Übungsblatt 6 ( ) mit Lösungen

Transkript

1 1) Wellengleichung Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 014/15 Übungsblatt 6 ( ) mit Lösungen Eine Welle, die sich in positiver x-richtung mit der Geschwindigkeit v ausbreitet, hat die Form mit einer beliebigen zweifach differenzierbaren Funktion f. u(x, t) = f(x v t) (1) (a) Bilden Sie die zweiten Ableitungen x u(x, t) und t u(x, t). Zeigen Sie, dass daraus die Wellengleichung folgt. u x 1 v u t = 0 () (b) Bilden Sie analog zu (1) eine Lösung, die sich in negativer x-richtung ausbreitet. (c) Zeigen Sie, dass harmonische Wellen u(x, t) = sin(k x ± ω t) Lösungen der Wellengleichung () sind. Geben Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit v und die Dispersionsrelation ω(k) an? (ω > 0, k > 0) Lösung zu 1) Wellengleichung (a) u(x, t) = f(x v t) = f(a(x, t)) mit a = x v t ( ) x u = a f x a = }{{} a f =1 x u = a f ( ) ( ) t u = a f t a }{{} = v t u = ( ) t t u = v t = v a f ( ) ( ( )) a f = v a a f a = v t a f ( ) 1

2 Durch Einsetzen von ( ) in ( ) findet man: u = v t x u 0 = x u 1 v t u (b) Auch u(x, t) = f(x + v t) ist eine Lösung der Wellengleichung. Eine Welle dieser Form propagiert in umgekehrter Richtung. (c) u x 1 u v t = 0 (k 1v ) ω sin(k x ± ω t) = 0 v k = ω v = ω k ω(k) = v k

3 ) Kundtsches Rohr In einem Rohr mit einem offenen und einem geschlossenen Ende können stehende Schallwellen auftreten. Diese Schallwellen werden sichtbar, wenn man das Rohr mit Staub oder Mehl füllt, welches von der Schwingung der Schallwellen aufgewirbelt wird. (gemeinfreie Grafik, adaptiert von s_tube_de.svg) (a) Da sich die Luft am geschlossenen Ende nicht bewegen kann, muss sich auf dieser Seite ein Wellenknoten befinden. Am offenen Ende hat die stehende Welle einen Wellenbauch. Leiten Sie aus diesen Randbedingungen eine Beziehung zwischen der Länge l des Kundtschen Rohrs, der Wellenlänge λ und der Anzahl der Knoten n {0, 1,,... } her. (Anmerkung: Anzahl der Knoten zusätzlich zum "trivialen" Knoten am festen Ende, daher Beginn der Zählung bei n = 0) (b) Die Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen beträgt v Schall = 343 m. Welcher Wellenlänge λ entspricht s der Kammerton a 1 (f = 440 Hz)? (c) Der Kammerton a 1 führt in einem solchen Kundtschen Rohr der Länge l = 1 m nicht zu einer stehenden Welle. Begründen Sie das mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben (a) und (b). (d) Der Experimentator erhöht nun die Frequenz des Tones und beobachtet den Staub im Rohr. Bei welcher Wellenlänge bzw. Frequenz erwartet man, dass eine stehende Welle auftritt und wie viele Wellenknoten n hat diese Welle? Lösung zu ) Kundtsches Rohr (a) Der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenknoten ist λ. Die Distanz zwischen einem Wellenknoten und dem nächsten Wellenbauch ist daher λ. Daher gilt für die stehende Welle: 4 (b) l = n λ + λ 4 v = λ f λ = v f = 343 m s Hz = m 3

4 (c) Wir verwenden λ = m aus (b) und l(n) = n λ + λ aus (a): 4 n l(n) m m m m.. (d) Da sich die Frequenz erhöhen und damit die Wellenlänge erniedrigen soll, kommt nur der Fall mit n = 3 Wellenknoten (oder noch mehr Knoten) in Betracht. l(λ) = n λ + λ 4 = 7 4 λ λ = 4 7 l und verwenden λ = v f : v f = 4 7 l f = 7 v 4 l = m s 1 1 m = 600 Hz 4

5 3) Interferenz von Schallwellen Eine Kugelwelle mit Erregerzentrum bei r 0 hat die folgende Gleichung für die Auslenkung ξ am Ort r: ξ ( r, t) = A 0 r r 0 sin (ωt k r r 0 ) Wir nehmen nun an, dass sich zwei punktförmige Schallquellen, die phasengleich abstrahlen, an den Koordinaten r 1 und r befinden. Ein ebenfalls als punktförmig angenommenes Mikrofon befinde sich am variablen Ort r. (a) Geben Sie allgemein an, wann sich die beiden Schallwellen konstruktiv und wann destruktiv überlagern. (b) Die Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen beträgt v Schall = 343 m. Welche Wellenzahl k und s welche Wellenlänge λ ergeben sich also bei einer Frequenz der Schallwelle von f = 00 Hz? (c) Für die Orte der Erregerzentren der Schallquellen gelte nun r 1 = (x 0, 0, 0) und r = ( x 0, 0, 0). Das Mikrofon werde parallel zur x-achse bei der Koordinate y = 0 und festem Abstand z 0 bewegt. Befindet sich bei x = 0 ein Maximum der Interferenz oder ein Minimum? Bei welchen x-koordinaten bilden sich die ersten und zweiten Nebenmaxima? Berechnen Sie das Ganze für zwei Zahlenbeispiele, bei denen in beiden Fällen z 0 = 0 m ist, und x 0 = 1 m bzw. x 0 = 3 m. Lösung zu 3) Interferenz von Schallwellen (a) Bei konstruktiver Interferenz muss für die Differenz der Phasen der beiden Kugelwellen am Ort r gelten: mit ganzzahligem n =...,, 1, 0, 1,,... Bei destruktiver Interferenz gilt entsprechend: k ( r r 1 r r ) = n π r r 1 r r = nλ k ( r r 1 r r ) = (n + 1) π r r 1 r r = (n + 1) λ (b) Die Wellenlänge folgt aus: fλ = v Schall λ = v Schall f = 343 m s 1 00 s 1 = m Für die Wellenzahl gilt: k = π λ = m 1 (c) Aufgrund der Symmetrie, dass sich die beiden Schallquellen gleich weit auf der x-achse vom Ursprung entfernt befinden, muss sich bei x = 0 ein Maximum befinden, da die Weglängen zu beiden Schallquellen gleich 5

6 lang sind. Folglich ist die Differenz der Weglängen Null und es gilt n = 0. Dies kann man natürlich auch formal mathematisch zeigen, indem die Gleichung aus Teilaufgabe (a) genommen wird: r r 1 r r = nλ (x x 0 ) + z0 (x + x 0 ) + z0 = nλ Für x = 0 folgt also: x 0 + z0 x 0 + z0 = 0 = nλ n = 0 Für die Orte r = (x, 0, z 0 ) der ersten und zweiten Nebenmaxima muss entsprechend gelten: (x x 0 ) + z0 (x + x 0 ) + z0 = nλ (x x 0 ) +z0 = n λ +(x+x 0 ) +z0 +nλ (x + x 0 ) + z0 Hierbei ist n entweder ±1 (erstes Nebenmaximum) oder ±. Nach Ausmultiplizieren der Klammern, Kürzen und Umformen erhält man: 4xx 0 n λ = nλ x + x 0 + xx 0 + z0 Nochmaliges Quadrieren liefert: 16x x 0 +n 4 λ 4 +8n λ xx 0 = 4n λ ( x + x 0 + xx 0 + z 0 ) 16x x 0 +n 4 λ 4 = 4n λ x +4n λ (x 0 +z 0) Zusammenfassen der Terme mit x und Auflösen nach x liefert schließlich: ( x (4x 0 n λ ) = n λ x 0 + z0 1 ) 4 n λ x 0 + z0 1 4 x = nλ n λ 4x 0 n λ Auffällig an der Gleichung ist, dass das Argument der Wurzel negativ werden kann, so dass keine Lösung mehr existiert. Bei den Zahlenbeispielen passiert z.b. Folgendes: z 0 = 0 m und x 0 = 1 m liefert nur für n = 1 eine Lösung, da für n = der Nenner des Arguments der Wurzel negativ wird. Es gibt also nur ein erstes Nebenmaximum und kein zweites. Für die x-koordinate des ersten Nebenmaximums gilt: n = 1 x = 33.3 m z 0 = 0 m und x 0 = 3 m liefert: n = 1 x = 6.03 m n = x = 14.0 m Anmerkung: Die obige Rechnung ist zwar nicht sonderlich schwierig, aber relativ lange. In der Klausur kommen sicherlich keine so langen Rechnungen vor, aber in den Übungen sollen ja auch Fälle betrachtet werden, die etwas komplizierter sind. 6