Fourier-Analyse akustischer Schwingungen

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1 Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum M8 Fourier-Analyse akustischer Schwingungen Aufgaben Um den Messplatz und die Möglichkeiten der Fourier-Analyse praktisch kennen zu lernen, sind zu Beginn unterschiedliche Schallphänomene (z. B. Ton, Klang, Geräusch, eigenes Musikinstrument) mittels FFT (Fast Fourier Transformation) zu analysieren. 1. Messen Sie die Abhängigkeit der Eigenfrequenz einer Stimmgabel von der Position einer Zusatzmasse (Abstimmmasse) auf einem Zinken der Stimmgabel. Bestimmen Sie weiterhin für zwei unterschiedlich abgestimmte Stimmgabeln das Frequenzspektrum mittels FFT. Stellen Sie die resultierende Schwebung las Funktion der Zeit und der Frequenz dar.. Es sollen Hohlraumschwingungen von Rundkolben (Helmholtz-Resonatoren) verschiedener Abmessungen untersucht und deren Eigenfrequenzen bestimmt werden. Die Ergebnisse sind mit den für Helmholtz-Resonatoren berechenbaren Eigenfrequenzen zu vergleichen. 3. Messen Sie die Eigenfrequenzen einer Saitenschwingung mit einem Monochord für verschiedene Saitenlängen und -spannungen. Die experimentell bestimmten Eigenfrequenzen sind graphisch darzustellen und die Anstiege sind mit den berechenbaren Werten zu vergleichen sowie Unterschiede unter Berücksichtigung der Messunsicherheiten zu diskutieren. Literatur Physikalisches Praktikum, 14. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Fourier-Transformation und Signalanalyse, 1.0, 1.3, Mechanik 4.0, Wärmelehre..3 Demtröder, Experimentalphysik 1, 5. Auflage, , , Gerthsen Physik, 4. Auflage, D. Meschede, 4.3.1, 4.3., 4.3.3, Ingenieurakustik: Physikalische Grundlagen und Anwendungsbeispiele, H. Henn, G. R. Sinambari, M. Fallen, 4. Auflage, S Zubehör CASSY-Interface, PC, Messmikrofon mit Verstärker, drei Stimmgabeln, Abstimmmassen, Anschlaghammer (Gummi, Metall), verschiedene Rundhalskolben, Lautsprecher, Synthesizer (Software), Monochord, Spannvorrichtung mit Kraftsensor 1

2 Schwerpunkte zur Vorbereitung - Mechanische Schwingungen und Wellen, Wellengleichung, stehende Wellen - Eigenschwingungen, Resonanz, Grundschwingung, Oberschwingung - Schallwellen, Schallgeschwindigkeit, Unterschiede zwischen Ton, Klang, Geräusch - Fourier-Analyse, Fourier-Spektren von Sinus-, Rechteck- und Dreieck-Signal - Stimmgabelschwingungen, Biegeschwingungen, Eigenfrequenz - Hohlraumschwingungen, adiabatische Zustandsänderung, Eigenfrequenz eines Hohlraum-Resonators - Saitenschwingungen, Wellengleichung, stehende Wellen auf Saiten, Grund- und Oberschwingungen - Versuchsanordnungen zur Anregung, Messung und Auswertung der unterschiedlichen Schallschwingungen - Grundlagen digitaler Messungen (Abtastrate, Auflösung) Allgemeine Grundlagen Stimmgabelschwingungen Die Schwingungen der Zinken einer Stimmgabel lassen sich physikalisch analog zu Biegeschwingungen in Stäben erklären. Dabei kommt es zu transversalen Schwingungen senkrecht zur Achse des ruhenden Zinkens. Diese folgen nicht der Wellengleichung, sondern einer Differentialgleichung vierter Ordnung in der Ortskoordinate: EI 4 4 t A. (1) x bezeichnet die Schwingungsamplitude. Die Eigenfrequenzen f n von Biegeschwingungen ergeben sich zu m EI n fn, () πl A mit dem Flächenträgheitsmoment I des Stabquerschnitts A, der Länge des Stabs l, dem Elastizitätsmodul E und der Dichte des Stabmaterials. Die Werte m n sind die Lösungen der transzendenten Gleichung cos m coshm 1 (z. B. Grundschwingung m 1 = 1,875). n n Das Zustandekommen einer periodischen Welle in Luft, die von einer einfachen Stimmgabel ausgeht, kann man durch adiabatische Kompression und Expansion der die Zinken umgebenden Luftschichten beschreiben. Die daraus resultierenden Druckänderungen breiten sich mit einer Geschwindigkeit c Luft aus. Für Luft erhält man im Bereich der Zimmertemperatur T ( T T0 T 0, T 0 = 73,15 K) in guter Näherung c Luft TT T ,5 1 ms. (3)

3 Abb. 1 (a) Biegeschwingung, n = 1 (b) Stimmgabelschwingungen, mit einem Stroboskop aufgenommen (c) Stimmgabel mit Zusatzmasse auf Resonanzkasten mit Anschlaghammer aus Gummi Durch das Verschieben der Zusatzmasse (Abb. 1c) längs eines Gabelzinkens wird die Eigenfrequenz der Grundschwingung verändert. Es tritt eine Verringerung der Frequenz auf, die umso größer ist, je näher sich die Zusatzmasse am Ende des Zinkens befindet. Als Erklärung dafür kann man in einem vereinfachten Modell die Veränderung des Trägheitsmoments unter Berücksichtigung des Satzes von Steiner verwenden. Mit dem Ansatz 1 T K 0 ( ISG IR ISteiner ) K1 K, (4) f lässt sich die Frequenzänderung phänomenologisch beschreiben. Dabei bezeichnen I SG das Trägheitsmoment der Stimmgabel, I R das Trägheitsmoment des Reiters und I Steiner das zusätzliche Trägheitsmoment des Reiters gemäß des Satzes von Steiner. Die K i (i = 0, 1, ) sind Konstanten. ist der Abstand zwischen Massenmittelpunkt des Reiters und Drehachse, d.h. dem Knotenpunkt der Schwingung des Zinkens. Da der Wert von im Versuch nicht genau gemessen werden kann, wird ( m 0) gesetzt, wobei m den Abstand der Oberkante der Reitermasse in Bezug auf einen vorgegebenen Anfangspunkt am unteren Ende des Gabelzinkens beschreibt und 0 der entsprechende Korrekturabstand zur Drehachse ist, der mittels nichtlinearer Anpassung bestimmt wird. Tragen Sie das Inverse des Quadrats der Grundfrequenz gegen Parameter K 1, K und 0 durch nichtlineare Anpassung der Funktion 1 m 1 m 0 3 m auf und bestimmen Sie die f ( ) K K ( ). (5) an die Daten. f 1/ P entspricht annähernd der Grundfrequenz der Stimmgabel, wenn sich die 1 1 Reitermasse am unteren Ende des Zinkens befindet. Hohlraumschwingungen Werden mit Luft gefüllte Rundhalskolben zu Hohlraumschwingungen angeregt, kommt es bei bestimmten Anregungsfrequenzen zur Resonanz. Bereits Hermann von Helmholtz entwickelte diese Art von akustischen Resonatoren (Helmholtz-Resonatoren), die heute noch in der Raumakustik praktische Anwendungen finden. Diese Hohlraumschwingungen werden in Analogie zur Schwingung

4 eines Masse-Feder-Systems beschrieben (Masse m, Federkonstante k). Für die Eigenfrequenz dieses Systems gilt 1 k f0. (6) π m Das kompressible Gasvolumen V H des Hohlraums wirkt wie eine Feder auf die sich im Flaschenhals befindliche Luftmasse m = m G (Gasmasse m G = G l A, l Länge des Resonatorhalses, A Querschnittsfläche der schwingenden Masse, G Dichte des ruhenden Gases). Abb. Modell eines Hohlraumresonators Zunächst berechnet man die Federkonstante k des Gasvolumens. Unter der Annahme, dass die Änderungen des Drucks im Gas so schnell erfolgen, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann, gilt für den adiabatischen Kompressionsmodul K: Δp K VH p ΔV G. (7) Dabei sind der Adiabatenexponent und p G der Druck des ruhenden Gases. Die Druckänderung p entsteht durch eine Kraft F, die auf die Fläche A wirkt: F p. (8) A Eine Verschiebung der schwingenden Gasmasse m G aus der Ruhelage um die Strecke l in Richtung des Hohlraumvolumens V H bewirkt eine Verringerung des Resonatorvolumens um den Wert V. Demzufolge verhalten sich Volumen- und Längenänderung entgegengesetzt: V = A l. Es ergibt sich mit den Gln. (7) und (8) ΔF pg A k. (9) Δl V H Nach Einsetzen von k und m G in Gl. (6) erhält man f 1 Ap G 0. (10) π Vl H G Addiert man zur Länge l die so genannte Mündungskorrektur ( π R / 4, R Radius des Halses, Abb. ) auf beiden Seiten des Resonatorhalses, so folgt für die Eigenfrequenz f 0 des Helmholtz-Resonators 1 p πr 1 πr. (11) π πr π πr VH G l VH l G 0 cg f 4

5 Die Größe c G in Gl. (11) beschreibt die Schallgeschwindigkeit des sich im Resonatorvolumen befindenden Gases. Saitenschwingungen Bei einer Saite wird vorausgesetzt, dass das Material elastische Eigenschaften besitzt, der Durchmesser (bei kreisförmigem Querschnitt) viel kleiner als die Länge ist und Biegungseffekte keine Bedeutung haben. Lenkt man eine an beiden Enden fixierte und gespannte Saite aus, treten immer Knoten auf und die Wellen erfahren an diesen Stellen bei der Reflexion einen Phasensprung um. Neben der Grundschwingung kann es auch zu Schwingungen bei höheren Frequenzen kommen, den so genannten Oberschwingungen (f n = n f 1, Grundschwingung n = 1, n > 1 Oberschwingungen). Dabei treten nicht nur an den fixierten Stellen Schwingungsknoten auf (Abb. 3). Abb. 3 Stehende Welle auf einer Saite für die ersten drei Harmonischen, Enden eingespannt Zur Herleitung der Bewegungsgleichung betrachtet man diejenige Kraft, die die Saite senkrecht zu ihrer Ruhelage zurückzieht. Diese wird durch die Spannung τ = F / A bestimmt, (Kraft F pro Querschnittsfläche A der Saite). Bei einer gekrümmten Saite ergibt sich eine resultierende Kraft F y (Abb. 4), da die Spannkraft an verschiedenen Stellen der Saite zwar vom Betrag her gleich groß ist, ihre Richtung sich aber längs der Saite ändert. Abb. 4 Teilstück dm einer Saite mit Spannkräften F y (stark vergrößert) Für die Komponenten der Kraft F y als Rückstellkraft in y-richtung an den Stellen x bzw. x+dx erhält man F ( x) A sin und F ( x d x) A sin( d ). Im Folgenden wird angenommen, dass der y y Neigungswinkel der Saite bezüglich ihrer Ruhelage klein ist; dann gilt in guter Näherung sin, sin(+d) + d, cos cos( + d) 1, tan = dy/dx und ( dy / dx ) 1. Die resultierende Kraft in y-richtung ist dann df F ( x dx) F ( x) A d. (1) y y y Infolge der vorausgesetzten kleinen Winkel gilt 5

6 y tan x (13) und man erhält damit für die Änderung des Winkels zwischen x und x+dx y x y d dx dx. (14) x x Die Kraft F y beschleunigt das Saitenstück der Masse 1/ 1/ d (d ) 1 ( / ) d m A x dy A dy dx dx A x (15) zurück in die Ruhelage. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt y dfy Adx. (16) t Nach dem Gleichsetzen der Kräfte ergibt sich mit c / die Wellengleichung y t y x c, (17) wobei c die Phasengeschwindigkeit der transversalen Welle beschreibt. Mit der Beziehung c f (Wellenlänge, Frequenz f ) erhält man für die Grundfrequenz (f = f 1 ) 1 F f 1 A. (18) Auf einer beidseitig fixierten (eingespannten) Saite der Länge L kann sich eine stehende Welle ausbilden. Im einfachsten Fall, der Grundschwingung, tritt an den Saitenenden je ein Knoten der Schwingung, in der Mitte ein Schwingungsbauch auf (L = /). Daraus folgt mit Gl. (18) 1 F f 1 L A. (19) Für die mathematische Darstellung einer stehenden Welle nutzt man die Lösung der Wellengleichung (17), deren allgemeine Form yx, t yt x / c ist, wobei y eine beliebige, zweimal differenzierbare Funktion bezeichnet. Setzt man eine in (-x)-richtung laufende Welle voraus, so wird diese an der Einspannstelle (x = 0) reflektiert. Es tritt ein Phasensprung von auf, da an dieser Stelle die Auslenkung der Saite y(x) zu jedem Zeitpunkt null sein muss. Aus der Überlagerung von hinlaufender und reflektierter Welle ergibt sich: πt π x πt π x πt π x y( x, t) y0 sin sin π y0cos sin T T. (0) T Im Fall einer an den Enden eingespannten Saite gilt y(x = L) = 0 und aus Gl. (0) folgt allgemein L n, n 1,, 3,.... (1) n 6

7 n sind Wellenlängen der möglichen stehenden Wellen auf der beidseitig eingespannten Saite mit der Länge L. Damit ergibt sich für die Frequenz der Harmonischen (1. Harmonische Grundton,. Harmonische 1. Oberton, usw.) n F f n L A. () Hinweise zur Versuchsdurchführung Zur Messung der verschiedenen Schallsignale wird ein Messmikrofon mit Verstärker verwendet, das mit dem CASSY-Interface und einem PC verbunden ist. Damit sind die Signalaufzeichnung und die Fourier-Transformation der Signale möglich. Beachten Sie die zusätzlichen Hinweise zur Bedienung des Messmikrofons sowie zur Auswertung der Daten am Versuchsplatz. Abb. 5 Schema des Versuchsplatzes, a) Schallquellen (I Stimmgabel, II Hohlraum-Resonator, III Resonanzkasten), b) Mikrofon, c) Lautsprecher Zu Beginn des Versuchs sollen mit dem in Abb. 5 schematisch dargestellten Messplatz unterschiedliche Schallwellen (z. B. Sinus-Ton und weißes Rauschen mit Synthesizer erzeugt, Motorengeräusch (Audiodatei), Klang einer Glocke) gemessen und deren Frequenzspektrum mittels FFT ausgewertet werden. Um eine fehlerfreie digitale Signalerfassung durchführen zu können, sind die Messbedingungen (Abtastrate (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem), Signalintensität) optimal zu wählen. Zu Aufgabe 1: Für die Realisierung der Messungen stehen drei gleichartige Stimmgabeln zur Verfügung, deren Eigenfrequenz durch Verschieben einer Abstimmmasse längs der Achse eines Gabelzinkens gegenüber der Grundfrequenz verändert werden kann (Abb. 1c). Zur Optimierung der Signalamplitude wird das Messmikrofon nahe der Öffnung des Resonanzkastens aufgestellt und der Grad der Verstärkung am Mikrofon geeignet gewählt. Die Schwingungen sind durch das Anschlagen eines Zinkens mit einem kleinen Gummihammer zu erzeugen. An den Gabelzinken wurden in definierten Abständen Striche angebracht, so dass man die verschiedenen Positionen des Reiters auf dem Zinken gut reproduzieren kann. Es sind für etwa acht unterschiedliche Positionen 7 m der Zusatzmasse die Eigenfrequenzen f zu ermitteln und in einem 1 f 1 m-diagramm grafisch

8 darzustellen. Mit Hilfe von Gl. (5) ist eine Anpassung vorzunehmen und die Fit-Parameter K 1 und 0 sind zu erörtern. Nachdem man jeweils eine Zusatzmasse an verschiedenen Stellen eines Zinkens (etwa 10 Hz Unterschied zwischen den Eigenfrequenzen) festgeklemmt hat, sind die Stimmgabeln zunächst einzeln mit einem kleinen Gummihammer anzuschlagen, die jeweiligen Einzelschwingungen zu messen und deren Eigenfrequenz dem Fourier-Spektrum zu entnehmen. Anschließend sind alle drei Stimmgabeln kurz nacheinander anzuschlagen und in Schwingungen zu versetzen. Die Superposition der drei Schallwellen ist zu messen und das Frequenzspektrum mittels Fourier- Transformation zu bestimmen. In der Diskussion sind die Frequenzen, die aus der Überlagerung der Wellen erhalten werden, mit denjenigen der Einzelschwingungen unter Berücksichtigung von Messunsicherheiten zu vergleichen. Abb. 6 Beispiel eines Signals f (t) nach der Überlagerung von drei Stimmgabelschwingungen mit den Frequenzen f 1, f, f 3 sowie dessen Fourier- Transformierte Zu Aufgabe : Zunächst wird das Mikrofon etwa einen Zentimeter in den Hals des eingespannten Resonatorvolumens (Rundkolben) hinein geschoben (Abb. 7). Abb. 7 Schema des Messplatzes zur Messung von Hohlraumschwingungen: Rundkolben mit Hals (a), Mikrofon (b), Lautsprecher (c). Mit Hilfe eines Synthesizerprogramms wird weißes Rauschen generiert; der angeschlossene Lautsprecher ist so aufzustellen, dass sein abgestrahltes Schallfeld im Hohlraum zu Schwingungen führt. Es wird das vom Messmikrofon empfangene Signal bei ausreichend kleiner Abtastrate aufgenommen und das Frequenzspektrum bestimmt (Abb. 7). Damit lässt sich die entsprechende Grundfrequenz der Hohlraumschwingung ermitteln. Anschließend kann durch stufenweise Variation der Tonfrequenz (Sinus-Ton am Synthesizer auswählen) im Bereich der Grundfrequenz eine verstärkte Anregung der Hohlraumschwingungen im Vergleich zur Anregung mit dem Rauschsignal 8

9 erreicht werden, wobei auch höhere Ordnungen auftreten können. Stimmen beide Frequenzen nahezu überein, beobachtet man maximale Intensität der Linie für die betreffende Eigenfrequenz der Hohlraumschwingung. Eine weitere Messung kann nach Anregung der Hohlraumschwingungen durch Anschlagen mit einem kleinen Gummihammer durchgeführt werden. Die Grundfrequenzen der unterschiedlich großen Hohlraum-Resonatoren, deren Abmessungen bekannt sind (Tab. 1), sollen berechnet und mit den im Experiment bestimmten Werten verglichen werden. Volumenangabe 50ml 100ml 50ml 500ml Arbeitsplatz I R / mm 9,83(±0,1) 9,08(±0,1) 15,(±0,1) 14,1(±0,1) l / mm 38(±) 38(±) 39(±) 37(±) V H / ml Arbeitsplatz II R / mm 10,6(±0,1) 9,1(±0,1) 14,4(±0,1) 14,4(±0,1) l / mm 36(±) 36(±) 38(±) 39(±) V H / ml Tabelle 1: Maße der Hohlraum-Resonatoren. Zu Aufgabe 3: Es werden die Saitenschwingungen von dünnen Metalldrähten in Abhängigkeit von der Spannkraft (Zugspannung) und der Saitenlänge untersucht. Die Saiten sind auf einem Resonanzkasten (z. B. Monochord) befestigt. Durch diesen werden die Saitenschwingungen akustisch verstärkt. Zur Variation der Länge L der schwingenden Saite steht ein zusätzlicher Keil zur Verfügung, der auf dem Monochord verschoben werden kann. Der Einfluss der Spannkraft F und der Länge L auf die Eigenfrequenzen der Saitenschwingung wird mit dem oben beschriebenen Messplatz ermittelt. Abb. 8 Saite auf einem Resonanzkasten eingespannt (schematisch) Zur Anregung transversaler Saitenschwingungen zieht man bei diesem Versuch im einfachsten Fall die Saite in der Mitte kurz nach oben (Anzupfen). Zur Messung der Schallwelle ist das Messmikrofon über der schwingenden Saite zu befestigen. Die Aufnahme und Auswertung der Schallschwingungen erfolgt analog zu den bereits oben beschriebenen Messungen. In Abb. 9 sind exemplarisch das aufgenommene Signal einer Saitenschwingung und das Frequenzspektrum nach der Fourier- Transformation dargestellt. 9

10 Abb. 9 Mess-Signal und Fourier-Transformierte einer Saitenschwingung, Grundfrequenz f 1 und Frequenzen der Oberschwingungen f bis f 5 Außer der Frequenz f 1 der Grundschwingung sind auch die Signalanteile einiger Oberschwingungen zu erkennen. Nach Auswerten dieser Frequenzen unter Berücksichtigung von f 1 = f n / n kann der Wert der Grundfrequenz eindeutig und mit hoher Genauigkeit ermittelt werden. Die Ergebnisse der Messung zur Grundfrequenz f 1 der Saitenschwingung in Abhängigkeit von der Spannkraft F sind in einem f 1 F -Diagramm darzustellen und der mittels linearer Regression erhaltene Wert für den Anstieg ist mit dem nach Gl. (19) berechenbaren Wert zu vergleichen. Die dazu notwendigen Werte für die Länge L und den Durchmesser (r) der Saite sind mit mechanischen Messmitteln zu bestimmen, die Dichte der Stahlsaiten beträgt = 7850 kgm -3. Für die Messung der Abhängigkeit der Eigenfrequenz der schwingenden Saite von deren Länge L steht ein Keil zu Verfügung, mit dem man die Länge durch Fixierung der Saite auf der oberen Kante dieses verschiebbaren Keils verändern kann. Es ist eine graphische Darstellung f 1 (L.-1 ) anzufertigen und der mittels linearer Regression erhaltene Wert des Anstiegs soll ebenfalls mit dem berechenbaren Wert verglichen werden. 10