Physik Profilkurs ÜA 07 mechanische Wellen Ks. 2011

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1 Aufgabe 1) Ein Wellenträger wird mit f = 2,0 Hz harmonisch angeregt, wobei sich Wellen der Länge 30 cm und der Amplitude 3,0 cm bilden. Zur Zeit t o = 0,0 s durchläuft der Anfang des Wellenträgers gerade den positien Nulldurchgang. a) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit c. b) Stellen Sie die allgemeine Formel y(x,t) = für die Auslenkung der Welle auf. c) Stellen Sie die Formel für den zeitlichen Verlauf der Schwingung des Punktes x 20 auf, der sich 20 cm om Anfang des Wellenträgers entfernt befindet. d) Welche Auslenkung besitzt der Punkt x 15 = 15 cm zur Zeit t 1 = 625 ms? Zu welchen Zeiten besitzt dieser Punkt wieder die gleiche Auslenkung? e) Lösen Sie die Teilaufgabe b) für den Fall, dass der Anfang des Wellenträgers zur Zeit t o = 0,0 s (I) gerade den negatien Nulldurchgang durchläuft bzw. (II) gerade maximale positie Auslenkung besitzt. Aufgabe 2) Zwei Lautsprecher schwingen gleichphasig mit f = 680 Hz und gleicher Amplitude. a) In welchem Abstand δ muss man sie aufstellen, damit ein weit entfernter Hörer minimale Lautstärke wahrnimmt. b) Für welche Frequenzen ergäbe sich in diesem Abstand maximale Lautstärke? c) Um welchen Bruchteil ist die Amplitude der Überlagerung größer als die der Einzelwelle wenn δ = 3,4 cm und f = 680 Hz? (Lösung kann zeichnerisch erfolgen.) Aufgabe 3) Listen Sie tabellarisch auf, worin sich stehenden on fortschreitenden Wellen unterscheiden bzw. worin sie sich gleich sind. Aufgabe 4) Der abgebildete lineare Wellenträger (z. B. ein Gummiband) besitzt die Länge L = 300 cm und befindet sich für t < 0s in der Gleichgewichtslage. y x L/2 L Zum Zeitpunkt t = 0 s beginnt das linke Ende (x = 0 m ) eine harmonische Schwingung nach oben mit f = 5,00 Hz und y m = 30,0 mm. Der Anfang der sich daraufhin ausbreitenden Welle erreicht zum Zeitpunkt t 1 = 250 ms den Ort x 1 = L/2. a) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit und die Wellenlänge der Welle, sowie die maximale Schnelle m des Wellenträgers. b) Welche Auslenkung y 2(t) besitzt der Wellenträger am Ort x 2 = L/4 zu den Zeiten t 2 = 250 ms und t 2 = 350 ms? c) Nach welcher Zeit erreicht die Welle den Ort x 3 = 90,0 cm und wann tritt dort zum ersten Mal ein negatier Nulldruchgang auf? Berechnen sie auch die Zeiten, zu denen dort zum zweiten und dritten Mal die Auslenkung y 3 = 1,00 cm erreicht auftritt. Aufgabe 5) In einem neuen Versuch mit dem Wellenträger aus Aufgabe 4 beginnt zur Zeit t o = 0 s am linken und am rechten Ende gleichzeitig eine harmonische Schwingung (f = 5,00 Hz, y m = 30,0 mm), wobei sich das linke Ende nach oben, das rechte Ende nach unten bewegt. a) Welche Auslenkung besitzt der Punkt x 1 = L/2 nach 0,20 s, welche nach 0,33 s? Jeweils mit erbaler Begründung! b) Sobald die beiden Wellenfronten sich treffen entstehen stehende Wellen. Welchen Abstand haben benachbarte Wellenbäuche und wo befinden sich diese? c) Berechnen Sie die Auslenkung des Punktes x 4 = 1,2 m zu den Zeiten t 4 = 400 ms und t 4 = 455 ms

2 Aufgabe 1) Ein Wellenträger wird mit f = 2,0 Hz harmonisch angeregt, wobei sich Wellen der Länge 30 cm und der Amplitude 3,0 cm bilden. Zur Zeit t o = 0,0 s durchläuft der Anfang des Wellenträgers gerade den positien Nulldurchgang. a) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit c. b) Stellen Sie die allgemeine Formel y(x,t) = für die Auslenkung der Welle auf. c) Stellen Sie die Formel für den zeitlichen Verlauf der Schwingung des Punktes x 20 auf, der sich 20 cm om Anfang des Wellenträgers entfernt befindet. d) Welche Auslenkung besitzt der Punkt x 15 = 15 cm zur Zeit t 1 = 625 ms? Zu welchen Zeiten besitzt dieser Punkt wieder die gleiche Auslenkung? e) Lösen Sie die Teilaufgabe b) für den Fall, dass der Anfang des Wellenträgers zur Zeit t o = 0,0 s (I) gerade den negatien Nulldurchgang durchläuft bzw. (II) gerade maximale positie Auslenkung besitzt. a) c = λ/t = λ f = 0,3 m 2 Hz = 0,6 m/s c = 0,60 m/s b) y (t; x) = y m sin( ωt - kx ) mit y m = 3,0 cm ω = 2π f = 12,6 1/s k = 2π/λ = 20,9 1/m c) s (t; 0,2m) = s m sin( ωt - k 0,2 m ) s (t; 0,2m) = s m sin( ωt - 4,2 ) (ω und s m s. oben.) d) s (t1; 0,15m) = s m sin( ω 0,625 s - k 015 m ) = - 3,0 cm s (t1; 0,15m) = - 3,0 cm y Anschaulich: Wellenträger zur Zeit t 0 : c 0,15 m 0,3 m x Zur Zeit t 0 ist y (0,15m) = 0 m, Punkt bewegt sich nach unten. Zur Zeit t 1 = 625 ms = 1 ¼ T hat dieser Punkt 1 ¼ Schwingungen ausgeführt und besitzt damit negatie Maximalauslenkung. Die gleiche negatie Maximalauslenkung wird zu den Zeiten t n = t 1 + n T erreicht. n 0, T = 0,50 s e) ( I ) s (t,x) = - s m sin( ωt - kx ) (II) s (t,x) = s m cos( ωt - kx )

3 Aufgabe 2) Zwei Lautsprecher schwingen gleichphasig mit f = 680 Hz und gleicher Amplitude. a) In welchem Abstand δ muss man sie aufstellen, damit ein weit entfernter Hörer minimale Lautstärke wahrnimmt. b) Für welche Frequenzen ergäbe sich in diesem Abstand maximale Lautstärke? a) Geg.: f = 680 Hz, c = 340 m/s Ges.: δ Ansatz: Min. Lautstärke wenn sich beide Wellen auslöschen. z. B. wenn φ = π => δ = λ/2 mit c = λ f folgt: λ = c/f = 0,5 m => δ = 25,0 cm b) Geg.: Abstand x = 25 cm, c = 340 m/s Ges. f k Ansatz: Max. Lautstärke wenn x = δ = k λ k mit k 0 => λ k = x/k = c/f k => f k = c/ x k = k 1360 Hz f k = k 1,36 khz mit k 0 c) Um welchen Bruchteil ist die Amplitude der Überlagerung größer als die der Einzelwelle wenn δ = 3,4 cm und f = 680 Hz? (Lösung kann zeichnerisch erfolgen.) - Berechnung der Phasenerschiebung φ / 2π = δ / λ φ = 2π δ/λ φ = 0,427.. bzw. 24,5 - Berechnung der Gesamtamplitude s m s m2 φ s m1 s 1(t) s (t) ½ φ cos( φ/2) = ½ s m / s m2 s m = 2 cos( φ/2) s m2 s m = 1,95 s m2

4 Aufgabe 3) Listen Sie tabellarisch auf, worin sich stehenden on fortschreitenden Wellen unterscheiden bzw. worin sie sich gleich sind. Ausbreitungsrichtung Fortschreitende Welle Sichtbar Stehende Welle nicht orhanden Form Berge und Täler wandern Knoten und Bäuche stehen Amplitude überall gleich an jedem Punkt anders Phasenlage überall erschieden Zwischen 2 Knoten gleich Energietransport orhanden nicht orhanden

5 Aufgabe 4) Der abgebildete lineare Wellenträger (z. B. ein Gummiband) besitzt die Länge L = 300 cm und befindet sich für t < 0s in der Gleichgewichtslage. y L/2 L x Zum Zeitpunkt t = 0 s beginnt das linke Ende (x = 0 m ) eine harmonische Schwingung nach oben mit f = 5,00 Hz und y m = 30,0 mm. Der Anfang der sich daraufhin ausbreitenden Welle erreicht zum Zeitpunkt t 1 = 250 ms den Ort x 1 = L/2. a) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit und die Wellenlänge der Welle, sowie die maximale Schnelle m des Wellenträgers. b) Welche Auslenkung y 2(t) besitzt der Wellenträger am Ort x 2 = L/4 zu den Zeiten t 2 = 250 ms und t 2 = 350 ms? c) Nach welcher Zeit erreicht die Welle den Ort x 3 = 90,0 cm und wann tritt dort zum ersten Mal ein negatier Nulldruchgang auf? Berechnen sie auch die Zeiten, zu denen dort zum zweiten und dritten Mal die Auslenkung y 3 = 1,00 cm erreicht auftritt. a) c = s / t = 1,5 m / 0,25 s = 6,0 m/s c = 6,00 m/s c = λ f => λ = c / f = 1,2 m λ = 1,20 m Berechnung der max. Schnelle: Erster Punkt schwingt gemäß s (t) = s m sin(ωt) (t) = s m ω cos(ωt) = m cos(ωt) m = s m ω = 0,942.. m/s m = 0,942 m/s b) Die Welle hat den Punkt x 2 = L/4 zu den Zeiten t 2 bzw. t 2 ' bereits erreicht. Es gilt also: y (t,x) = y m sin(ωt-kx) ( ω = 2πf k = 2π/λ ) Für t 2 erhält man: Für t 2 ' erhält man: y (t2,x2) = - 2,12 cm y (t2',x2) = + 2,12 cm c) c = x/t => t 3 = x 3 /c = 0,9 m / 6 m/s =0,150 s t 3 = 150 ms Erster neg. Nulldurchgang bei x 3 zur Zeit t 4 = t 3 + T/2 = 0,350 s

6 Erster Zeitpunkt t 5 wenn bei x 3 der die Auslenkung y 3 = 1,00 cm erreicht wird: y (t5,x3) = y m sin(ωt 5 -kx 3 ) y (t5,x3) / y m = sin(ωt 5 -kx 3 ) = 1/3 => ωt 5 kx 3 = 0, => t 5 = (0, kx 3 ) / ω = 0,161 s t 5 = 0,161 s Weitere Zeitpunkte an denen bei x 3 der die Auslenkung y 3 = 1,00 cm erreicht wird: y-t-diagramm: y in cm 1, t in ms t t = 161 ms ms = 11 ms t 6 = 250 ms t = 239 ms t 7 = t 5 + T = 261 ms u.s.w.

7 Aufgabe 5) In einem neuen Versuch mit dem Wellenträger aus Aufgabe 4 beginnt zur Zeit t o = 0 s am linken und am rechten Ende gleichzeitig eine harmonische Schwingung (f = 5,00 Hz, y m = 30,0 mm), wobei sich das linke Ende nach oben, das rechte Ende nach unten bewegt. a) Welche Auslenkung besitzt der Punkt x 1 = L/2 nach 0,20 s, welche nach 0,33 s? Jeweils mit erbaler Begründung! Skizze: c l = 300 cm c Man könnte zunächst überlegen, ob die Welle zu den genannten Zeiten überhaupt schon bei x 1 angekommen ist. Da aber der Punkt x 1 genau in der Mitte des Wellenträgers liegt und beide Wellen gegenphasig dort ankommen, ist für alle Zeiten die Amplitude an diesem Ort y 1 = 0,0 mm. b) Sobald die beiden Wellenfronten sich treffen entstehen stehende Wellen. Welchen Abstand haben benachbarte Wellenbäuche und wo befinden sich diese? Die Wellenbäuche haben stets den Abstand λ/2. Mit c = λ f folgt: λ = c / f = 6 m/s / 5 1/s = 1,2 m => - In der Mitte ist ein Wellenknoten. - 0,60 und 1,2 m links und rechts daon sind auch Wellenknoten , 0,90 und 1,5 m links und rechts daon sind Wellenbäuche. c) Berechnen Sie die Auslenkung des Punktes x 4 = 1,2 m zu den Zeiten t 4 = 400 ms und t 4 = 455 ms. Da wie in c) ermittelt, die stehende Welle bei x 4 = 1,2 m einen Knoten besitzt, ist dort die Auslenkung zu allen Zeiten 0 mm. Man muss also gar nichts berechnen.