3 Lineare Differentialgleichungen

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1 3 Lineare Differentialgleichungen In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Theorie linearer Differentialgleichungen Sie werden zahlreiche Parallelen zur Theorie linearer Gleichungssysteme feststellen, die bereits weiter oben angeklungen sind 31 Allgemeine lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Definition 31 Seien I R ein Intervall und A : I L(R n eine stetige Abbildung (L(R n ist mit einer Operatornorm versehen Diese Bedingung ist äquivalent zur Stetigkeit aller Einträge a ij (1 i,j n der Matrix A Dann heißt y = A(xy (31 eine homogene lineare Differentialgleichung bzw ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem Ist b : I R n eine stetige Funktion, so heißt y = A(xy + b(x (32 eine inhomogene lineare Differentialgleichung und (31 heißt die zu (32 gehörende homogene Differentialgleichung Analog definiert man komplex-lineare Differentialgleichungen mit stetigen Funktionen A : I L(C n und b : I C n Wegen C n = R 2n lassen sich diese auf den reellen Fall zurückführen Im Folgenden steht K für R oder C Satz 32 Sei I R ein offenes Intervall und seien A : I L(K n und b : I K n stetige Funktionen Dann gibt es zu jedem x I und y K n genau eine Lösung ϕ : I K n der Differentialgleichung y = A(xy + b(x mit ϕ(x = y (33 Bei linearen Gleichungen kann man also Lösungen auf dem gesamten Intervall I finden (globale Lösungen, was man für allgemeinere Gleichungen der Gestalt y = f(x,y nicht erwarten kann Beweis Man kann sich ähnlich wie im Beweis von Satz 11 klarmachen, dass es genügt, die Aussage auf jedem kompakten Intervall J I, das x enthält, zu zeigen Auf J erfüllt die Funktion f : J K n K n, (x,y A(xy + b(x 31

2 eine Lipschitzbedingung Für (x,y 1, (x,y 2 J K n ist nämlich f(x,y 1 f(x,y 2 2 = (A(xy 1 + b(x (A(xy 2 + b(x 2 = A(x(y 1 y 2 2 A(x y 1 y 2 2, und die stetige Funktion x A(x nimmt auf der kompakten Menge J ihr Maximum L an Wie im Beweis von Satz 16 findet man für den Operator B : C(J C(J, (By(x := y + die Abschätzung B n u B n v Ln J n u v, n! x (A(ty(t + b(tdt wobei J für die Länge des Intervalles J steht Da die Reihe (L J n n= n! konvergiert, folgt die Behauptung wie im Beweis von Satz 16 mit dem Fixpunktsatz von Banach-Weissinger Man beachte auch, dass man die Lösung von (33 wieder durch Picard- Iteration gewinnen kann 32 Die homogene lineare Differentialgleichung Wir gehen nun genauer auf die Struktur der Lösungsmenge der homogenen linearen Differentialgleichung y = A(xy ein Satz 33 Seien I R ein Intervall und A : I L(K n stetig Weiter bezeichne L h die Menge aller Lösungen ϕ : I K n der homogenen Gleichung y = A(xy Dann ist L h ein n-dimensionaler Vektorraum über K, und die folgenden Aussagen für Funktionen ϕ 1,,ϕ m L h sind äquivalent: (a Die Funktionen ϕ 1,,ϕ m sind linear unabhängig (b Es gibt ein x I so, dass die Vektoren ϕ 1 (x,,ϕ m (x K n linear unabhängig über K sind (c Für jedes x I sind die Vektoren ϕ 1 (x,,ϕ m (x K n über K linear unabhängig Beweis Wir zeigen zunächst, dass L h ein Untervektorraum des Vektorraumes aller Abbildungen I K n ist Offenbar ist die Nullfunktion eine Lösung der 32

3 homogenen Gleichung Weiter: sind y,z L h, so ist y = Ay und z = Az und folglich (y z = y z = Ay Az = A(y z, dh y z L h Schließlich ist für λ K und y L h auch (λy = λy = λay = A(λy, dh λy L h Nun zeigen wir die Äquivalenz der Aussagen (a, (b und (c Die Implikation (c (b ist offensichtlich Sind weiter die Funktionen ϕ 1,,ϕ m linear abhängig, so sind auch die Vektoren ϕ 1 (x,,ϕ m (x linear abhängig Das beweist die Implikation (b (a und es verbleibt zu zeigen, dass (a (c Seien ϕ 1,,ϕ m L h linear unabhängig Wäre (c nicht erfüllt, so gäbe es ein x I und Zahlen c 1,,c m K, die nicht alle Null sind mit c 1 ϕ 1 (x + + c m ϕ m (x = Wir setzen ϕ := c 1 ϕ c m ϕ m Dann ist ϕ eine Lösung der homogenen Gleichung A(xy = y mit ϕ(x = Nach der Eindeutigkeitsaussage von Satz 32 ist ϕ die Nullfunktion Dies widerspricht der linearen Unabhängigkeit der Funktionen ϕ 1,,ϕ m Schließlich zeigen wir noch, dass diml h = n Die Implikation (a (b zeigt, dass dim L h dim K n = n Für den Beweis der umgekehrten Ungleichung seien e 1,,e n die kanonischen Basisvektoren von K n Nach Satz 32 gibt es Funktionen ϕ 1,,ϕ n L h mit ϕ j (x = e j Die Implikation (b (a zeigt die lineare Unabhängigkeit der Funktionen ϕ 1,,ϕ n Also ist diml h n Definition 34 Unter einem Lösungsfundamentalsystem (oder auch Integralbasis der Differentialgleichung y = A(xy versteht man eine Basis ϕ 1,,ϕ n des Vektorraumes L h ihrer Lösungen Seien ϕ 1,,ϕ n Lösungen von y = A(xy Schreibt man ϕ i = ϕ 1i ϕ ni, i = 1,,n, so ist Φ := (ϕ 1,,ϕ n eine n n-matrix ϕ 11 ϕ 1n Φ =, ϕ n1 ϕ nn 33

4 deren Spalten die Lösungen ϕ i sind Die Zahl (det Φ(x heißt Wronski-Determinante von ϕ 1,,ϕ n in x Nach Satz 33 sind die Lösungen ϕ 1,,ϕ n genau dann linear unabhängig, wenn (det Φ(x für ein x I Die Implikation (b (c in Satz 33 zeigt, dass dann automatisch (det Φ(x für alle x I ist Ist ϕ 1,,ϕ n ein Lösungsfundamentalsystem der Gleichung y = A(xy, so läßt sich jede Lösung ϕ L h schreiben als In Matrixschreibweise bedeutet das ϕ = c 1 ϕ c n ϕ n mit c i K ϕ = Φc mit c = c 1 c n Wählt man die ϕ i so, dass ϕ i (x = e i, so ist weiter ϕ(x = Φ(x c = c, K n dh die Anwendung dieses Φ auf die rechte Seite der Anfangsbedingung liefert eine Lösung ϕ := Φc von y = A(xy mit ϕ(x = c Schließlich ist Φ = (ϕ 1,,ϕ n = (Aϕ 1,,Aϕ n = AΦ, dh Φ ist eine Lösung der Differentialgleichung im Raum der n n-matrizen Y = A(xY in G = I L(K n Beispiel A Wir betrachten das Differentialgleichungssystem y 1 = ωy 2 y 2 = ωy 1 mit I = R, K = R und n = 2 Wir schreiben dieses System als ( ω y = A(xy mit A(x = und y = ω Man rechnet leicht nach, dass ( cos ωx ϕ 1 (x = sin ωx und ϕ 2 (x = ( sin ωx cos ωx ( y1 Lösungen sind Diese Lösungen sind linear unabhängig, denn für ( ( cos ωx sin ωx 1 Φ(x = ist det Φ( = det = 1 sin ωx cosωx 1 (und tatsächlich ist auch det Φ(x = (cosωx 2 + (sinωx 2 = 1 für alle x R 34 y 2

5 33 Die inhomogene lineare Differentialgleichung Wir beginnen wieder mit einer Beschreibung der Struktur der Lösungsmenge Satz 35 Seien I R ein Intervall und A : I L(K n, b : I K n stetige Funktionen Wir bezeichnen die Lösungsmenge der homogenen Gleichung y = A(xy bzw der inhomogenen Gleichung y = A(xy + b(x mit L h bzw L i Dann gilt für jedes ψ L i die Beziehung L i = ψ + L h Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung erhält man also durch Addition einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung Beweis Sei ψ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung Für jedes ϕ L h ist dann (ψ + ϕ = ψ + ϕ = Aψ + b + Aϕ = A(ψ + ϕ + b, dh ψ + ϕ L i, woraus ψ + L h L i folgt Ist umgekehrt ψ L i, so ist (ψ ψ = ψ ψ = (Aψ + b (Aψ + b = A(ψ ψ, dh ψ ψ L h und L i ψ + L h Der folgende Satz liefert genau wie im Eindimensionalen (Satz 23 ein Verfahren zur Konstruktion der Lösungen von inhomogenen Gleichungen Satz 36 (Variation der Konstanten Es gilt unter den Voraussetzungen von Satz 35: Ist Φ = (ϕ 1,,ϕ n ein Lösungsfundamentalsystem der homogenen Gleichung y = A(xy, so erhält man eine Lösung ψ : I K n der inhomogenen Gleichung y = A(xy + b(x durch den Ansatz ψ(x = Φ(xc(x Dabei ist c : I K n eine differenzierbare Funktion mit c (x = Φ(x 1 b(x, dh c(x = c(x + x Φ(t 1 b(tdt Beweis Ist c = Φ 1 b, so folgt mit der Produktregel also ψ L i ψ = Φ c + Φc = Φ c + ΦΦ 1 b = AΦc + b = Aψ + b, Beispiel B Wir betrachten das Differentialgleichungssystem y 1 = y 2, y 2 = y 1 + x, 35

6 dh y = A(xy + b(x mit ( 1 A(x = 1 und b(x = ( x Nach Beispiel A ist ( cos x sin x Φ(x = sin x cosx ein Lösungsfundamentalsystem des homogenen Systems y = A(xy Mit ( ( cos x sin x x sin x Φ(x 1 = und Φ(x 1 b(x = sin x cos x x cos x und Satz 36 folgt also c(x = c( + Mit partieller Integration findet man also t sin t dt = t cos t x + t cos t dt = t sin t x c(x = c( + ( t sin t t cos t dt cos t dt = x cos x + sinx, sin t dt = x sin x + cos x 1, ( x cos x + sinx x sin x + cos x 1 Eine spezielle Lösung für c( = ( 1 ist daher ( ( ( cos x sin x x cos x + sin x x ψ (x = Φ(xc(x = =, sin x cos x x sin x + cos x 1 und die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet ( ( ( x cos x sin x ψ(x = + c 1 + c 2 1 sin x cosx (( ( c1 x cos x + sinx = Φ(x + x sin x + cos x mit Konstanten c 1,c 2 K c 2 36

7 34 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Wir übertragen nun die bewiesenen Resultate über lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung auf lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Definition 37 Seien I R ein Intervall und a,,a n 1 : I K stetige Funktionen Dann heißt y (n + a n 1 (xy (n a 1 (xy + a (xy = (34 eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Ist b : I K eine stetige Funktion, so heißt y (n + a n 1 (xy (n a 1 (xy + a (xy = b(x (35 eine inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung, und (34 heißt die zugehörige homogene Gleichung Satz 38 Mit den Bezeichnungen aus Definition 37 gilt: (a Die Menge L h aller Lösungen ϕ : I K der homogenen Differentialgleichung (34 bildet einen n-dimensionalen Vektorraum über K (b Bezeichnet L i die Menge aller Lösungen ψ : I K der inhomogenen Gleichung (35, so gilt L i = ψ + L h für jedes ψ L i (c Die Lösungen ϕ 1,,ϕ n der homogenen Gleichung (34 sind genau dann linear unabhängig über K, wenn für ein und damit für alle x I die Wronski-Determinante ϕ 1 (x ϕ 2 (x ϕ n (x ϕ 1(x ϕ 2(x ϕ n(x det ϕ (n 1 1 (x ϕ (n 1 2 (x ϕ n (n 1 (x von Null verschieden ist Beweis Die Differentialgleichung (35 ist (vgl Abschnitt 12 äquivalent zum inhomogenen linearen Differentialgleichungssystem y = y 1 y 1 = y 2 (36 y n 2 y n 1 = y n 1 = a (xy a 1 (xy 1 a n 1 (xy n 1 + b(x, 37

8 wobei der Lösung ϕ : I K von (35 die Lösung ϕ ϕ f = : I Kn ϕ (n 1 von (36 entspricht Entsprechendes gilt für die homogenen Gleichungen Damit folgt die Behauptung aus den Sätzen 33 und 35 Definition 39 Eine Basis des Lösungsraumes L h heißt Lösungsfundamentalsystem Beispiel C Die Gleichung y 1 2x y + 1 2x2y = auf (, (37 hat ϕ 1 (x = x und ϕ 2 (x = x als Lösungen (Nachrechnen! Die zugehörige Wronski-Determinante ist ( ( ϕ1 (x ϕ det 2 (x x x x ϕ 1(x ϕ = det 1 = 2(x 1 2 x 2 x x = 2 für alle x (, Folglich ist ϕ 1,ϕ 2 ein Lösungsfundamentalsystem, und die allgemeine Lösung hat die Gestalt mit c 1,c 2 R ϕ(x = c 1 ϕ 1 (x + c 2 ϕ 2 (x = c 1 x + c 2 x Verfahren der Ordnungsreduktion Wie findet man Lösungen von Differentialgleichungen wie (37? Das im Folgenden beschriebene Verfahren der Ordnungsreduktion nach d Alambert ist anwendbar, wenn eine Lösung der Gleichung bekannt ist (die man wie zb die Lösung ϕ(x = x von (37 durch Erraten finden kann Sei etwa ϕ eine bekannte Lösung der Differentialgleichung y + a(xy + b(xy = (38 Wir suchen eine weitere Lösung ψ in der Form ψ = ϕu mit einer zu bestimmenden Funktion u Dann ist ψ = ϕ u + ϕu und ψ = ϕ u + 2ϕ u + ϕu 38

9 und folglich ψ + aψ + bψ = ϕ u + 2ϕ u + ϕu + a(ϕ u + ϕu + bϕu = (ϕ + aϕ + bϕu + ϕu + (2ϕ + aϕu = ϕu + (2ϕ + aϕu Wir sehen: Ist ϕ(x auf einem Intervall I, so löst ψ genau dann die Gleichung (38, wenn u die Gleichung u + (2 ϕ ϕ + au = (39 löst Nach der Substitution u = v geht (39 aber in eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung über, die wir in Abschnitt 22 gelöst haben Fassen wir zusammen Satz 31 Seien I R ein Intervall und a,b : I K stetige Funktionen Weiter sei ϕ : I K eine Lösung der Differentialgleichung (38 mit ϕ(x für alle x I Ist u eine Lösung der Gleichung (39, so ist auch ψ(x := ϕ(xu(x eine Lösung von (38 Die Lösungen ϕ und ψ sind linear unabhängig, wenn die Funktion u nicht konstant ist Ganz analog führt der Produktansatz ψ := ϕu auch zu einer Reduktion der Ordnung bei der allgemeineren Gleichung (34 Beispiel D Wir kennen (zb durch Erraten die Lösung ϕ(x = x der Gleichung (37 auf (, Der Ansatz ψ(x = xu(x liefert eine zu ϕ linear unabhängige Lösung von (37, wenn wir eine nichtkonstante Lösung von finden Sei u = v Die Gleichung u + (2 ϕ ϕ + au = u + ( 2 x 1 2x u = v + ( 2 x 1 2x v = v + 3 2x v = hat nach Satz 22 die allgemeine Lösung ( ( v(x = c exp 3 dt = c exp ( 32 2t ln x = cx 3/2 1 Für c = 1 2 ist u(x = x 1/2 eine Stammfunktion von v(x, und daher ist ψ(x = xu(x = x eine weitere, zu ϕ(x = x linear unabhängige Lösung 39