Einführung in die Physik I. Schwingungen und Wellen 3

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Anke Breiner
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1 Einführung in die Physik Schwingungen und Wellen 3 O. von der Lühe und U. Landgraf Elastische Wellen (Schall) Elastische Wellen entstehen in Flüssigkeiten und Gasen durch zeitliche und räumliche Veränderungen von Druck (potentielle Energie) und Geschwindigkeit (kinetische Energie) Druckgradienten erzeugen hohe Geschwindigkeitsamplituden, die zu einer neuen Druckverteilung führen Die Ausbreitung der Welle erfolgt in Richtung der Bewegung der Teilchen (Longitudinalwelle) Schallgeschwindigkeit: Geschwindigkeit p dt Niedriger Druck Hoher Druck Ausbreitungsrichtung der Welle Wellengleichung für den Druck: 1 1 p && p p κ ρ κ ρ dx κ: Kompressibilität, ρ: Dichte 1 c ; c κρ 1 κρ Schwingungen und Wellen 3 1

2 Elastische Wellen (Schall) Elastische Wellen in Festkörpern können sowohl in Form von Longitudinal- als auch Transversalwellen auftreten Hier übernehmen Elastizitäts- und Schermodul die Rolle der Kompressibilität Die Schallgeschwindigkeiten für Longitudinal- und Transversalwellen können verschieden sein Auslenkung nach unten Geschwindigkeit E c ; c ρ Auslenkung nach oben Ausbreitungsrichtung der Welle G ρ Schwingungen und Wellen 3 3 Elastische Wellen - Beispiele Schallgeschwindigkeit in Wasser: Kompressibilität: κ [m N -1 ] Dichte: ρ 1 3 [kg m -3 ] Schallgeschwindigkeit: c 14 [m s -1 ] Schallgeschwindigkeit in Luft: Aus der Kompressibilität bei konstanter Temperatur (isothermer Zustand) und der Dichte würde sich eine Schallgeschwindigkeit von nur 8 [m s -1 ] ergeben Schallwellen verändern den Druck so schnell, dass die damit verbundenen Temperaturänderungen nicht ausgeglichen werden (adiabatischer Zustand) Damit gilt ein anderer Zusammenhang zwischen Kompressibilität und Druck, welcher zu dem richtigen Wert 33 [m s -1 ] - führt Schwingungen und Wellen 3 4

3 Schallgeschwindigkeiten bei C Material Luft Helium Azeton Wasser Blei Eisen Kronglas c in [m s -1 ] Schwingungen und Wellen 3 5 ntensität einer Welle Wellen transportieren Energie und mpuls Energie liegt in Form von kinetischer und potentieller Energie vor und wird ständig zwischen den Reservoiren ausgetauscht Geschwindigkeitsamplitude: v ω ξ Maximale kin. Energiedichte: e v 1 1 ρ ξ ρω Energiestromdichte (ntensität): Amplitude Energie Druck Geschwindigkeit Pot. Energie Kin. Energie Summe Ort Ort e c 1 1 cρv ξ cρω Schwingungen und Wellen 3 6 3

4 Ausbreitung von Wellen Wellen können sich in homogenen und inhomogenen Medien ausbreiten. Dabei werden sie vom Medium u. U. modifiziert Wellen können geschwächt und absorbiert gestreut gebeugt gebrochen reflektiert werden Schwingungen und Wellen 3 7 Ausbreitung von Wellen Prinzip von Huygens Fresnel: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Alle Kugelwellen überlagern sich zu einer neuen Wellenfront. Geschwindigkeit c c < c Schwingungen und Wellen 3 Gerthsen Physik 8 4

5 Prinzip von Fermat: Ausbreitung von Wellen Eine Welle verläuft zwischen zwei Punkten immer so, dass sie dazu möglichst wenig Zeit braucht. Schwingungen und Wellen 3 Gerthsen Physik 9 Beugung Treffen Wellen auf ein begrenztes Hindernis, so werden Teile der Welle ausgeblendet (absorbiert oder reflektiert) Der Rest der Welle umläuft das Hindernis und kann in den Schatten hinter dem Hindernis eindringen Diesen Effekt nennt man Beugung Gerthsen Physik Schwingungen und Wellen 3 1 5

6 Fresnel-Beugung Schwingungen und Wellen 3 11 Absorption Absorbierende Vorgänge verzehren die Energie einer Welle Die Abnahme der ntensität (Energiestromdichte) pro Längeneinheit in einem absorbierenden Medium ist proportional zur ursprünglichen ntensität Proportionalitätsfaktor: Absorptionskoeffizient β d d β dx d ln β dx ( Δx) β dx Δx d β dx Δx - Δ d β dx ( Δx) ln ( Δx) ln Δx ln β ( Δx) e β Δx β Δx ( Δx) e Schwingungen und Wellen 3 1 6

7 Doppler - Effekt Bewegt sich eine Quelle in dem Wellen tragenden Medium, dann werden Wellenlänge und Frequenz richtungsabhängig Dieser Effekt heißt Doppler- Effekt (Christian Doppler, ) Zurückgelegte Strecke während einer Periode T: Quelle: v T Welle: c T Wellenlänge in Bewegungsrichtung: λ (c v)t Wellenlänge gegen Bewegungsrichtung: λ (c + v)t niedrige Frequenz v hohe Frequenz Frequenz in Bewegungsrichtung: c ν λ c 1 ν T 1 v c ( c v) v ν 1 + wenn v << c c Schwingungen und Wellen 3 13 Stehende elastische Wellen Zwei Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, welche einander entgegen laufen, bilden eine stehende Welle Stehende elastische Wellen entstehen in endlichen elastischen Medien Stäbe und Saiten Luftsäulen Endliche Medien lassen nur bestimmte Frequenzen zu: Eigenschwingungen Grundschwingung: n 1 Oberschwingungen: n > 1 beidseitig offen einseitig offen beidseitig geschlossen 1. Oberschwingung. Oberschwingung Schwingungen und Wellen 3 14 l l λn n λ n 4l n + 1 l λn n n n 3 7

8 Akustik und das menschliche Ohr Klänge: periodische Druckschwankungen beliebiger Form Grundton + Obertöne Akkorde stehen in rationalen Verhältnissen kleiner Zahlen zueinander diskretes Frequenzspektrum (Fourier-Zerlegung) Geräusche: nichtperiodische Druckschwankungen kontinuierliches Frequenzspektrum Hörbarer Frequenzbereich: Hz. Hz Amplitude Amplitude f f 3f 4f 5f Frequenz Kunst-Universität Linz Frequenz Schwingungen und Wellen 3 15 Akustik und das menschliche Ohr Empfindlichkeit ist stark frequenzabhängig Schmerzschwelle Hörschwelle dynamischer Bereich: 13 Zehnerpotenzen bei ~ 1 khz! Weber-Fechnersches Gesetz: Der Höreindruck L ist dem Logarithmus der Schallintensität proportional Log. Maßeinheit Bel [B] (Dezibel: [db].1 [B]) Unterscheidbares ntensitätsverhältnis: ~ 1[dB] L 1 log [db] Gerthsen Physik Schwingungen und Wellen

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