2. Wellen. Physik für Maschinenbau. Seite 1 WS 05/06

Transkript

1 . Wellen Physik ür Maschinenbau Seite 1 WS 05/06

2 Inhaltsverzeichnis Einührung / Kinematik und Dynamik 1. Schwingungen. Wellen 1. Entstehung von Wellen aus Schwingungen Grundbegrie. Mathematische Beschreibung harmonischer Wellen 3. Intererenz, stehende Wellen 4. Stehende Wellen und Beispiele zu den stehenden Wellen 5. Beugung 6. Doppler Eekt 3. Schallwellen / Akustik 4. Atomphysik 5. Kernphysik Seite

3 . Wellen.1 Entstehung von Wellen aus Schwingungen - Grundbegrie Welle: Fortplanzung einer zeitlichen, ot periodischen Zustandsänderung in Materie oder im Raum. Um die Entstehung einer Welle zu untersuchen wird das olgende mechanische Modell betrachtet: Eine große Zahl gleicher Massependel wird nebeneinander augehängt. Die Massen sind durch elastische Federn miteinander verbunden (Kopplung). Das erste Pendel wird in einen periodischen Schwingungszustand versetzt. Die dem ersten Pendel augezwungene Schwingung planzt sich durch die ganze Reihe der Pendel mit einer endlichen Geschwindigkeit ort (Welle). Dabei schwingt jedes Pendel zeitlich verzögert um seine Ruhelage. Diese Wellenausbreitung ist nicht mit Materietransport verbunden, sondern stellt die Ausbreitung des Schwingungszustands dar, der mit dem Transport von Energie verbunden ist. Seite 3

4 .1 Entstehung von Wellen aus Schwingungen - Grundbegrie Die charakteristischen Größen einer Welle sind: Die Wellenlänge [m]: Der Abstand zweier Teilchen im gleichen Bewegungszustand (gleicher Phase). Die Periode T [s]: Die Zeit, die die Welle braucht, um die Strecke zu durchlauen. Harmonische Welle zum esten Zeitpunkt t. Die Frequenz [Hz]: Anzahl der Schwindungen jedes Teilchens pro Sekunde (der Kehrwert der Periode) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c [m/s] der Welle Die Frequenz, die Periode, die Wellenlänge und die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind bei einer harmonischen Welle durch die Beziehung miteinander verknüpt. c = = T -1 Seite 4

5 .1 Grundbegrie Anhand der Schwingungsrichtung der Pendel bezüglich der Ausbreitungsrichtung werden die Wellen in Transversal- oder Querwellen und Longitudinal- oder Längswellen unterteilt. a) Transversalwellen: Die Pendel schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Transversalwellen breiten sich nur in esten Körpern aus. b) Longitudinalwellen: Die Pendel schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung. Longitudinalwellen breiten sich in allen Medien aus, die Volumenelastizität besitzen - also in esten, lüssigen und gasörmigen Stoen. Seite 5

6 .1 Grundbegrie Wellenront, Kugel- Zylinderwellen, ebene Wellen Huygenssches Prinzip Seite 6

7 .1 Grundbegrie Wellenront, Kugel- Zylinderwellen, ebene Wellen Huygenssches Prinzip Seite 7

8 . Mathematische Beschreibung harmonischer Wellen Harmonische Welle zum esten Zeitpunkt t. Eine sinusörmige Störung, die sich in einem elastischen Medium ausbreitet, wird als harmonische Welle bezeichnet. Eine eindimensionale harmonische Welle wird mathematisch durch s(x,t) = A sin(kxt) (.1) beschrieben, wobei s die Auslenkung, A die Amplitude der Welle, k=/ die Wellenzahl und die Kreisrequenz sind. In Gl. (.1) beschreiben die Vorzeichen () eine nach links bzw. eine nach rechts lauende Welle. Die Wellenunktion s(x,t) ist Lösung einer Dierentialgleichung, der Wellengleichung: x, t) 1 sx, t s x c ist Phasengeschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit) Im dispersionsreien Fall gilt: = c k, mit c = const., bzw. c =. c t Allgemein gilt: = (k) (Dispersionsrelation). Seite 8

9 . Phasengeschwindigkeiten aus Dobrinski Seite 9

10 Seite 10. Wellen: Energiedichte und Leistung Energiedichte w = Energie / Volumen Leistung oder Energiestrom = Energiedichte mal Ausbreitungsgeschwindigkeit mal Fläche ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 v A c s A c w A c dt dw P v s dv dw w

11 Augabe Seil, Transversalwelle Eine Transversalwelle, die sich entlang eines langen Seils ausbreitet, wird beschrieben durch: s x, t 6cmsin 0,0 4 x cm t sec Zu bestimmen sind: Frequenz, Ausbreitungsrichtung, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Amplitude und Geschwindigkeitsamplitude (=Schnelle) der Transversalwelle. [= Hz; links lauend; c= m/s; = 6 cm; =0,75 cm/s] Seite 11

12 Beispiel: schwingende Saite F rück F x F x dx F sin d F sin y y (F ist die Spannung der Saite) Für kleine Auslenkungen gilt: y d y sin tan und d dx dx x dx x F y y y y F rück dx F F dx x x x x Nach Newton gilt: F rück y dma dm t bzw. F y y dx dm x t Seite 1

13 Beispiel: schwingende Saite Mit dm A dx olgt: y A y x F t (Wellengleichung) Die Lösung lautet: y yˆ cos t kx y t yˆ cos t kx und x y yk ˆ cos t kx k F c / A und c F A Für Orte gleicher Phase gilt dann: kxt konst. und c dx dt k c ist also die Phasen- oder auch Fortplanzungsgeschwindigkeit der Welle. Seite 13

14 .3 Intererenz, stehende Wellen Intererenz: Erscheinungen, die durch Überlagerung von Wellen an der selben Stelle des Raumes hervorgeruen werden. 1) Überlagerung von zwei in der selben Richtung lauende ebene Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude. Die zwei Wellen sind gegeben durch: s 1 =A cos(t-kx) s =A cos(t-kx+) Für die Phasenverschiebung und den Gangunterschied gilt: = (/) Die Addition der beiden Wellen ergibt wieder eine ebene Welle der gleichen Frequenz und Wellenlänge, aber anderer Amplitude und Phase: sneu sˆ neu cos t neu sˆ neu sˆ ˆ ˆ ˆ 1 s s1s cos 1 Seite 14

15 .3 Intererenz, stehende Wellen a) Gangunterschied =0 und Phasenverschiebung =0: Die Amplitude der resultierenden Welle ist doppelt so groß wie die der Ausgangswellen (Verstärkung). Konstruktive Intererenz =m =m m=0,1,,... b) Gangunterschied =/ und Phasenverschiebung = : Die beiden Ausgangswellen löschen sich aus. Destruktive Intererenz =(m+1) / =(m+1) m=0,1,,... Seite 15

16 .3 Intererenz, stehende Wellen ) Überlagerung von zwei in entgegengesetzter Richtung lauende ebene Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude. Die zwei Wellen sind gegeben durch: y 1 =A cos(t-kx) y =A cos(t+kx) Die Addition der beiden Teilwellen ergibt eine Welle mit der gleichen Wellenlänge: y ges =y 1 +y = A cos(kx) sin(t) mit: sina + sinb = cos[(a-b)/] sin[(a+b)/] Die resultierende Welle schreitet mit der Zeit nicht ort: stehende Welle. Knoten: Stellen, an denen das Medium zu allen Zeiten in Ruhe ist. Bäuche: Stellen, an denen das Medium maximal schwingt. Der Abstand zwischen zwei Knoten/Bäuchen beträgt /. Seite 16

17 .4 Stehende Wellen und Beispiele zu den stehenden Wellen Eine stehende Welle bildet sich durch Überlagerung einer ursprünglichen und einer relektierten Welle. Für die Relexionsstelle gilt: a) Erolgt die Relexion an einem esten Ende, dann bildet sich ein Schwingungsknoten aus (Phasensprung um =). b) Erolgt die Relexion an einem losen Ende, dann bildet sich ein Schwingungsbauch aus (kein Phasensprung). Beispiel 1: Transversalwellen au Saiten Die Bewegung einer beidseitig eingespannten Saite der Länge l wird als Überlagerung aus Grundschwingung und Oberschwingungen beschrieben. Mit l=/ und c= ergibt sich ür die Frequenz des Grundtons 0 =c/l Die n-te Oberschwingung hat n Knoten und ihre Frequenz ist gegeben durch n =(n+1) 0 Seite 17

18 .4 Stehende Wellen und Beispiele zu den stehenden Wellen Beispiel : Longitudinalwellen in Gasen Mit Hile eines Kundtschen Rohres ist es möglich longitudinale stehende Wellen in einer Lutsäule sichtbar zu machen. Betrachtet werden Eigenschwingungen der Orgelpeien. a) Oene Orgelpeien: Für die Frequenz des Grundtons ergibt sich, wie bei den Saitenschwingungen 0 =c/l l: Länge der Peie b) Gedeckte Orgelpeien: Mit l=/4 und c= ergibt sich ür die Frequenz des Grundtons 0 =c/4l Die n-te Oberschwingung hat n Knoten und ihre Frequenz ist gegeben durch n =(n+1) 0 Im Spektrum der Obertöne kommen nur ungeradzahlige Vielache der Grundrequenz vor. Seite 18

19 .5 Beugung Beugung: Änderung der Ausbreitungsrichtung einer Welle, wenn sie au ein Hindernis trit. Vorraussetzung ist daür, dass die Welle länger als die Abmessungen des Hindernis ist. Die Richtungsänderung und die Ausbildung der neuen Wellenront hinter den Hindernis kann mit Hile des Huygens- Prinzip (Bildung von Elementarwellen) erklärt werden. Beispiel: Beugung am Doppelspalt Eine von unten kommende ebene Welle trit au ein Hindernis, das im Abstand d zwei spaltörmigen Önungen hat. Von diesen Önungen gehen Elementarwellen aus, die sich hinter dem Hindernis ausbreiten. An Orten, wo der Gangunterschied der Wellen ein ganzzahliges Vielaches der Wellenlänge ist, indet Verstärkung statt. Die Verbindungslinien aller dieser Orte mit konstruktive Intererenz ergeben Hyperbeln. Für die Winkel der Asymptoten zur y-achse gilt: sin m =m /d m: Ordnungszahl Seite 19

20 Seite 0 (Akustischer) Doppler Eekt B B v c T a) bewegter Beobachter: bzw. B B v c und mit Q c ergibt sich: c v B Q B 1 b) bewegte Quelle: c v Q Q B 1 c) Beobachter und Quelle bewegt: Q B Q B v c v c

21 (Akustischer) Doppler Eekt und Machscher Kegel Das Medium (z.b. Lut) wird als ruhend angenommen und der Beobachter bzw. die Quelle bewegen sich mit den Geschwindigkeiten v B und v Q im ruhenden Medium, in dem sich die Wellen mit der Geschwindigkeit c (z.b. Schallgeschwindigkeit) ausbreiten. Seite 1

22 Optischer Dopplereekt Elektromagnetische Wellen breiten sich immer mit der Lichtgeschwindigkeit c aus, unabhängig von Ihrer Relativgeschwindigkeit bezüglich eines evtl. vorhandenen Mediums, wie Lut, Wasser etc. Die Frequenzänderung hängt daher nur von der Relativgeschwindigkeit v zwischen Sender und Empänger ab. Es gilt: B Q 1 v c 1 v c Für kleine Geschwindigkeit (v<<c) ergibt sich daraus: B Q 1 v c Seite

23 Augaben Nr. 17: Eiskunstläuer Nr. 8: Mathematisches Pendel im Auzug Nr. 9: Schaukelperd Nr. 3.: Gedämptes Schwingungssystem I Nr. 33: Gedämptes Schwingungssystem II Nr. 33: Gedämptes Schwingungssystem III Weitere Augaben: Nr. 37,39,40,4,44,45,46,47,54, 56,57,59-63,64,65-68,71,7,73,74,77,78, 8,84,87,88,89,90,91,93,98,101 Seite 3