Alle Schwingungen, die sich nicht durch eine einfache Sinus-(Cosinus- )Funktion darstellen lassen, nennt man anharmonische Schwingungen.

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1 1..8 Phase/π ω/ω Bei der Resonanzfrequenz ist also bei maximaler Kraft jeweils der Nulldurchgang der Auslenkung, das heisst, die maximale Geschwindigkeit! Mit wachsender Frequenz ist die Kraft gerade der Auslenkung entgegen gerichtet, so dass die Amplitude schliesslich verschwindet und keine Auslenkung mehr stattfindet Anharmonische Schwingungen Alle Schwingungen, die sich nicht durch eine einfache Sinus-(Cosinus- )Funktion darstellen lassen, nennt man anharmonische Schwingungen. 61

2 Auslenkung Zeit Auslenkung Zeit Der Satz von Forier besagt jedoch, dass jeder periodische Vorgang als Summe (i.a. beliebig vieler) harmonischer Vorgänge, also solcher mit einem sinusförmigen Verlauf, dargestellt werden kann. Das Auffinden dieser harmonischen Schwingungen nennt man Fourier-Zerlegung oder Fourier-Analyse Bsp: Fourier-Zerlegung der Dreiecksschwingung 62

3 Frequenz (mhz) Auslenkung Amplitude -2x Zeit (s) Die Fourier-Analyse ist ein weit verbreitetes Verfahren zur Analyse von Schwingungen Schwebung Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen, deren Frequenzen sich nur leicht unterscheiden, so entsteht eine Schwebung. Dabei ändert sich die Amplitude einer Schwingung, deren Frequenz dem Mittelwert der Frequenzen der Ausgangsschwingungen entspricht, mit einer Frequenz, die der halben Differenz der Frequenzen der beiden harmonischen Schwingungen entspricht: sin ω 1 t+sin ω 2 t = 2 sin ω 1+ω 2 2 t cos ω 1 ω 2 2 t. 63

4 2 2A cos!" 2 t Gekoppelte Oszillatoren Betrachten wir zwei gekoppelte Oszillatoren, so gibt es zwei verschiedene Schwingungsmodi: Beide Oszillatoren schwingen gemeinsam (gleichphasig). Bei dieser Schwingung schwingt der Massenmittelpunkt. Im zweiten Modus schwingen beide Oszillatoren gegenphasig. Dies sind die Eigenschwingungen des Systems. Je nachdem, wie wir die gekoppelten Oszillatoren anregen (Anfangsbedingung), erhalten wir verschiedene Trajektorien. Stossen wir zum Beispiel einen Oszillator an, so wird dessen Amplitude nach und nach kleiner, während die des zweiten entsprechend wächst und so fort. Wir können jede dieser Schwingungs-Trajektorien durch eine Überlagerung der Eigenschwingungen ausdrücken. 64

5 5 4 3 Auslenkung Zeit 3.2 Mechanische und akustische Wellen Ausbreitung von Schwingungen Wir betrachten jetzt viele gekoppelte Oszillatoren. Stossen wir den ersten an, so überträgt dieser seine Energie auf den zweiten, der dann auf den dritten und so weiter. Die Schwingung pflanzt sich also mit einer bestimmten Geschwindigkeit räumlich fort. Einen solchen Vorgang nennen wir Welle. Offensichtlich benötigen wir zur Beschreibung einer Welle neben den Grössen für die Schwingung (Periode oder Frequenz und Amplitude) noch eine weitere Grösse: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Ein mit konstanter Geschwindigkeit fortschreitender zeitlich periodischer Prozess wird zu einer räumlichen Periodizität führen. Analog zu der Grösse ωt für die Schwingung können wir für die Ortsveränderung eine Grösse kx einführen, so dass wir für eine harmonische Welle, die sich in x-richtung ausbreitet, erhalten: A(t, x) = A sin(ωt kx). 65

6 räumliche Periodizität: Wellenlänge λ Die Grösse A ist jetzt von zwei Grössen abhängig, von der Zeit t und vom Weg x. Graphisch können wir dies auf verschiedene Weisen darstellen: Zum Beispiel als Bild, in dem die Farbe für eine bestimmte Auslenkung steht: Zeit (s) s 1. 15m l.5 Weg (m) 1 T. Auslenkung Wir können jetzt sehr schön die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle am Anstieg von Geraden gleicher Auslenkung oder gleicher Phase erkennen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird auch Phasengeschwindigkeit c genannt: c = λ. Es soll betont werden, dass sich kein Körper mit der T Geschwindigkeit c bewegt, sondern nur der Schwingungszustand. Gleichzeitig wird aber von der Welle Energie transportiert, was einleuchtend ist, da ein Schwingungszustand transportiert wird, in dem 66

7 Energie gespeichert ist. Die Energie des Schwingungszustandes ist proportional zum Quadrat der Auslenkung. Wenn wir eine Momentaufnahme der Welle machen, also die Zeit festhalten, und nach der Abhängigkeit der Auslenkung vom Ort schauen, so haben wir eine räumliche Periodizität. Eine solche Momentaufnahme entspricht einem vertikalen Schnitt in der zweidimensionalen Darstellung der Welle. Den räumlichen Abstand zwischen zwei Zuständen gleicher Auslenkung nennen wir Wellenlänge λ. Damit ist klar, dass gilt: k = 2π λ l profile #2 of welle. Row 75,width= Auslenkung Weg (m) Wellenarten Im dreidimensionalen Raum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c natürlich ein Vektor. Alle Punkte einer Welle, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t 1 in exakt dem gleichen Schwingungszustand sind, nennen wir eine Wellenfront. Damit ist klar, dass der Vektor der Ausbreitungsgeschwindigkeit stets senkrecht auf den Wellenfronten steht. 67

8 Von einer ebenen Welle sprechen wir, wenn die Wellenfronten Ebenen sind. In diesem Fall hat der Vektor der Ausbreitungsgeschwindigkeit überall im Raum die gleiche Richtung. Bei einer Kugelwelle (zweidimensional: Kreiswelle) bilden die Wellenfronten Kugeln. Der Vektor der Phasengeschwindigkeit zeigt in dem Fall vom Kugelmittelpunkt weg. Die Richtung der Phasengeschwindigkeit wird auch als Wellennormale bezeichnet. 68

9 Wellennormale Wellenfront Kugelwelle Wellenfront Wellennormale Ebene Welle 69

10 3.2.3 Transversale und longitudinale Wellen, Polarisation Liegt die Auslenkung in Richtung der Ausbreitungsrichtung, so spricht man von einer longitudinalen Welle. Bei einer transversalen Welle steht die Auslenkung senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. Zeigt der Vektor der Auslenkung bei einer Transversalwelle stets in die gleiche Richtung, so nennen wir die Welle linear polarisiert. Rotiert der Vektor der Auslenkung und hat dabei stets den gleichen Betrag, so sprechen wir von zirkularer Polarisation, wenn sich beim Umlauf der Betrag ändert, von elliptischer Polarisation Energietransport in Wellen Energie eines Teilchens in der Welle: E = 1 2 ka2, wobei A die Amplitude der Schwingung ist mit k = mω 2 folgt: E = 1 2 mω2 A 2 und mit m = ϱv = ϱa l = ϱac t: E = 1 2 ϱac tω2 A 2 Die transportierte Energie ist proportional zum Quadrat der Amplitude und zum Quadrat der Frequenz Die transportierte Leistung ist die je Zeitintervall transprotierte Energie: P = E t = 1 2 ϱacω2 A 2 Als Intensität bezeichnet man die auf die Fläche bezogene Leistung: I = P/A 7

11 Bei einer Kugelwelle nimmt demnach die Intensität mit dem Quadrat des Abstandes vom Quellort ab: I Kugel 1 r Die Wellengleichung sowohl zeitliche als auch räumliche Periodizität Vermutung: Auch zweite Ableitung der Auslenkung nach dem Weg muss in der Differentialgleichung stehen 2 A t 2 2 A x 2 Verknüpfung von Zeit und Weg: Ausbreitungsgeschwindigkeit c 2 A t 2 = 1 c 2 2 A x 2 Die Welle mit der Funktion A = A sin(ωt kx) erfüllt die obige Diff.- Gl., die wir aus diesem Grund Wellengleichung nennen Das Superpositionsprinzip An jedem Ort und zu jeder Zeit ist die Auslenkung die Summe der Auslenkungen verschiedener Wellen Interferenz Überlagern sich an einem Ort x mehrere Wellen, so ergibt sch die Auslenkung zu jeder Zeit als Summe der Einzelauslenkungen: A(t, x) = A 1 (t, x) + A 2 (t, x) +... Das heisst, die Wellen beeinflussen sich gegenseitig nicht. 71

12 Diese Überlagerung wird als Interferenz bezeichnet. Führt die Addition der Amplituden zur grösstmöglichen Gesamtamplitude, spricht man von konstruktiver Interferenz, haben die Amplituden unterschiedliches Vorzeichen und ist die resultierende Amplitude minimal, spricht man von destruktiver Interferenz. Sind die Frequenzen der sich überlagernden Wellen gleich, und haben diese eine feste Phasenbeziehung, so sind ergibt sich eine räumlich variierende, jedoch zeitlich konstante Amplitude Das Huygens sche Prinzip Das Huygens sche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Welle als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden kann, wobei die Elementarwellen Kugelwellen sind. Wie wir noch sehen werden, hilft das Huygens sche Prinzip, viele Phänomene der Wellenausbreitung zu verstehen Wellenausbreitung an Grenzflächen An der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit kommt es zur Brechung der Wellen. Dieses Phänomen können wir leicht durch Anwendung des Huygens schen Prinzips erklären: 72

13 α 2 α 2 α 1 α 1 Aus der Figur folgt das Brechungsgesetz: sin α 1 sin α 2 = c 1 c 2, wobei die Winkel α 1,2 jeweils zur Grenzflächennormalen gemessen werden und c 1,2 die Phasengeschwindigkeiten in den Medien sind. Zusätzlich finden wir durch Anwendung des Huygens schen Prinzips noch eine weitere Welle, die reflektierte: α 2 α 2 α 1 α r α 1 73

14 Wir sehen, dass der Reflexionswinkel α r gleich dem Einfallswinkel α 1 ist. Wie sieht es jetzt mit den Amplituden der reflektierten und der gebrochenen Welle aus? Die Amplitudenverhältnisse im Vergleich zur Ausgangsamplitude werden Reflexionskoeffizient r = Ar A bzw. Transmissionskoeffizient t = At A genannt. Betrachten wir das Verhältnis der Intensitäten, so kommen wir zum Reflexionsgrad R = Ir I = A2 r A 2 = r 2 bzw. zum Transmissionsgrad T = It I = A2 t = t 2. Aus der Energieerhaltung folgt sofort, dass gelten muss: T +R = 1, das heisst, die Summe A 2 der Intensitäten der reflektierten bzw. der gebrochenen Welle muss gleich der Intensität der einfallenden Welle sein Beugung Trifft eine Welle teilweise auf ein Hindernis, so kann sich die Welle in den Raum hinter dem Hindernis ausbreiten. Auch dieses Phänomen, das Beugung genannt wir, lässt sich durch das Huygens sche Prinzip erklären: Wir werden in der Optik noch genauer auf die Beugung eingehen Stehende Wellen Überlagern sich zwei Wellen mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung, aber gleicher Frequenz und Amplitude, so kommt es zur Entstehung stehender Wellen. 74

15 Schreiben wir für die Auslenkung der Überlagerung: A(t, x) = A sin(ωt kx) + A sin(ωt + kx), so erhalten wir unter Anwendung des Additionstheorems für die Sinusfunktion: A(t, x) = 2A sin(ωt) cos(kx). Das ist eine Schwingung mit räumlich periodischer Amplitude! Es gibt also Orte, an denen die Auslenkung zeitlich konstant ist, diese Orte nennen wir Knoten. Es gibt Orte, an denen cos(kx) = 1 ist; an diesen Orten ist die Amplitude maximal, wir nennen diese Orte Bäuche. Eine solche stehende Welle erhalten wir, wenn wir eine Welle vollständig reflektieren. Bei der Reflexion einer Welle gibt es zwei Möglichkeiten: entweder gibt es einen Phasensprung von π, dann gibt es an der Grenzfläche Knoten. Bei einem Seil würde dieser Fall einem festgebundenen Ende entsprechen, bei einer Schallwelle der Reflexion an einer Wand. Ist das Seilende frei oder wird eine Schallwelle am offenen Ende eines Rohres reflektiert, gibt es keinen Phasensprung, in diesem Fall ist Ort der Reflexion ein Schwingungsbauch. 1. Auslenkung Ort Auslenkung Ort 25 2 Auslenkung Ort 25 75

16 Eine stehende Welle transportiert keine Energie! Das ist einleuchtend, weil sich die Energieflüsse der hin- und rücklaufenden Welle aufheben. Nahezu alle Musikinstrumente beruhen auf dem Prinzip stehender Wellen. Ein Beispiel sind Saiten-Instrumente. Da dort die Saite an beiden Enden fest ist, ist die grösste Wellenlänge der stehenden Welle, der sogenannten Grundschwingung, durch λ = 2L gegeben. Als niedrigste Frequenz ergibt sich damit ν = c 2L Dopplereffekt Welchen zeitlichen Verlauf der Auslenkung erfährt ein Beobachter, der sich relativ zu einer sich ausbreitenden Welle und zum Medium mit der Geschwindigkeit v bewegt? Der zeitliche Abstand zwischen zwei Zuständen gleicher Auslenkung wird T = λ c v betragen. Damit erhalten wir für die Frequenz ν = c v = ν λ o (1 v ). Je nach Vorzeichen von v c erhöht oder erniedrigt sich die Frequenz: Bewegt sich der Beobachter auf die Welle zu, erhöht sich die Frequenz, andernfalls erniedrigt sie sich. Bewegt sich jetzt der Ausgangspunkt der Welle mit einer Relativgeschwindigkeit v zum umgebenden Medium und zum Beobachter, so wird sich der räumliche Abstand zwischen zwei Zuständen gleicher Auslenkung, also die Wellenlänge, ändern. Und zwar hat sich die Quelle während der Zeit T um den Weg vt weiterbewegt, den wir zu der ursprünglichen Wellenlänge addieren (mit VZ!) müssen:λ = λ + vt = λ + λ c v = λ (1 + v). Damit erhalten wir für die Frequenz: ν = c = c λ. Auch in diesem Fall erhöht sich die Frequenz, wenn c λ (1+v/c) = ν 1+v/c sich die Quelle auf den Beobachter zubewegt, und verringert sich im anderen Fall. 76

17 Wir sehen, dass die Wellenlänge für den Fall c = v zu Null und für c < v sogar negativ wird. Handelt es sich bei den Wellen um Schallwellen und ist die Geschwindigkeit der Schallquelle schneller als die Schallgeschwindigkeit, spricht man von Überschall. Es bildet sich ein Kegel aus (der Machsche Kegel), in dem sich viele Wellen positiv überlagern, was zum bekannten Überschall-Knall führt. 77

18 Schallwellen (akustische Wellen) Akustische Wellen sind mechanische Wellen, bei denen die Wellenlänge sehr viel grösser als der mittlere Abstand der schwingenden Massenpunkte ist. Insbesondere verstehen wir darunter solche Wellen, deren Frequenz für das menschliche Ohr hörbar ist: 16 Hz < ν < 2 khz. Als mechanische Wellen sind Schallwellen an das Vorhandensein von Massenpunpunkten, also an das Vorhandensein von Materie, geknüpft. Schallwellen in Gasen und Flüssigkeiten sind Longitudinalwellen, gegenüber ihrer Gleichgewichtslage sind die Teilchen also in Richtung der Wellennormale ausgelenkt. Damit ergibt sich eine Änderung der Dichte bzw. des Druckes. Da wir den Druck am einfachsten messen können, verwenden wir zur Beschreibung der Schallwelle den Druck p: 78

19 Druck Zeit, Ort Schallgeschwindigkeit Die Phasengeschwindigkeit der Schallwellen ist die Schallgeschwindigkeit. Sie beträgt in Luft bei Normaldruck etwa 3 m/s. Allgemein lässt sich zeigen, dass für ideale Gase gilt: c Schall = κp/ϱ. Dabei ist κ der Adiabatenkoeffizient, auf den wir in der Thermodynamik noch zu sprechen kommen werden. Strahlungsleistung Darunter verstehen wir die je Zeiteinheit abgestrahlte Gesamtenergie: P = W. Die Strahlungsleistung wird auch als Energiestrom bezeichnet. t Intensität Die Intensität ist die auf die Fläche bezogene Strahlungsleistung: I = P, sie wird auch als Energiestromdichte bezeichnet. A Betrachten wir eine Kugelwelle, die von einer Quelle mit konstanter Strahlungsleistung ausgeht. Betrachten wir jetzt Kugeln mit unterschiedlichen Radien als durchströmte Flächen, so wird klar, dass diese mit dem Quadrat des Radius wächst. Das heisst, die Intensität einer Kugelwelle nimmt mit dem Quadrat des Abstandes von der Quelle ab. 79

20 Anders bei der ebenen Welle: hier tritt die gleiche Strahlungsleistung durch konstante Flächen, also ist die Intensität unabhängig vom Ort Abschwächung von Wellen durch Absorption Die Energie, die eine Welle transportiert, kann durch Dämpfung abgeschwächt werden. Wir sprechen dann von Absorption. Die Abschwächung je Weg dx ist sicher proportional zur Ausgangsintensität: Es wird stets ein bestimmter Teil der Energie absorbiert. Als Differentialgleichung ausgedrückt: di Idx oder mit der Proportionalitätskonstante ε: di I = εdx. Integriert man diese Gleichung, erhält man: I = I e εx. Als ein ( Mass ) I für die Abschwächung wird das Pegelmass verwendet: z = 1 lg I = ( ) 2 ( A 1 lg A = 2 lg A A ). Wie man sieht, ist z eine diemsionslose Zahl, dennoch gibt man ihr eine Einheit, um zu wissen, was gemeint ist: [z] = db, das Dezibel Akustik der Musik In der traditionellen Musik werden die Töne in Tonleitern angeordnet. Diese sind in Oktaven gegliedert, wobei sich die Frequenzen des tiefsten und höchsten Tons einer Oktave um den Faktor zwei unterscheiden. Innerhalb der Oktave unterteilt man die Töne in 12 Halbtonschritte, die bei der temperierten Stimmung ein festes Frequenzverhältnis von 12 2 zueinander aufweisen. In der Dur-Tonleiter werden diejenigen dieser Halbtöne verwendet, die entstehen, die zur Grundfrequenz annähernd im Verhältnis 9:8, 5:4,4:3,3:2,5:3 und 15:8 stehen (Sekunde, Terz, Quart, Quint, Sext, Septime, die exakten Verhältnisse entsprechen der reinen Stimmung). 8