2 y = ( x y + (y xy = (x. u(x, y = ( x y dx + h (y = ln x xy + h (y, u(x, y = (y x dy + h 2 (x = y2 2 xy + h 2(x u(x, y = y2 2 xy + ln x ist Potential y2 2 xy + ln x = c y 2 2xy + ln x 2 = c ist allgemeine implizite Lösung der gegebenen DGL für x. Auflösung nach y ergibt: y(x = x ± c ln x 2 + x 2 ist allgemeine Lösung der DGL mit x 2 > ln x 2 c. 492

15 Die Anfangsbedingung y( = ergibt: y( = ± c + = c = und ( Zeichen, also y(x = x x 2 ln x 2 ist (eindeutige Lösung der AWA in (, (x 2 > ln x 2 ist für alle x > erfüllt. Nun behandeln wir noch eine spezielle implizite DGL. Ordnung: 8. Clairautsche DGL y = xy + g(y mit g C 2 (I, I = (a, b IR Die Lösungen dieser Clairautschen DGL sind a y(x = cx + g(c, c I, b x(t = g (t, y(t = g(t tg (t, t I. b ist eine Kurve (Lösungskurve der DGL in Parameterform, a sind die Tangenten an die Kurve b. b ist also die Einhüllende der Geradenschar a. Denn: a y = c y = cx + g(c erfüllt die DGL. b Für y(x(t = g(t tg (t gilt: dy dx = dy dt dt dy dx = dt = y (t dx x (t = g (t g (t tg (t g = t y (x = t. (t dt Einsetzen in die rechte Seite der DGL ergibt x(tt + g(t = tg (t + g(t = y(t b ist Lösungskurve der DGL. Daß ( a die Tangenten der Kurve b sind, sieht man folgendermaßen: x ( (t g ( (t y = (t tg = g (t. (t t ( ( x(t Also ist die Richtung der Tangente im Punkt :. ( y(t ( ( t ( x(t x x(t Damit lautet die Tangente im Punkt : = + λ, λ IR. y(t y y(t t Koordinatenweise erhalten wir dann x = x(t+λ, y = y(t+λt λ = x x(t, y = y(t+t(x x(t = tx+y(t tx(t y = tx + g(t tg (t + tg (t = tx + g(t. Beispiel y = xy + y 3 g(t = t 3. Lösungen: a y(x = cx + c 3, c IR, b x(t = 3t 2, y(t = t 3 3t 3 = 2t 3 27y 2 = 4x 3 (Neilsche Parabel. a sind die Tangenten an die Neilsche Parabel. 493

16 Lineare DGL n ter Ordnung Bei DGL höherer Ordnung behandeln wir nur noch lineare DGL. In Normalform haben sie die Gestalt L[y] = y (n + a n (xy (n a (xy + a (xy = f(x mit a i, f : (a, b IR stetig in (a, b i =,,..., n. L[y] = heißt zugehörige homogene DGL, L[y] = f inhomogene DGL (falls f. Aus Kapitel VII (ab S.233 sind folgende Aussagen bekannt: a Die allgemeine Lösung der linearen, inhomogenen DGL L[y] = f setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung y h der zugehörigen homogenen DGL L[y] = und einer partikulären Lösung y der inhomogenen DGL L[y] = f, also y = y h + y. b Die allgemeine Lösung y h der linearen, homogenen DGL n ter Ordnung ist eine Linearkombination aus n linear unabhängigen Lösungen y, y 2,..., y n (Fundamentalsystem, also y h = c y + c 2 y c n y n, c i IR. c Sind zusätzlich an der Stelle ξ (a, b n Anfangsbedingungen y(ξ = η, y (ξ = η,..., y (n (ξ = η n gegeben, so existiert genau eine Lösung der linearen, inhomogenen DGL n ter Ordnung, die diese Anfangsbedingungen erfüllt (falls alle Koeffizientenfunktionen a i (x und die rechte Seite f(x stetig in (a, b sind. (Diesen Existenz- und Eindeutigkeitssatz werden wir später beweisen. Um also die allgemeine Lösung einer linearen, inhomogenen DGL n ter Ordnung zu finden, benötigen wir a ein Fundamentalsystem {y, y 2,..., y n } von n in (a, b linear unabhängigen Lösungen der homogenen DGL L[y] = und b eine partikuläre Lösung y der inhomogenen DGL L[y] = f. Spezialfall: konstante Koeffizienten (vgl. ab S.238 Sind alle Koeffizientenfunktionen a i (x = konst, so kann man ein Fundamentalsystem mit Hilfe der Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms bestimmen. { Bei rechten Seiten der Form f(x = p(xe αx cos βx erhält man in diesem Fall sin βx eine partikuläre Lösung mit Hilfe eines speziellen Ansatzes (vgl. ab S.243. Wir behandeln nun lineare DGL mit nichtkonstanten Koeffizienten: Hat man n Lösungen y, y 2,..., y n der homogenen DGL gefunden, so stellt sich die Frage, ob diese Lösungen in (a, b ein Fundamentalsystem bilden (also linear unabhängig sind. Diese Frage kann mit Hilfe der Wronski-Determinante einfach beantwortet werden: 494

17 Definition 4.6 : Seien y i C (n (a, b, ( i n, so heißt y (x y 2 (x... y n (x y (x y 2(x... y n(x W (x = det y (x y 2 (x... y n(x y (n (x y (n 2 (x... y (n n (x die Wronski-Determinante der Funktionen y, y 2,..., y n. Satz 4.7 : Sind y, y 2,..., y n Lösungen der linearen, homogenen DGL n ter Ordnung L[y] = in (a, b, so gilt a y, y 2,..., y n sind linear unabhängig in (a, b W (x für ein x (a, b. In diesem Fall ist W (x b Es gilt x (a, b. W (x = a n (xw (x, W (x = W (x e x x a n (t dt x (a, b Beweis : a Annahme: y, y 2,..., y n sind linear abhängig in (a, b es existieren c, c 2,..., c n IR (nicht alle gleich mit c y (x + c 2 y 2 (x c n y n (x = x (a, b c y (x + c 2 y 2(x c n y n(x = x (a, b. c y (n (x + c 2 y (n 2 (x c n y n (n (x = x (a, b. Also y (x y 2 (x... y n (x y (x y 2(x... y n(x c y (n (x y (n 2 (x... y (n n (x c c n =.. Da die Koeffizientendeterminante W (x das GLS ist eindeutig lösbar die triviale Lösung ist die einzige Lösung c = c 2 =... = c n = Widerspruch zur Annahme. Annahme: W (x = x (a, b das GLS ist nichttrivial lösbar, d.h.: es existieren c, c 2,..., c n (nicht alle gleich mit c y (k (x + c 2 y (k 2 (x c n y n (k (x = ( k n für ein x (a, b. Für die Funktion y mit y(x = c y (x + c 2 y 2 (x c n y n (x gilt dann y(x =, y (x =,..., y (n (x =. Da L[y i ] = i n L[y] =. Also ist y Lösung der DGL L[y] = mit den Anfangsbedingungen y(x =, y (x =,..., y (n (x =. 495

18 Wegen der Eindeutigkeit der Lösung folgt y Widerspruch zu linear unabhängig W (x für ein x (a, b. b y (x... y n(x y (x... y n (x y (x... y n(x y W (x = det y (x... y (x... y n(x det n(x y (x... y n(x y (n (x... y (n n (x y (n (x... y (n n (x y (x... y n (x y (x... y n (x y (x... y n(x y det..... y (n (x... y (n + det (x... y n(x..... n (x y (n 2 (x... y (n 2. n (x y (n (x... y (n n (x y (n (x... y (n n (x Bis auf die letzte Determinante haben alle Determinanten 2 gleiche Zeilen, sind also gleich. Setzt man in der letzten Determinante jeweils für y (n i die DGL ein, also y (n i = a n (xy (n i a n 2 (xy (n 2 i... a (xy i, } {{ } Kombination der ersten (n Zeilen und zieht dann aus der letzten Zeile den Faktor a n (x heraus, so erhält man y (x... y n (x y (x... y n(x W (x = a n (x det y (x... y n(x..... = a n (xw (x. y (n (x... y (n n (x Die allgemeine Lösung dieser DGL ist x a n (t dt W (x = W (x e x, x (a, b. Ist W (x W (x x (a, b, da e Funktion. Beispiele. y + ω 2 y =, (ω >. Charakteristisches Polynom: λ 2 + ω 2 = λ,2 = ±iω, e ±iωx = cos ωx ± i sin ωx y (x = cos ωx, y 2 (x = sin ωx sind Lösungen der gegebenen DGL. ( cos ωx sin ωx W (x = det = ω in IR ω sin ωx ω cos ωx y, y 2 sind linear unabhängig in IR. 2. y ω 2 y =, (ω >. Charakteristisches Polynom: λ 2 ω 2 = λ,2 = ±ω y (x = e ωx, y 2 (x = e ωx sind Lösungen der gegebenen DGL. 496

19 ( e ωx e W (x = det ωx ωe ωx ωe ωx y, y 2 sind linear unabhängig in IR. = 2ω in IR Hat man ein Fundamentalsystem der linearen, homogenen DGL gefunden, so ist noch eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL zu bestimmen: Bestimmung einer partikulären Lösung mittels Variation der Konstanten Satz 4.8 : Variation der Konstanten Bilden die Funktionen y, y 2,..., y n in (a, b ein Fundamentalsystem der linearen, homogenen DGL n ter Ornung L[y] =, so ist y (x = n i= x W i (t, f y i (x x W (t dt, (x (a, b beliebig eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL L[y] = f. Hierbei ist W (x die Wronski-Determinante von y, y 2,..., y n und W i (x, f die Determinante der Matrix, die entsteht, wenn man in der Matrix von W (x die i te Spalte durch. f(x Beweis : ersetzt, also W i(x, f = det y (x y n (x... (x y n (n 2 (x. (x... f(x... y n (n (x y (n 2 y (n Wie bei der linearen DGL. Ordnung führen wir auch hier eine Variation der Konstanten durch, d.h.: wir machen für eine partikuläre Lösung den Ansatz: y (x = c (xy (x + c 2 (xy 2 (x c n (xy n (x. Diesen Ansatz y differenzieren wir n mal und stellen nach jeder Differentiation eine Forderung: y (x = c (xy (x c n (xy n(x + (c (xy (x c n(xy n (x } {{ }. Forderung: = y (x = c (xy (x c n (xy n(x + (c (xy (x c n(xy n(x } {{ } 2. Forderung: =. y (n (x = c (xy (n (x c n (xy n (n (x + (c (xy (n 2 (x c n(xy n (n 2 (x } {{ } (n. Forderung: = y (n (x = c (xy (n (x c n (xy n (n (x + (c (xy (n (x c n(xy n (n (x } {{ } n. Forderung: =f(x 497

20 Multiplizieren wir diese Gleichungen jeweils mit dem Faktor a i (x (die letzte Gleichung mit dem Faktor und addieren dann alle Gleichungen, so erhalten wir L[y ] = c L[y ] c n L[y n ] + f(x L[y ] = f(x (da L[y i ] = i n. Also ist y Lösung der inhomogenen DGL, falls die obigen n Forderungen erfüllt sind. Es muß also x (a, b gelten: y (x... y n (x c (x y (x... y n(x c. 2(x..... =.. y (n (x... y n (n (x c n(x f(x Die Koeffizientendeterminante ist die Wronski-Determinante W (x. Da W (x x (a, b, existiert für jedes x (a, b eine eindeutig bestimmte Lösung (c (x, c 2(x,..., c n(x T, die mit Hilfe der Cramer-Regel folgendermaßen berechnet werden kann: c i(x = W i(x, f x W i (t, f c i (x = dt mit x (a, b beliebig. W (x x W (t n x W i (t, f y (x = y i (x dt ist partikuläre Lösung der inhomogenen DGL. x W (t i= Bemerkung : Die Berechnung von y nach diesem Satz ist nicht immer sehr einfach, da die zu berechnenden Integrale unangenehm sein können. Wenn man einen speziellen Ansatz für y machen kann (z.b. bei linearen { DGL} mit konstanten Koeffizienten und rechten cos βx Seiten der Form f(x = p(xe αx oder eine partikuläre Lösung einfach sin βx sieht, so sollte man auf die Variation der Konstanten verzichten. Beispiel y y = e 2x. homogen: Charakteristisches Polynom: λ 3 λ = λ(λ 2 = λ(λ (λ + = λ =, λ 2 =, λ 3 = y (x =, y 2 (x = e x, y 3 (x = e x sind Lösungen der homogenen DGL in IR. W (x = det ex e x e x e x = 2 in IR y, y 2, y 3 sind linear unabhängig e x e x in IR, bilden also ein Fundamentalsystem in IR. partikuläre Lösung: W (x, f = det W 2 (x, f = det Variation der Konstanten ex e x e x e x e 2x e x e x e x e x e 2x e x = e 2x ( 2 = 2e 2x, = e x, W 3 (x, f = det 498 ex e x e x e 2x = e 3x,

21 W (x, f c (x = dx = ( e 2x dx = W (x 2 e2x, W2 (x, f c 2 (x = dx = W (x 2 ex dx = 2 ex, W3 (x, f c 3 (x = dx = W (x 2 e3x dx = 6 e3x y (x = 2 e2x + e x 2 ex + e x 6 e3x = ( e2x = 6 e2x ist partikuläre Lösung der inhomogenen DGL. (Hier wäre ein Ansatz der Form y (x = ae 2x viel einfacher gewesen y(x = c + c 2 e x + c 3 e x + 6 e2x, c i IR, ist allgemeine Lösung der gegebenen DGL. Wir behandeln nun lineare DGL, die man mit Hilfe spezieller Methoden auf einfachere lineare DGL (z.b.: auf lineare DGL mit konstanten Koeffizienten zurückführen kann. Gegeben: Lineare DGL in Normalform: L[y] = y (n + a n (xy (n a (xy + a (xy = f(x mit a i, ( i n und f stetig in (a, b.. Reduktion der Ordnung Gegeben: Eine Lösung y der zugehörigen homogenen DGL, also L[y ] =. Gesucht: Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL. Ansatz: y(x = v(xy (x mit einer noch zu bestimmenden Funktion v(x. Dieser Ansatz y(x = v(xy (x führt auf eine lineare DGL (n--ter Ordnung für v. Denn: y = vy y = v y + vy, y = v y + 2v y + vy, allgemein: y (k = v (k y + kv (k y + ( k v (k 2 y vy (k = 2 k j= ( k v (k j y (j. j Multiplikation dieser Gleichungen mit a k (x (bei y (n Multiplikation mit und anschließende Summation ergibt L[y] = y v (n + ã n (xv (n ã (xv + vl[y ] = f(x. Da L[y ] = y v (n + ã n (xv (n ã (xv = f(x. Das ist eine lineare DGL (n--ter Ordnung für v. 499

22 Kann man diese DGL allgemein lösen, und ist v(x die allgemeine Lösung dieser DGL, so ist y(x = v(xy (x die allgemeine Lösung der ursprünglichen linearen DGL n-ter Ordnung. Beispiel n = 3: x 3 y 3x 2 y + (6x x 3 y + (x 2 6y = x 4 e x. Normalform: y 3 x y + 6 x2 x 2 y + x2 6 x 3 y = xe x. Alle Koeffizientenfunktionen und die rechte Seite sind stetig in IR\{}, also existieren Lösungen in (, und in (,. y (x = x ist Lösung der homogenen DGL. Der Ansatz y(x = xv(x führt auf: y (x = v(x + xv (x, y (x = 2v (x + xv (x, y (x = 3v (x + xv (x, einsetzen in die DGL: x 3 (3v + xv 3x 2 (2v + xv + (6x x 3 (v + xv + (x 2 6xv = x 4 e x, sortieren nach v Ableitungen: x 4 v + (3x 3 3x 3 v + ( 6x 2 + 6x 2 x 4 v + (6x x 3 + x 3 6xv = x 4 e x x 4 v x 4 v = x 4 e x v v = e x, (x. Dies ist eine lineare, inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für v. Man kann diese DGL aber auch direkt als lineare DGL 3. Ordnung für v lösen: homogen: Charakteristisches Polynom: λ 3 λ = λ(λ 2 = λ(λ (λ + = λ =, λ 2 =, λ 3 = v h (x = c + c 2 e x + c 3 e x, c i IR, ist allgemeine Lösung der homogenen DGL, partikuläre Lösung: Ansatz: v (x = axe x (einfache Resonanz führt auf v (x = x 2 ex v(x = c + c 2 e x + c 3 e x + x 2 ex, c i IR, ist allgemeine Lösung der v DGL y(x = c x + c 2 xe x + c 3 xe x + x2 2 ex, c i IR, ist allgemeine Lösung der gegebenen DGL in IR. Beispiel n = 2: Gegeben: Lineare DGL 2. Ordnung in Normalform y + p(xy + q(xy = r(x mit p, q, r stetig in (a, b. Sei y bekannt als Lösung der zugehörigen homogenen DGL, also L[y ] =. Ansatz: Reduktion der Ordnung y = vy, y = v y + vy, y = v y + 2v y + vy, 5

23 einsetzen in die DGL: v y + 2v y + vy + p(v y + vy + qvy = r, sortieren nach v-ableitungen: y v + (2y + py v + (y + py + qy v = r. Da L[y ] = y + py + qy = der Faktor von v ist gleich. In Normalform erhalten wir dann die folgende lineare DGL. Ordnung für v v + ( 2 y (x y (x + p(x v = r(x y (x (falls y (x. Lösen wir diese DGL, so erhalten wir für die allgemeine Lösung der homogenen DGL (vgl. S.487 v h(x = c e (2 y + p dx y = c e 2 ln y p(x dx, also v h(x = c p(x dx y 2 e (x Sei v (x eine partikuläre Lösung (kann mit Hilfe der Variation der Konstanten berechnet werden (vgl. S.487, dann gilt v (x = v h (x + v (x ist die allgemeine Lösung der v DGL. Integration ergibt dann die gesuchte Funktion v(x y(x = v(xy (x ist allgemeine Lösung der gegebenen DGL. Beispiel hierzu ( x 2 y 2xy + 2y = 2, y( = y 2x x 2 y + 2 x 2 y = 2 x 2 (Normalform. Für p(x = 2x x 2, q(x = 2 x 2, r(x = 2 x 2 gilt: p, q, r sind stetig in (, mit (,. y (x = x ist Lösung der homogenen DGL. Ansatz: y(x = v(x x führt auf v + (2 x 2x 2 x 2 v = x( x 2. homogen: v h(x = c x 2 e ( 2x x 2 dx = c x 2 e ln( x2 c = x 2 ( x 2, partikulär: v (x c(x = x 2 ( x 2 führt auf c(x = dx = 2x dx = x 2 2 x( x 2 x 2 ( x 2 5

24 v (x = x 2 v c (x = x 2 ( x 2 + x 2 v(x = c x 2 ( x 2 dx + x 2 dx + c 2 ( = c x 2 dx + x 2 dx + x 2 dx + c 2 ( = c x + 2 ln + x + x 2 ln + x x + c 2 + x + x y(x = xv(x = c 2 x + c (x ln x + x ln x + x y(x = c 2 x + c (x ln x +, c, c 2 IR, ist allgemeine Lösung in (,. y( = y( = c + = c =, c 2 IR. In diesem Beispiel wäre es einfacher gewesen, zunächst nur die homogene DGL zu lösen, da man hier sofort eine partikuläre Lösung sehen kann, nämlich y (x. Lineare, homogene DGL 2. Ordnung: Reduktion der Ordnung y + p(xy + q(xy = mit p, q stetig in (a, b. Eine Lösung y sei bekannt, dann führt der Ansatz y 2 (x = v(xy (x auf v + ( 2 y (x y (x + p(x v = (falls y (x mit der Lösung v (x = p(x dx y 2 e. (x Damit erhalten wir eine zweite Lösung y 2 mit p(x dx e y 2 (x = y (x y 2(x dx y, y 2 sind linear unabhängig in (a, b, denn: ( y (x y W (x = det 2 (x y (x y 2(x = y (xy 2(x y (xy 2 (x = y (x(v (xy (x + v(xy (x y (xv(xy (x = v (xy(x 2 = e p(x dx (da e Funktion. Also bilden {y, y 2 } ein Fundamentalsystem in (a, b 52

25 y(x = c y (x + c 2 y 2 (x, c i IR, ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL in (a, b. Beispiel hierzu y 2x x 2 y + 2 y =, (p, q stetig in (,. x2 y (x = x ist Lösung dieser homogenen DGL. Der Ansatz y 2 (x = xv(x führt auf v (x = x 2 e 2x x 2 dx = x 2 e ln( x2 = x 2 ( x 2, (x v(x = x 2 ( x 2 dx = x 2 dx + x 2 dx = x + 2 ln + x x + x y 2 (x = + x ln x ist zweite (von y (x = x linear unabhängige Lösung in (, (Die Stelle x = muß nur für den Lösungsweg ausgeschlossen werden, y 2 ist auch Lösung an der Stelle x =, also in (,. Damit erhalten wir die allgemeine Lösung + x y(x = c x + c 2 (x ln x, c i IR. 2. Eulersche DGL a n x n y (n + a n x n y (n a xy + a y = f(x mit a i IR konstant, a n. Durch die Substitution: x = e t t = ln x, falls x >, oder x = e t t = ln( x, falls x <, also allgemein: t = ln x für x, geht die Eulersche DGL über in eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten für u(t = y(x. Denn: y(x = u(t = u(ln x, x, Differentiation ergibt: y (x = du dt dt dx = u (t x xy (x = u (t, y (x = u (t x 2 u (t x 2 x 2 y (x = u (t u (t, y (x = d ( u u dx x 2 = u u x 3 2(u u x 3 x 3 y = u 3u + 2u, y (4 (x = d ( u 3u + 2u dx x 3 = u(4 3u + 2u x 4 3(u 3u + 2u x 4 x 4 y (4 = u (4 6u + u 6u, usw. Es treten also nur noch konstante Koeffizienten für die Ableitungen von u auf. Also müssen in der Eulerschen DGL die Ausdrücke x k y (k durch die folgenden Ausdrücke ersetzt werden: (t = ln x 53

26 y(x = u(t xy (x = u (t x 2 y (x = u (t u (t x 3 y (x = u (t 3u (t + 2u (t x 4 y (4 (x = u (4 (t 6u (t + u (t 6u (t, usw Ist nun eine Eulersche DGL zu lösen, so gibt es zwei Möglichkeiten: a Durchführung der Substitution t = ln x : Man ersetzt die Ausdrücke x k y (k durch die obigen Ausdrücke und substituiert die rechte Seite der DGL. Dann löst man die lineare DGL mit konstanten Koeffizienten für u(t und macht anschließend die Substitution wieder rückgängig. b Für die homogene DGL führt man den Ansatz y(x = x λ, (λ CI, durch (das entspricht dem Ansatz u(t = e λt für die substituierte DGL mit konstanten Koeffizienten. Dieser Ansatz führt auf das gleiche charakteristische Polynom wie bei der substituierten DGL. Um eine partikuläre Lösung zu bestimmen, kann man bei vielen rechten Seiten einen speziellen Ansatz wählen. Falls dies nicht möglich ist, muß man Variation der Konstanten durchführen. Beispiele. x 2 y + xy + 4y = x 2. a Substitution durchführen: (u u + u + 4u = e 2t u + 4u = e 2t. homogen: λ = λ,2 = ±2i u h (t = c cos 2t + c 2 sin 2t, c i IR. partikuläre Lösung: Ansatz u (t = ae 2t führt auf 4a + 4a = a = u (t = 8 8 e2t u(t = c cos 2t + c 2 sin 2t + 8 e2t, c i IR, y(x = c cos(2 ln x + c 2 sin(2 ln x + x2 8 Lösung für x., c i IR, ist allgemeine b Direkter Ansatz: homogen: Ansatz y(x = x λ, (λ CI y = λx λ, y = λ(λ x λ 2, einsetzen ergibt: λ(λ x λ + λx λ + 4x λ = (λ 2 + 4x λ = λ = für x λ = ±2i y(x = x ±2i = e ±2i ln x = cos(2 ln x ± i sin(2 ln x sind komplexe Lösungen für x > 54

27 y h (x = c cos(2 ln x + c 2 sin(2 ln x, c i IR, ist allgemeine (reelle Lösung der homogenen DGL für x. partikuläre Lösung: Rechte Seite: f(x = x 2 x 2 e 2t Substitution Ansatz, keine Resonanz ae 2t Ansatz y (x = ax 2 y (x = 2ax, y (x = 2a einsetzen 2ax 2 + 2ax 2 + 4ax 2 = 8ax 2 = x 2 a = 8 ax 2 Substitution rückgängig y (x = 8 x2 y(x = c cos(2 ln x + c 2 sin(2 ln x + 8 x2, c i IR, ist allgemeine Lösung für x. 2. x 2 y xy + y = x, (x >. homogen: Ansatz y = x λ führt auf λ(λ λ + = λ 2 2λ + = (λ 2 = λ = ist doppelte Nullstelle y h (x = c x + c 2 x ln x, c i IR, ist allgemeine Lösung der homogenen DGL. Denn: Bei der substituierten DGL mit konstanten Koeffizienten wären u (t = e t und u 2 (t = te t Fundamentallösungen, also sind hier y (x = x und y 2 (x = x ln x Fundamentallösungen. partikuläre Lösung: Rechte Seite: f(x = x x e t Substitution Ansatz, doppelte Resonanz at 2 e t Substitution rückgängig a(ln x 2 x Ansatz y (x = ax(ln x 2 y (x = a((ln x ln x, ( y (x = a 2(ln x x + 2, x ] einsetzen a [(2(ln xx+2x ((ln x 2 x+2(ln xx+x(ln x 2 = 2ax = x a = 2 y (x = 2 x(ln x2, y(x = c x + c 2 x ln x + x(ln x2, 2 c i IR, ist allgemeine Lösung in (,. Wir werden nun noch zwei Methoden behandeln, mit denen man gewisse lineare DGL in einfachere lineare DGL (z.b. lineare DGL mit konstanten Koeffizienten oder Eulersche DGL umwandeln kann. Bei beiden Methoden müssen die gegebenen DGL gewisse Bedingungen erfüllen. Gegeben: Normalform einer linearen DGL 2. Ordnung y + p(xy + q(xy = r(x mit p, q, r stetig in (a, b und p C (a, b. 55

28 3. Ansatz y(x = u(xv(x mit zwei zu bestimmenden Funktionen u, v. Gilt 4q(x p 2 (x 2p (x = konst ( bzw. so führt der Ansatz y(x = u(xv(x mit u(x = e p(x dx 2 = konst x 2 auf die lineare DGL mit konstanten Koeffizienten (bzw. auf die Eulersche DGL für v v + konst v = r(x 4 u(x ( bzw. x 2 v + konst v = x2 r(x 4 u(x Denn: y = uv y = u v + uv, y = u v + 2u v + uv, einsetzen ergibt: (u v + 2u v + uv + p(u v + uv + quv = r, sortieren nach v Ableitungen: uv + (2u + puv + (u + pu + quv = r. Ist der Faktor von v gleich, so erhalten wir Reduktion der Ordnung (vgl. S.499. Ist der Faktor von v gleich, also 2u + pu = mit u, so erhalten wir die lineare DGL (in Normalform ( u v + u + pu u + q v = r u. Da 2u + pu = u = p 2 u u = p 2 u p 2 u = p 2 u + p2 4 u u u + pu u + q = p 2 + p2 4 p2 2 + q = 4 (4q p2 2p = konst ( bzw. 4 v + konst v = r(x ( bzw. x 2 v + konst v = x2 r(x. 4 u(x 4 u(x = konst 4x 2 Da u = p 2 u u(x = e 2 p(x dx. Beispiel x 2 y + xy + (x 2 4 y = x3/2, (x >. Normalform: y + x y + ( 4x 2 y = x. Für p(x = x p C (,., q(x = 4x 2, r(x = x gilt: p, q, r sind stetig in (, und 56

29 Prüfen, ob 4q p 2 2p = konst bzw. = konst x 2 : 4q p 2 2p = 4 x 2 x 2 2( x 2 = 4 = konst. u berechnen: u(x = e p(x dx 2 = e 2 x dx = e 2 ln x =. x DGL für v lösen: v v = x homogen: v h (x = c cos x + c 2 sin x, partikuläre Lösung: v (x = v + v =. x v(x = c cos x + c 2 sin x + ist allgemeine Lösung der v DGL cos x sin x y(x = c + c 2 +, c i IR, ist allgemeine Lösung der gegebenen x x x DGL in (,. Die homogene DGL x 2 y + xy + (x 2 y = dieses Beispiels ist eine 4 Besselsche DGL für λ = 2 Die Fundamentallösungen y (x = J /2 (x = heißen Besselfunktionen für λ = 2 (vgl. später, S π sin x x, y 2 (x = J /2 (x = (vgl. später. 2 π cos x x 4. Substitution t = ϕ(x mit ϕ C 2 (a, b, ϕ in (a, b. Die Substitution t = ϕ(x führt die lineare DGL 2. Ordnung y + p(xy + q(xy = r(x (mit p, q, r stetig in (a, b über in die substituierte DGL für u(t = y(x u + ϕ + pϕ ϕ 2 u + q ϕ 2 u = r ϕ 2 Bei p, q, r, ϕ, ϕ muß die Substitution x = ϕ (t eingesetzt werden. Denn: y(x = u(t = u(ϕ(x y (x = u (tϕ (x, y (x = u (tϕ 2 (x + u (tϕ (x, einsetzen ergibt: u ϕ 2 + u ϕ + pu ϕ + qu = r (Normalform 57

30 u + ϕ + pϕ ϕ 2 u + q ϕ 2 u = r ϕ 2. Diese substituierte DGL ist einfach zu lösen, falls die neuen Koeffizienten konstant sind, also falls ϕ 2 (x = cq(x und ϕ + pϕ cq Wählen wir also t = ϕ(x mit ϕ 2 (x = cq(x = konst. (z.b. c =, falls q > oder c =, falls q <, und gilt dann: ϕ + pϕ cq = konst so führt die Substitution t = ϕ(x auf die substituierte DGL für u(t = y(x u + (konstu + c u = r(ϕ (t cq(ϕ (t Beispiel y + (4x x y + 4x 2 y = 3xe x2, (x >. Für p(x = 4x x, q(x = 4x2, r(x = 3xe x2 gilt: p, q, r sind stetig in (,. Wähle Substitution: ϕ 2 (x = 4x 2, (c = ϕ (x = 2x t = ϕ(x = x 2. Prüfe: ϕ + pϕ cq = 2 + (4x x 2x 4x 2 = 2 = konst. Löse DGL für u: u + 2u + u = 3xe x2 4x 2 = 3 e x2 4 x = 3 e t 4 t (Substitution auf der rechten Seite einsetzen u + 2u + u = 3 e t. 4 t homogen: λ 2 + 2λ + = (λ + 2 = λ = doppelte Nullstelle, u h (t = c e t + c 2 te t ist allgemeine Lösung der homogenen DGL. partikuläre Lösung: ( Variation der Konstanten e t te W (t = det t e t ( te t = ( te 2t + te 2t = e 2t, ( te t W (t, f = det 3 e t 4 t ( te t = 3 te 2t, ( 4 e t W 2 (t, f = det e t = 3 e 2t, t 4 t e t

31 W (t, f c (t = W (t W2 (t, f c 2 (t = W (t dt = 3 4 dt = 3 4 t dt = 2 t3/2, t dt = 3 2 t/2, u (t = 2 t3/2 e t t/2 te t = t 3/2 e t, u(t = c e t + c 2 te t + t 3/2 e t Substitution rückgängig machen: ist allgemeine Lösung der u DGL. y(x = c e x2 + c 2 x 2 e x2 + x 3 e x2, c i IR, ist allgemeine Lösung der gegebenen DGL in (,. Versagen alle bisher behandelten Methoden, so bleibt noch die Möglichkeit, Lösungen mittels eines Potenzreihenansatzes oder eines verallgemeinerten Potenzreihenansatzes zu bestimmen. Das geht natürlich nur dann, wenn sich die Lösung in eine solche Reihe entwickeln läßt, was wir i.f. annehmem wollen. 5. Potenzreihenansatz Gegeben: Normalform einer linearen DGL 2. Ordnung y + p(xy + q(xy = r(x Voraussetzung: p, q, r lassen sich um x = in eine Potenzreihe entwickeln, also: p(x = p n x n, q(x = q n x n, r(x = r n x n. Alle Reihen seien konvergent in U R (. Ansatz für die Lösung: y(x = y (x = y (x = na n x n = a n x n na n x n, n= (da der erste Summand = n(n a n x n 2 = n(n a n x n 2. n=2 (da die ersten beiden Summanden = Einsetzen in die DGL: ( n(n a n x n 2 + na n x n ( p n x n ( + a n x n( q n x n = n=2 n= (n n + 2 (n n + r n x n (Eine Indexverschiebung wird durchgeführt, damit überall die gleiche x Potenz auftritt. 59

32 ( (n + 2(n + a n+2 x n + (n + a n+ x n( p n x n ( + a n x n( q n x n = r n x n. k= Multiplikation mittels des Cauchy-Produkts: { n n (n+(n+2a n+2 + (k+a k+ p n k + a k q n k }x n = Koeffizientenvergleich: (n + (n + 2a n+2 + k= n (k + a k+ p n k + k= r n x n x U R (. n a k q n k = r n, n =,, 2,... Dies ist eine Rekursionsformel zur Berechnung der Koeffizienten a n. a Sind Anfangsbedingungen y( = η, y ( = η gegeben, so gilt wegen des Ansatzes y(x = a + a x + a 2 x , y (x = a + 2a 2 x +..., a = η, a = η Alle anderen Koeffizienten a n lassen sich dann mittels der Rekursionsformel berechnen. b Ist die allgemeine Lösung der DGL gesucht, so kann man a = c, a = c 2 mit c i IR (also beliebig wählen. Dann erhält man mittels der Rekursionsformel die anderen Koeffizienten a n in Abhängigkeit von c, c 2 und damit die allgemeine Lösung. Ist der Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite r(x schwierig oder kann man eine partikuläre Lösung auf einfachem Wege erhalten, so ist es besser, zunächst nur die homogene DGL zu lösen, also zwei Fundamentallösungen der homogenen DGL zu bestimmen: Zu diesem Zweck wählt man: k= a =, a = y (x = + a 2 x 2 + a 3 x a =, a = y 2 (x = x + ã 2 x 2 + ã 3 x y und y 2 sind damit linear unabhängig in U R (, bilden also ein Fundamentalsystem der homogenen DGL, also ist y h (x = c y (x + c 2 y 2 (x, c i IR, die allgemeine Lösung der homogenen DGL. Die Frage, die noch beantwortet werden muß, lautet: Konvergiert die so berechnete Reihe y(x = a n x n in U R (? Diese Frage kann unter den oben gemachten Voraussetzungen mit ja beantwortet werden, denn es gilt der folgende Satz: 5

33 Satz 4.9 : Sind p, q, r in U R ( in eine Potenzreihe um x = entwickelbar, so konvergiert die Reihe y(x = a n x n bei beliebiger Wahl von a, a in U R (. Beweis : Mit Hilfe der Rekursionsformel zeigt man, daß für < ϱ < R gilt: a n+2 ϱ n+2 n + K, (K IR, n N a n ϱ n 2n n Ñ. Ist nun x < ϱ, so gilt: a n x n x ϱ n ϱ n a n 2n x ϱ n n Ñ. Da die Reihe n x ϱ n konvergiert, konvergiert auch die Reihe y(x = Bemerkung : a Sind p, q, r Polynome, so konvergiert die Reihe y(x = a n x n. a n x n in ganz IR. b Oft kann man mit Hilfe der Rekursionsformel den Konvergenzradius der Reihe y(x = a n x n direkt bestimmen, denn falls lim = c, so erhält man für a n+ n a n den Konvergenzradius der Lösungsreihe:,falls c, R = c,falls c =,falls c =. Denn: Für y(x = a n x n erhält man mit Hilfe des Quotientenkriteriums: a n+x n+ a n x n = a n+ a n x c x < x < c, falls c,. Beispiele. Hermitesche DGL y 2xy + λy =, λ IR fest Da p(x = 2x, q(x = λ, r(x = Polynome die Lösungsreihe y(x = a n x n konvergiert in ganz IR. Ansatz: y(x = a n x n y (x = na n x n, 5

34 y (x = n(n a n x n 2, n=2 einsetzen: n(n a n x n 2 n=2 2na n x n + (n n + 2 (n + (n + 2a n+2 x n λa n x n =, (2n λa n x n =, } {(n + (n + 2a n+2 (2n λa n x n =. Koeffizientenvergleich: 2n λ a n+2 = (n + (n + 2 a n, n =,, 2,..., (Rekursionsformel. Wähle a =, a = : a 2n+ = n. a 2 = λ 2, a 4 = 4 λ 3 4 λ λ(4 λ =, 2 4! a 6 = 8 λ λ(4 λ λ(4 λ(8 λ = ! 6! λ(4 λ(8 λ... (4n 4 λ Vermutung: a 2n =, (n. (2n! Beweis per Induktion: n = : a 2 = λ (klar. 2! 2 2n λ n n + : a 2(n+ = (2n + (2n + 2 a λ(4 λ... (4(n + 4 λ 2n = (2n + 2! λ(4 λ(8 λ... (4n 4 λ y (x = x 2n (2n! n= ist eine Fundamentallösung der Hermiteschen DGL. Wähle a =, a = : a 2n = n. a 3 = 2 λ 2 3, a 5 = 6 λ λ (2 λ(6 λ =, 2 3 5! a 7 = λ (2 λ(6 λ (2 λ(6 λ( λ = ! 7! (2 λ(6 λ( λ... (4n 2 λ Vermutung: a 2n+ = (2n +! (Beweis per Induktion wie oben (2 λ(6 λ( λ... (4n 2 λ y 2 (x = x + (2n +! n= ist zweite Fundamentallösung der Hermiteschen DGL. x 2n+, (n. Da p, q, r Polynome Die Potenzreihen von y und y 2 konvergieren in ganz IR. 52,

35 Dies könnte man auch mit Hilfe der Rekursionsformel sehen. Denn es gilt: lim a n+2 = lim n a 2n λ =, also ist der Konvergenzradius der Potenzreihen von y und y 2 : R = n n (n + (n + 2. y, y 2 sind linear unabhängig in IR (per Wahl der Koeffizienten a und a. Also lautet die allgemeine Lösung der Hermiteschen DGL in IR: y(x = c y (x + c 2 y 2 (x, c i IR. Spezialfall: λ = 2n, n IN. In diesem Spezialfall ist jeweils eine Fundamentallösung ein Polynom, denn dann sind die Koeffizienten a k ab einer bestimmten Stelle gleich : λ = y (x =, λ = 2 y 2 (x = x, λ = 4 y (x = 2x 2, λ = 6 y 2 (x = x 2 3 x3, λ = 8 y (x = 4x x4, usw. Normiert man diese Polynome so, daß jeweils der höchste Koeffizient gleich 2 n ist, so erhält man die Hermiteschen Polynome: H (x =, H (x = 2x, H 2 (x = 4x 2 2, H 3 (x = 8x 3 2x, H 4 (x = 6x 4 48x 2 + 2, usw. Diese Polynome genügen der folgenden Beziehung: ( H n (x = ( n e x2 dn dx n e x2. Sie sind orthogonal bzgl. des Skalarprodukts: < f, g >= also gilt < H n, H m >= Beispiel 2. Legendresche DGL e x2 H n (xh m (x dx = für n m. ( x 2 y 2xy + λ(λ + y =, λ IR fest e x2 f(xg(x dx, In Normalform lautet die DGL: y 2x λ(λ + x 2 y + x 2 y =. Die Koeffizientenfunktionen p(x = 2x λ(λ + x 2 und q(x = x 2 lassen sich um x = in Potenzreihen entwickeln mit Konvergenzradius R =. Also konvergiert auch die Lösungsreihe y(x = a n x n für x <. Ansatz: y(x = y (x = a n x n y (x = n(n a n x n 2, n=2 na n x n, 53

36 einsetzen in die gegebene DGL (nicht in die Normalform: n(n a n x n 2 n(n a n x n 2na n x n + λ(λ + a n x n =, n=2 (n n + 2 (n + (n + 2a n+2 x n { } n(n + 2n λ(λ + a n x n, } {(n + (n + 2a n+2 (n 2 + n λ 2 λa n x n =. Koeffizientenvergleich: a n+2 = n2 + n λ 2 λ (n + (n + 2 a n = Da lim a n+2 n a n = lim n Wähle a =, a = : (n λ(n + λ + a n (n + (n + 2, (n, (Rekursionsformel. λ(n + λ + (n = R = (Konvergenzradius. (n + (n + 2 a 2n+ = n. λ(λ + (2 λ(λ + 3 λ(λ + λ(2 λ(λ + (λ + 3 a 2 =, a 4 = = ! λ(2 λ... (2n 2 λ(λ + (λ (λ + 2n Vermutung: a 2n =. (2n! Beweis per Induktion: (analog wie in Beispiel. λ(2 λ... (2n 2 λ(λ + (λ (λ + 2n y (x = x 2n (2n! n= ist eine Fundamentallösung der Legendreschen DGL. Wähle a =, a = : a 2n = n. ( λ(λ + 2 a 3 =, 2 3 (3 λ(λ + 4 ( λ(λ + 2 ( λ(3 λ(λ + 2(λ + 4 a 5 = = ! ( λ(3 λ... (2n λ(λ + 2(λ (λ + 2n Vermutung: a 2n+ = (2n +! (Beweis per Induktion wie oben ( λ(3 λ... (2n λ(λ + 2(λ (λ + 2n y 2 (x = x + x 2n+ (2n +! n= ist zweite Fundamentallösung der Legendreschen DGL. Der Konvergenzradius der Potenzreihen von y und y 2 ist: R = (vgl. oben. y, y 2 sind linear unabhängig in (, (per Wahl der Koeffizienten a und a. Also lautet die allgemeine Lösung der Legendreschen DGL in (, : y(x = c y (x + c 2 y 2 (x, c i IR. 54

37 Spezialfall: λ = n, n IN. In diesem Spezialfall ist jeweils eine Fundamentallösung ein Polynom, denn dann sind die Koeffizienten a k ab einer bestimmten Stelle gleich : λ = y (x =, λ = y 2 (x = x, λ = 2 y (x = 3x 2, λ = 3 y 2 (x = x 5 3 x3, λ = 4 y (x = x x4, usw. Normiert man diese Polynome so, daß sie an der Stelle x = gleich sind, so erhält man die Legendreschen Polynome: (vgl. S.327 L (x =, L (x = x, L 2 (x = 2 (3x2, L 3 (x = 2 (5x3 3x, L 4 (x = 8 (35x4 3x 2 + 3, usw. Diese Polynome sind orthogonal bzgl. des Skalarprodukts: < f, g >= f(xg(x dx (vgl. S Verallgemeinerter Potenzreihenansatz Lassen sich die Koeffizientenfunktionen p, q oder die rechte Seite r der Normalform einer linearen DGL nicht in Potenzreihen um x = entwickeln, so kann man für die gesuchte Lösung einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz versuchen: y(x = a n x n+ϱ = x ϱ a n x n, a, ϱ IR Beispiel Besselsche DGL x 2 y + xy + (x 2 λ 2 y =, (λ fest, x > In Normalform lautet die Besselsche DGL: y + x y + ( λ2 x 2 y =. Die Koeffizientenfunktionen p(x = λ2 und q(x = x x 2 besitzen bei x = eine Singularität, lassen sich also nicht um x = in Potenzreihen entwickeln. Man sagt auch: Die DGL ist singulär bei x =. Wir versuchen deshalb einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz: y(x = a n x n+ϱ, y (x = (n + ϱa n x n+ϱ, y (x = (n + ϱ(n + ϱ a n x n+ϱ 2. Einsetzen in die gegebene DGL (nicht in die Normalform: 55

38 (n + ϱ(n + ϱ a n x n+ϱ + (n + ϱa n x n+ϱ + a n x n+ϱ+2 λ 2 a n x n+ϱ =, { (n + ϱ(n + ϱ + (n + ϱ λ 2} a n x n+ϱ + { (n + ϱ 2 λ 2} a n x n+ϱ + Koeffizientenvergleich: a n 2 x n+ϱ =. n=2 (n n 2 a n 2 x n+ϱ =, n = : (ϱ 2 λ 2 a = ϱ = ±λ (da a nach Voraussetzung, n = : ((ϱ + 2 λ 2 a =, n 2 : ((n + ϱ 2 λ 2 a n = a n 2. Für ϱ = ±λ folgt aus der Gleichung für n = : ((±λ + 2 λ 2 a = (±2λ + a = a = für λ 2. Für λ = 2 a = a beliebig; in diesem Fall wählen wir a =. Also haben wir insgesamt: a =..Fall: ϱ = λ Für n 2 ((n + λ 2 λ 2 a n = a n 2 (n 2 + 2nλa n = a n 2 a n 2 a n = (Rekursionsformel. n(n + 2λ Da a = a 2n+ = n. a a 2 = 2(2 + 2λ = a 4( + λ, a 4 = 4(4 + 2λ a 4( + λ = a 4 2 2( + λ(2 + λ, a 6 = 6(6 + 2λ a 4 2 2( + λ(2 + λ = a ( + λ(2 + λ(3 + λ. ( n a Vermutung: a 2n = 4 n n! ( + λ(2 + λ... (n + λ. Beweis per Induktion: n = : a 2 = a (klar. 4( + λ n n + : a 2(n+ = 2(n + 2(n + + λ ( n+ a = 4 n+ (n +! ( + λ(2 + λ... (n + + λ. n=2 ( n a 4 n n! ( + λ(2 + λ... (n + λ Also gilt: y (x = a x λ ( n a + 4 n n! ( + λ(2 + λ... (n + λ x2n+λ n= ist eine Fundamentallösung der Besselschen DGL. 56