u(z, t 0 ) u(z, t 0 + t) z = c t Harmonische Welle

Transkript

1 u(z, t) l u(z, t + t) z Welle: Form der Auslenkung (Wellenlänge l) läuft fort; Teilchen schwingen um Ruhelage (Frequenz f = 1/T) Einheit der Frequenz : Hertz (Hz) : 1 Hz = 1/s Geschwindigkeit Wellenlänge l c lf Schwingungsdauer T 10-1

2 u(z, t 0 ) u(z, t 0 + t) z Harmonische Welle z = c t Halte Zeit einer harmonische Welle bei t = t 0 fest: u(z, t 0 ) = u 0 coskz (kl = 2p; k = 2p/l 2pf /c = w/c) Halte Ort einer harmonische Welle fest: u(z 0, t) = u 0 cos[(kz 0 wt) (Minuszeichen: Welle läuft nach rechts!) Harmonische Welle: u(z, t) = u 0 cos[(kz wt + j 0 ) Kreisfrequenz 2p 2p w c kc T l 10-2

3 Wellenarten Transversale Wellen : Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Welle ist polarisiert : Schwingungsrichtung) Longitudinale Wellen : Auslenkung in Bewegungsrichtung Mischformen : z. B. Oberflächenwellen in Wasser Form der Wellenfronten : ebene Wellen, Kugelwellen, (auch Kreiswellen, Zylinderwellen,... ) 10-3

4 DOPPLER-Effekt (ruhender Beobachter) + - Ruhende Quelle l 0 f 0 = c bewegte Quelle l l 0 (1 v/c) v > c (MACH-Kegel) Stoßwellenfront 10-4

5 t + dt t t t + dt HUYGENSsches Prinzip HUYGENSsches Prinzip Jeder von einer Welle getroffene Raumpunkt wird Ausgangspunkt einer Kugelwelle (bzw. Kreiswelle). Erklärt Wellenausbreitung, Reflexion, Brechung,... Erklärt Überlagerung von Wellen; Beugung und Interferenz 10-5

6 Interferenz = l/2 Wellen gleicher Wellenlänge löschen sich aus, wenn ihr Gangunterschied ein ungerades Vielfaches von l/2 ist und verstärken sich für = nl. 10-6

7 Beugung am Gitter Spaltbreite b «Gitterkonstante d FRAUNHOFERscher Grenzfall: Betrachte Interferenz von Parallelstrahlen d a Konstruktive Interferenz (im ), wenn = d sina = nl Dazwischen teilweise Auslöschung (Nebenmaxima und Minima): Hauptreflexe schärfer und höher, je mehr Spalte beitragen 10-7

8 Gitter mit N Spalten N = 2 N = I max N l/(nd) 20 N = l/d -l/d 0 l/d l/d sina 10-8

9 Beugung am Spalt Spalt mit Spaltbreite b a = bsina Zentrales Maximum (bei a = 0) Auslöschung, wenn Randstrahlen Gangunterschied = bsina = nl haben. 10-9

10 Spaltbeugungsfunktion l/b -l/b 0 l/b sina 10-10

11 u(z) u(z + z) F(z) z F(z + z) Schallwellen z Schwingungsmechanismus: Ausgleich von Druckdifferenzen bzw. elastische Verformungen Wellengleichung Geschwindigkeit c Y 10-11

12 Reflexion am dichteren Medium Reflexion am dünneren Medium Stehende Wellen in Resonatoren Welle wird an Grenzfläche (unterschiedliches c) reflektiert. Phasensprung am dichteren Medium (schwingt schwerer ) Stehende Welle: Hin- und herlaufende Welle 10-12

13 l/ L Stehende Wellen Stehende Welle: hin- und herlaufende Welle geschlossener Resonator mit Länge L: Schwingungsknoten an den reflektierenden Enden ( Saite ) Nullstellen bei z = nl/2 Eigenschwingungen nl/2 = L bzw. l n = 2L/n ggf. offene (l n = 2L/n) und einseitig offene (l = 4L/(2n +1)) Resonatoren; auch räumliche Eigenschwingung 10-13

14 Schallgeschwindigkeit Schwingungsmechanismus bei Schallwellen: Ausgleich von Druckdifferenzen bzw. elastische Verformungen (Modul Y) Schallgeschwindigkeit ( Dichte) c Y Gase: Flüssigkeiten: Festkörper: Saite : Kompressionsmodul K p Kompressionsmodul K Elastizitätsmodul E (longitudinale Wellen) Schubmodul G (transversale Wellen) Saitenspannung 10-14

15 Material v long (m/s) bei 20 C v long (m/s) bei 100 C v trans (m/s) bei 20 C CO 2 -Gas Luft Helium Wasserstoff ,5 Wasser Methanol Aluminium Eisen Pyrexglas Nylon

16 Akustik: Einteilung der Schallphänomene Infraschall: f < 16 Hz l > 20 m (Luft) hörbarer Schall: 16 Hz < f < 16 khz l > 2 cm Ultraschall: f > 16 khz l < 2 cm Hyperschall: f > 10 MHz l < m Messung der Frequenz durch stehende Wellen: f = c/l 10-16

17 Schallintensität Schallintensität (Leistungsdichte) u 0 2 (Schwingungsenergie) Empfindlichkeit des menschlichen Ohres frequenzabhängig und logarithmisch Hörschwelle (1 khz) I 0 = W/m 2 Schmerzschwelle (1 khz) I S = 10 W/m 2 Schallpegel (Einheit Dezibel (db)) : L = 10. log 10 (I/I 0 ) Beispiel Schmerzschwelle (I = I S, f = 1 khz) : L = 130 db 10-17

18 Schallintensität Hörschwelle 0 db leises Radio 40 db Tagespegel im Wohnzimmer 50 db Unterhaltung 60 db (Konzentrationsstörungen) Haus in Hauptverkehrsstraße 70 db (Risiko für Herz-Kreislauferkrankungen) Kreissäge 100 db Rockkonzert, Lautsprechernähe 120 db (Beginn: Schädigung des Innenohrs) Schmerzgrenze 130 db Spielzeugpistole, 25 cm 150 db Gewehrschuss,Mündungsnähe 160 db (Schädigung des Innenohrs) 10-18