K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung SS 18: Woche vom

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Catharina Simen
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1 Übungsaufgaben 3. Übung SS 18: Woche vom Partielle DGL IV (PDGL 2. O.: Normalform, Separ.-ans.) Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS18).html 1.) Hinweis zum Übungs- und Begleitheftheft PDGL: kann beides erworben werden bei: Copy Cabana

2 Wdhlg.: Grundform 3 Haupttypen (PDGL 2.O.) parabolisch: u t u xx +... = f(x, t), (allg.: u t x u) hyperbolisch: u tt u xx +... = f(x, t), (allg.: u tt x u) elliptisch: u xx + u yy +... = f(x, y), (allg.: u +...) Physikalisch-technische Prozesse parabolisch: Wärmeleitgleichung, Diffusionsgleichung instationär hyperbolisch: instation. Schwingungsgleichung: elastische Saite, Schall, elektromagnetische Felder,... elliptisch: Wärmeleitgleichung, Diffusionsgleichung stationär, Schwingungsgleichung stationär (zeitharmonisch), lineare Elastizität (statisch)

3 Wdhlg.: Physikalische Grundphänomene parabolisch: Maximumprinzip, unendlich glättend, augenblickliche Fernwirkung hyperbolisch: endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenfronten, unstetige Lösungen ( Transport und Entstehung von Schocks bzw. Singularitäten ) elliptisch: homogene Laplacegleichung (z.b. elektrostatisches Potential) ebenfalls unendlich glättend Multiskaleneffekte: Navier-Stokes-Gleichung ( formal parabolisch) - reicht abhängig von Reynoldszahl von hochviskosen Kriechströmungen ( rein parabolisch) bis zu Hochgeschwindigkeitsströmungen (Windkanal) und bis zu Turbulenz (Wirbelsturm) (de facto hyperbolisch)

4 Die Wärmeleitungsgleichung (parabol.) Unendlich langer, dünner Stab, homogen, isotrop (k = λ cρ = const.), θ - Temperatur (zur Zeit t am Ort x), f(x, t) - Wärmezuführung Die Vorgabe einer Anfangstemperaturverteilung θ 0 (x) legt (zusammen mit der PDGL) die Lösung fest (AWA). θ t [kθ x ] x = f(x, t), θ = θ(x, t), θ(x, 0) = θ 0 (x), x R Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung H(x, t) = 4πkt 1 e x2 /4kt, x R, t > 0. θ(x, t) = θ(x, t) = H(x y, t)θ 0 (y)dy + R } {{ } Anteil AB t H(x y, t s)f(y, s)dsdy 0 } R {{ } Anteil Quelle

5 Drei Hauptphänomene (mathematische Eigenschaften): Maximumprinzip (physikalisch wichtig) Glättung von (unstetigen) Anfangstemperaturprofilen (sofort für t > 0 - bei f 0) unendliche Fernwirkung (unkritisch für technische Anwendg. im Normalbereich, besonders auf endlichen Bereichen) Diffusionsprozesse haben gleiche PDGL Die Schwingungsgleichung (hyperbol.) Lange, dünne (elastische) Saite (homogen, isotrop), u(x, t) - Auslenkung (Zeit/Ort) Anfangswertproblem (AWP): u tt = c 2 u xx, u(x, 0) = h 1 (x), u t (x, 0) = h 2 (x) h 1 (x): Anfangsauslenkung; h 2 (x): -Geschwindigkeit

6 Die D Alembertsche Lösungsformel Keine Erregung durch Quellen/Senken, nur Transport der Anfangssituation : AWA: u tt = c 2 u xx, u(x, 0) = h 1 (x), u t (x, 0) = h 2 (x) u(x, t) = h 1(x + ct) + h 1 (x ct) 2 Speziell für u t 0, u(x, 0) = h(x): + 1 2c x+ct x ct h 2 (y)dy u(x, t) = 1 2 [h(x + ct) + h(x ct)] Interpretation: 2 (mit Geschwindigkeit c) nach rechts/links laufende Wellen der Anfangsauslenkung Charakteristischer Informationskegel : Erhaltung von Wellenfronten; endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.

7 Randwertaufgaben für die Laplacegleichung Geometrie: Gebiet Ω mit Rand Ω = Γ; Bsp.: Einheitskreis Ω = {(x, y) x 2 + y 2 < 1}, Γ = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} 1. RWA (Dirichlet-Problem) u = u xx + u yy = f, x Ω, u(x) = g(x), x Γ 2. RWA (Neumann-Problem) u = f, x Ω, 3. RWA (Robin-Problem) u n = u n = g(x), x Γ u = f, x Ω, α u + βu = g(x), x Γ n Möglich: Auf Teilbereichen des Randes jeweils andere Randbedingung vorgeben.

8 Separationsansätze für PDGL Wärmeleitung: θ t = kθ xx, θ(x, t) = T (t) X(x) θ(x, t) = ν>0 e ν2 kt [A ν cos νx + B ν sin νx] Wellengleichung: u tt = a 2 u xx, u(x, t) = T (t) X(x) u(x, t) = ν>0[a ν cos νat + B ν sin νat][c ν cos νx + D ν sin νx] u = 1 r u = u xx + u yy = 0, in Polarkoordinaten: u [r r r ] + 1 r 2 u φφ = u rr + 1 r u r + 1 r 2 u φφ = 0 u(r, φ) = λ>0[cr λ + Dr λ ][A cos(λφ) + B sin(λφ)] Weitere partikuläre Lösungen für ν = λ = 0 sind

9 Separationsansätze (Fortsetzg.) Wärmeleitung: θ 0 (x, t) = 1 (A + Bx), Wellengleichung: u 0 (x, t) = (C + Dt) (A + Bx), A, B R A, B, C, D R Laplacegleichung: u 0 (r, φ) = (A ln r+b) (C+Dφ), A, B, C, D R Häufig nicht relevant sind Lsg. zu (z.b.) T /kt = X /X = +ν 2 : Wärmeleitung: θ (x, t) = ν>0 e +ν2 kt [A ν e νx + B ν e νx ] bzw. analog nicht relevant sind Lsg. zu T /a 2 T = X /X = +ν 2 : Wellengleichung: u (x, t) = ν>0[a ν e +νat +B ν e νat ][C ν e νx +D ν e νx ] Ähnliche (häufig nicht relevante) Lösungen existieren auch für die Laplacegleichung (z.b. in Polarkoordinaten).

10 Lsg. lin. RWA/ARWA 2. Ordng.: Superposition 1.) Wärmeleitproblem im endlichen Stab der Länge l (homogen): u t ku xx = f(x, t), (x, t) (0, l) (0, T ], RB: u(0, t) = g 1 (t), u x (l, t) = α(u(l, t) g 2 (t)), t (0, T ], AB: u(x, 0) = u 0 (x), x [0, l]. Superposition: u(x, t) = u 1 (x, t) + u 2 (x, t) + u 3 (x, t), mit: u 1 t ku 1 xx = f, u 1 (0, t) = 0, u 1 x(l, t) = αu 1 (l, t), u 1 (x, 0) = 0, u 3 t ku 3 xx = 0, u 3 (0, t)=0, u 3 x(l, t)=αu 3 (l, t), u 3 (x, 0)=u 0 (x), u 2 t ku 2 xx = 0, u 2 (0, t) = g 1 (t), u 2 x(l, t) = α(u 2 (l, t) g 2 (t)), und homogener Anf.-Bedg. für u 2 : u 2 (x, 0) = 0.

11 2.) Schwingende Saite (fest eingespannt) der Länge l (homogen): u tt a 2 u xx = f(x, t), (x, t) (0, l) (0, T ], RB: u(0, t) = 0 = u(l, t), t (0, T ], AB: u(x, 0) = u 0 (x), u t (x, 0) = u 1 (x), x [0, l]. Hier Superposition aus 2 Anteilen: u(x, t) = u 1 (x, t) + u 2 (x, t) u 1 (x, t): inhomogene Quelle, homogene AB (beide); u 2 (x, t): homogene Quelle, inhomogene AB (beide). Analog für Lösung der Laplacegleichung - z.b. Dirichlet-RWA: u = f, u Γ = g u(x) = u 1 (x) + u 2 (x) u 1 = f, u 1 Γ = 0, u 2 = 0, u 2 Γ = g

12 Wdhlg.: Randwertaufgaben für GDGL Erinnerung (VL im SS 17): Ein linearer Differentialoperator L[y] ist eine Abbildung Funktion: y L[y] (auch Funktion) Lineare RWA 2.Ordnung (x [a, b], a 0 > 0): (DGL + RB(!)) L[y] = a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = h(x), β 1 y(a) + α 1 y (a) = d 1, β 2 y(b) + α 2 y (b) = d 2 Nichtentartung: α β 2 1 > 0, α β 2 2 > 0 Homogene Randbedingung: d 1 = d 2 = 0

13 Wdhlg.: Lösbarkeit von RWA Wiederholung: AWA (2. Ordnung - 2AB) besitzt eindeutige Lösung; dagegen: Für RWA sind folgende 3 Fälle möglich (speziell auch 2.O.): genau eine keine unendlich viele Lösungen Das hängt vom Differentialoperator L[y], von der rechten Seite h(x), von den RB und von der Intervalllänge ab. Bemerkung: Auch für GDGL höherer (z.b., 4. Ordnung) existieren RWA (Balkengleichungen) und auch Eigenwertaufgaben (s. nächste Folie)

14 Wdhlg.: Das Eigenwertproblem Untersuchung des Randwertproblems: L[y] = a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = λy, x (a, b) β 1 y(a) + α 1 y (a) = 0, β 2 y(b) + α 2 y (b) = 0 Dabei ist λ R frei wählbar. Definition: Falls für ein λ R die obige RWA eine nichttriviale Lsg. ȳ(x) 0 besitzt, so heißt λ Eigenwert der RWA und ȳ(x) Eigenfunktion zum EW λ. analog zum EW-Problem für Matrizen y(x) 0 ist immer eine Lösung (aber uninterssant) (homogene) RW gehören mit zum EW-Problem!

15 Eigenwertaufgaben bei Randwertproblemen Beispiel 1: y = λy, y(0) = y(π) = 0, Fallunterscheidung: λ = 0, > 0, < 0 a) λ = 0 : y(x) = c 1 x + c 2, RB: y 0 λ = 0 kein EW b) λ < 0 : y = c 1 e λx + c 2 e λx, RB: y 0 λ < 0 kann kein EW sein (nur triviale Lösung möglich.) c) λ > 0 : y(x) = c 1 cos λx + c 2 sin λx,... Das RW-Problem besitzt die Eigenwerte λ n = n 2 (aus Fall c) und die Eigenfunktionen y n (x) = sin nx. Beispiel 2: y = λy, y(0) = y (1) = 0 (andere RW!) Das EW-Problem 2 besitzt die EW λ n = (n )2 π 2 und die EF y n (x) = sin[n ]πx

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