Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme

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1 Kapitel Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in der die Variable x, die gesuchte Funktion y(x) sowie deren Ableitungen vorkommen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung in einer Variable x und einer gesuchten Funktion y(x) ist von der Form F (x, y, y, y,..., y (n) ) = Die höchste auftretende (n-te) Ableitung heißt Ordnung der Differentialgleichung. Beispiel (Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung). (y ) 2 + y 2 = Einen bedeutenden Spezialfall stellt die lineare gewöhnliche Differentialgleichung dar: sie ist linear in y, y, y,... Beispiel (Lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung). y + y = (.) mit Lösung (c, c 2 Konstanten) y = c cos x + c 2 sin x (.2) Bemerkung (Notation). Motiviert von der physikalischen Anwendung heißt die Variable oft t (time) und die gesuchte Funktion x(t); die Ableitung nach t wird mit einem Punkt bezeichnet, ẋ(t). In dieser Schreibweise lauten die obige DGL (.) und ihre Lösung (.2) ẍ + x = x(t) = c cos t + c 2 cos t

2 Fragen, die im Zusammenhang mit DGL auftreten, sind insbesondere nach Existenz, Eindeutigkeit und Gesamtheit der Lösungen. Ein Anfangswertproblem gibt Werte zu einer DGL ausschließlich an derselben Stelle vor, y(x ), y (x ),... bzw. x(t ), ẋ(t ),... Ein Randwertproblem gibt dagegen Werte an verschiedenen Stellen vor, z. B. (x x ) y(x ), y(x ) bzw. x(t ), x(t ) Beispiel (Randwertproblem). y + y = y() = y() = Wir werden sehen, dass y(x) = für alle x. Dieses Randwertproblem hat damit keine nichttriviale Lösung! Wir ändern unsere Fragestellung und wollen jetzt wissen, zu welchen Werten λ C es Lösungen y(x) gibt, die y + λy = erfüllen, und wie alle diese λ n und y n (x) (für n =, 2, 3,...) lauten. Ein Beispiel für eine solche Situation liefert die Quantenmechanik (QM): Für welche Energiewerte hat die Schrödingergleichung eines Elektrons im Wasserstoffatom Lösungen?. Wiederholung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz (Peano, Picard-Lindelöf; ohne Beweis)). Sei y = f(x, y) Wenn f stetig im rechteckigen Gebiet G R 2 ist, sowie in G die Lipschitzbedingung erfüllt, so gibt es für jedes (x, y ) G genau eine Lösung der DGL, die in einer Umgebung von x definiert ist, y(x ) = y erfüllt und stetig von (x, y ) abhängt. Definition (Lipschitzbedingung). Die Funktion f erfüllt im rechteckigen Gebiet G eine Lipschitzbedingung, wenn es ein N > gibt, sodass für alle (x, y ), (x, y 2 ) G f(x, y 2 ) f(x, y ) N y 2 y 2

3 Bemerkung. Für uns genügt die schwächere Version für Existenz und Eindeutigkeit, dass f in einem rechteckigen Gebiet stetig sein und (bei festem x) eine beschränkte partielle Ableitung nach y haben soll, d. h. f (x, y) y < N für N > sein soll. y = y y() = Voraussetzung des Eindeutigkeitssatzes mit y a, a > erfüllt. f(x, y) = y ist stetig, f y = 2 y 2 a ist beschränkt, da a >. Also existiert eine eindeutige Lösung (siehe später). Speziell für y + f(x)y = g(x) lautet der Existenz- und Eindeutigkeitssatz (EES): Wenn f(x), g(x) auf abgeschlossenen Intervall stetig, dann gibt es eine eindeutige Lösung, die die Anfangsbedingung y(x ), x I erfüllt. Schließlich für y = f(x, y, y ) ist der EES wie folgt: Wenn f stetig im zylindrischen Gebiet G = I K 2 (wo I R Intervall, K 2 R 2 Kreisscheibe) ist, und partielle Ableitungen nach y, y besitzt, so existiert eine eindeutige Lösung, die die Anfangsbedingung y(x ) = η y (x ) = η erfüllt. 3

4 .. Typ getrennte Variable y f(x) = g(y(x)) dy dx = f(x) g(y) g(y)dy = f(x)dx anschließend nach y(x) auflösen..2 Lineare DGL. Ordnung y + f(x)y = g(x) y ges (x) = y hom (x) + y spez (x) y hom ist allgemeine Lösung von y + f(x)y = und das ist ja Typ getrennte Variable y spez durch Variation der Konstanten y + y = + x y hom = ke x, k R y spez (x) = k(x)e x k e x ke x + ke x = + x k = ( + x)e x k = ( + x)e x dx = e x + xe x e x + c wählen c = y ges = ke x + x..3 Homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y + a y + a y = a, a R Ansatz: y = e λx λ 2 + a λ + a = λ λ 2 : y hom = c e λx + c 2 e λ2x λ = λ 2 = λ : y hom = c e λx + c 2 xe λx Wenn y, y 2 Lösung der homogenen linearen DGL, so ist selbst für c, c 2 C c e λx + c 2 e λx Lösung 4

5 Wenn λ,2 = α ± iβ: gilt für y = e λx, y 2 = e λ2x : y = y 2 daher sind auch Re y = 2 (y + y) = 2 (y + y 2 ) Im y = 2i (y y) = 2 (y y 2 ) Lösungen mit können wir auch schreiben Re e (α+iβ)x = e α cos βx Im e (α+iβ)x = e α sin βx y hom = e αx (c cos βx + c 2 sin βx) Zur Erinnerung: 2 Lösungen y (x), y 2 (x) sind linear unabhängig (heißen Hauptsystem) Wronski-Determinante verschwindet nicht x W (x) = λ λ 2, y = e λx, y 2 = e λ2x y y 2 y y 2 = y y 2 y y 2 W (x) = e λx λ e λx e λ2x λ 2 e λ2x = eλx e λ2x (λ 2 λ ) x..4 Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y + a y + a y = f(x) y ges = y hom + y spez y spez = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) Die Lösung der homogenen Gleichung y hom = c y + c 2 y 2 kennen wir schon aus Abschnitt..3; y spez bestimmen wir mittels Variation der Konstanten. Man kann durch Einsetzen in inhomogene DGL nicht beide c, c 2 festlegen, daher extra Bedingung notwendig. Die spezielle Lösung ist frei wählbar! Daher folgender Ansatz: rechnet man das durch, ergibt sich: c y + c 2y 2 = y2 f y spez (x) = y W dx + y y f 2 W dx 5

6 y + y = f(x) = λ 2 + =, λ,2 = ±i y = cos x, y 2 = sin x cos x sin x W = sin x cos x = cos2 x + sin 2 x = y spez = cos x sin x dx + sin x cos x dx = y ges = k cos x + k 2 sin x +..5 Allgemeine homogene lineare DGL 2. Ordnung y + f(x)y + g(x)y = Es existieren 2 l.u. Lösungen, aber es gibt kein allgemeines Verfahren zu deren Bestimmung. Manchmal ist eine Lösung y (x) bekannt (z.b. durch Erraten), dann kann man dazu eine l.u. Lösung y 2 (x) bestimmen. Betrachten zunächst W, leiten ab und setzen für y die DGL ein: W = y y 2 y 2 y W = y y 2 + y y 2 y 2y y 2 y = y y 2 y 2 y = y ( fy 2 gy 2 ) y 2 (fy gy ) f(y y 2 y 2 y ) = fw dw W = fdx ln W = fdx W = e R fdx Trick: ( y2 ) = y 2y y 2 y y y 2 y 2 W = y y 2 dx W y 2 (x) = y (x) dx y 2 = W y 2 y 2x x 2 y + 2 y =, x < x2 Durch Erraten: y (x) = x 6

7 Probe: y = y = 2x x x 2 x = f(x) = 2x x 2 W (x) = e R 2x x 2 dx = e ln( x2) = x 2 y 2 = x =... x 2 x 2 dx = x( x + 2 ln + x x ) = + x 2 ln + x x..6 Allgemeine lineare inhomogene DGL 2. Ordnung y + f(x)y + g(x)y = h(x) y ges = y hom + y spez Die homogene Lösung wird wie zuvor (Abschnitt..5) bestimmt, die spezielle mittels Variation der Konstanten..7 Potenzreihenentwicklung y2 h y ges = k y + k 2 y 2 y W dx + y y h 2 W dx Wir betrachten y + f(x)y + g(x)y = und suchen bei x = x näherungsweise Lösungen Definition. Stelle.. f(x), g(x) können bei x analytisch ins Komplexe fortgesetzt werden, x heißt reguläre 2. Gilt dies nur für (x x )f(x) und (x x ) 2 g(x), heißt x reguläre Singularität 3. Sonst heißt x singuläre Stelle Es gilt:. Ist x reguläre Stelle, so führt y(x) = a n(x x ) n zu zwei l. u. Lösungen 7

8 2. Ist x reguläre Singularität, so führt der Frobeniusansatz y(x) = a n(x x ) ϱ+n, a zu mindestens einer Lösung y (x). Der Index ρ wird als Wurzel deiner parametrischen Gleichung erhalten. Wir bezeichnen diese beiden Wurzeln mit ρ, ρ 2. (a) Wenn ρ ρ 2 / Z, so liefern y (x) = a n(x x ) ρ+n und y 2 (x) = a n(x x ) ρ2+n zwei l. u. Lösungen. (b) Wenn ρ ρ 2 Z (also insbesondere ρ = ρ 2 ), so liefert y (x) = a n(x x ) ρ+n eine Lösung, die zweite dazu l. u. Lösung wird mit der Wronskideterminante gefunden. Es erbit sich dabei y 2 (x) = cy (x) ln(x x ) + a n (x x ) ρ2+n y + x y + x( x) y = x... f(x) x( x)... g(x) Es ist x = eine reguläre Singularität, weil x x = x 2 x( x) = x x bei x = analytisch fortsetzbar ist ( z z hat keinen Pol bei z = ). Ansatz: y = y = y = a n x ϱ+n a n (ϱ + n)x ϱ+n a n (ϱ + n)(ϱ + n )x ϱ+n 2 am bestem in folgende Umformung einsetzen x( x)y + ( x)y + y = { an (ϱ + n)(ϱ + n )(x x 2 )x ϱ+n 2 + a n (ϱ + n)( x)x ϱ+n + a n x ϱ+n} = und sortieren nach Potenzen von x: 8

9 { x ϱ+n (ϱ + n)(ϱ + n + ) + x ϱ+n [ (ϱ + n)(ϱ + n ) (ϱ + n) + ] } = a n (ϱ + n) 2 x ϱ+n [ + a n (ϱ + n) 2 ] x ϱ+n = Die niedrigsten Potenzen von x treten in den Summanden mit n = auf, und zwar in der ersten Summe bei x ϱ : a ϱ 2 Nun ist lt. Vor. a ϱ 2 = ϱ = (bei 2 Lösungen würden 2 Fälle unterschieden) a n n 2 x n + a n ( n 2 )x n = Wieder Koeffizientenvergleich: x : a = also keine Aussage, setzen mit dem nächsten fort x : a + a = a = a x : 4a 2 + a ( ) = a 2 = x 2 : 9a 3 + a 2 ( 4) = a 3 = könnte man noch fortsetzen, durch Induktionsbeweis Regelmäßigkeit zeigen,... y(x) = a ( x) y = x Potenzreihe hat für 2. Lösung nichts gebracht, aber wir können sie mit der Wronskideterminante bestimmen Bemerkung. Warum muss bei Frobeniusansatz Bedingung für reguläre Singularität erfüllt sein? Wäre z.b. g(x) = c 3 x 3 + k= 2 c kx k mit c 3, dann folgt nach Einsetzen y(x) = a n x ϱ+n mittels Koeffizientenvergleich, dass c 3 = Widerspruch!! Bemerkung. Einsetzen der Frobeniusreihenlösung y (x) in die Wronskideterminantenformel führt allgemein zu y 2 (x) = u(x) ln x + v(x), wo u(x), v(x) Frobeniusreihen sind.2 Randwertprobleme bei gewöhnlichen DGL 2. Ordnung y + f(x)y + g(x)y = h(x) 9

10 Randbedingung: α y(a) + β y (a) = γ α 2 y(b) + β 2 y (b) = γ 2 a, b, α, α 2, β, β 2, γ, γ 2 R, a b Spezialfälle: β = β 2 = Dirichlet sches Randwertproblem α = α 2 = Neumann sches Randwertproblem h(x) =, γ = γ 2 = homogenes Randwertproblem sonst inhomogenes Randwertproblem Bei homogenen RWP gibt es immer die triviale Lösung y(x) ; wir nennen ein homogenes RWP lösbar, wenn es ein y(x) gibt. Im Gegensatz zum AWP ist inhomogenes RWP i. A. nicht immer lösbar y + y = y() = y() = y = e µx µ 2 + = µ = ±i y() = = c y = c cos x + c 2 sin x y = c 2 sin x y() = = c 2 sin }{{} c 2 = y(x) y + y = y() = y(π) =

11 Mittels Variation der Konstanten (W =, f = ): y = c cos x + c 2 sin x + y() = = c + y = cos x + c 2 sin x + y(π) = = ( ) + c 2 + Einsetzen der Randbedingungen führt also auf den Widerspruch = 2; es gibt daher keine Lösung. y + λy = λ R +, y() = y() = y = e µx µ 2 + λ = µ = ±i λ y = c cos λx + c 2 sin λx y() = = c y = c 2 sin λx y() = = c 2 sin λ λ = nπ c 2 λ n = (nπ) 2 y n = c sin nπx mit n =, 2, 3,.... Die unbestimmte Konstante kann durch eine Normierungsbedingung festgelegt werden, z.b.: c 2 y 2 n(x)dx = sin 2 nπxdx = c2 nπ c = 2 nπ sin 2 ydy = c2 2 wobei y = nπx benutzt wurde..2. Sturm-Liouville sches Randwertproblem (p(x)y ) + q(x)y + λr(x)y =

12 α y(a) + β y (a) = α 2 y(b) + β 2 y (b) = p, q, r reelle stetige Funktionen und überdies ist p(x), r(x) positiv x Ges.: Eigenwerte λ n und zugehörige Eigenfunktionen y n (x) y + λy = y() = y() = p(x) = r(x) =, q(x) =, a = b = Es gilt, ohne Beweis, erläutert am Beispiel: Satz. Eigenwerte sind reell, streng monoton steigend, λ n Bsp: λ n = (nπ) 2, n =, 2, 3,... Eigenfunktionen sind bis auf konstanten Faktor eindeutig Bsp.: y n = c sin nπx EF y n hat in (a, b) n Nullstellen Bsp.: y 3 = c sin 3πx Abbildung.: y(x) = sin 3πx EF bilden bilden (bei geeigneter Normierung) ein Orthonormalsystem mit Belegfunktion r(x) b Bsp.: c = 2, y n = 2 sin mπx a r(x)y n (x)y m (x)dx = δ nm 2

13 Sei n m: 2 sin nπx 2 sin mπxdx = cos(n m)πx cos(n + m)πxdx = (n m)π sin(n m)πx (n + m)π sin(n + m)πx = n = m: 2 sin 2 nπx dx = 2 2 ( cos 2nπx)dx = EF y n bilden vollständiges Orthonormalsystem. Das bedeutet insbesondere: Ist f stückweise stetig differenzierbar in (a, b) und erfüllt die Randbedingungen, so konvergiert mit f N (x) := c n := gleichmäßig gegen f (siehe auch Abb..2) b a N c n y n (x) r(x)f(x)y n (x)dx f(x) fi(x) fj(x) Abbildung.2: Gleichmäßige Konvergenz von f N (x) gegen f(x) (i < j) Ist f Lebesgue-quadratintegrierbar (siehe??) in (a, b), so konvergiert f N gegen f b lim N a r(x) f(x) f N (x) 2 dx = im quadratischen Mittel Beispiel: Fourierentwicklung f() = f() = stetig differenzierbar f N (x) = c n = N c n 2 sin nπx f(x) 2 sin nπx dx 3

14 .2.2 Verallgemeinerung der Randbedingungen Entweder Stetigkeit, oder Endlichkeit, oder höchstens Anwachsen wie Polynom bei a oder b. Auch ein unendlich großes Intervall (z.b. a =, b = ) ist zugelassen..2.3 Wichtige Beispiele Legendre-Polynome P n (x) (( x 2 )y ) + λy =, x [, ] Randbedingung: y(±) < ausschreiben und ausdifferenzieren: ( x 2 )y 2xy + λy = Ohne Beweis oder Herleitung: λ = n(n + ), n =,, 2, 3,... y n... Legendre-Polynome P = P = x P 2 = 2 (3x2 ) DGL kommt bei Beschreibung von Membranen vor. DGL muss gelöst werden und Lösung muss Randbedingung genügen Bemerkung. DGL hat an sich zwei l. u. Lösungen, durch Randbedingung bleibt jedoch nur eine übrig. Besselfunktion J n (xy ) n2 y + λxy, x [, ] x n =,, 2, 3,... fix vorgegeben y() =, y() < mittels ξ = λx und y(x) := J(ξ) transformieren wir (siehe Übungen) ξ 2 J (ξ) + ξj (ξ) + (ξ 2 n 2 )J(ξ) = J( λ) =, J() < λ n,m = k 2 n,m, k n,m... Nullstellen von J J n Besselfunktion, y n (x) = J n (k n,m x) Besselfunktionen hängen mit Kugelfunktionen zusammen Bemerkung. Die zweite l. u. Lösung erfüllt die Randbedingung y() < nicht. 4

15 Hermite-Polynome H n (e x2 y ) + λe x2 y =, y R y darf in höchstens wie endliche Potenz ansteigen (d.h. y ist Polynom) Wir schreiben die Gleichung um: y 2xy + λy = λ n = 2n, n =,, 2,... y n... Hermitepolynome H n H = H = 2x H 2 = 4x 2 2 Bemerkung. Die zweite l. u. Lösung der DGL steigt nicht-polynomisch an. Laguerre-Polynome L n (xe x y ) + λe x y =, x [, ] y() < y darf in höchstens wie endliche Potenz ansteigen (d.h. y ist Polynom) Wir schreiben wieder die Gleichung um: xy + ( x)y + λy = λ n = n y n... Laguerre Polynome L n L = L = x L 2 = 2x + 2 x2 Die Laguerre-Polynome kommen in der Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms vor. Bemerkung. Auch hier ist die zweite Lösung der DGL kein Polynom. [] Arfken, G.: Mathematical Methods for Physicists. Addison-Wesley, 98. 5