Schallgeschwindigkeit von Metallen

Transkript

1 c Doris Samm Schallgeschwindigkeit von Metallen 1 Der Versuch im Überblick Wir sind von Schallwellen umzingelt. Sei es durch wohlklingende Musik oder lärmende Maschinen. Manchmal knallt es auch (Abb. 1). Abbildung 1: Mögliche Schallquellen. Schallwellen können sich nur in einem Medium ausbreiten: einem Gas, einer Flüssigkeit oder einem Festkörper. Klar! Kein Medium, keine Schallwelle: Das Vakuum ist lautlos. Doch wie schnell breitet sich eine Schallwelle aus? Vielleicht mit 330 m/s oder doch eher mit 1530 m/s? Beide Antworten könnten richtig sein, denn die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Schallwelle - kurz Schallgeschwindigkeit genannt - hängt von vielen Faktoren ab. So ist es z.b. nicht egal, ob die Schallwelle sich in Kupfer oder Luft ausbreitet und welche Temperatur die Medien haben. Die Kenntnis von Schallgeschwindigkeiten ist wichtig, hilft sie doch abzuschätzen, wie weit ein Gewitter entfernt ist oder zu messen, wie tief das Meer ist (Abb.2). Für einige wenige Spezialfälle kann man die Schallgeschwindigkeit berechnen, meist sind jedoch Messungen notwendig. Wie kann man die Schallgeschwindigkeit unterschiedlicher Medien, insbesondere die von Metallen, messen?

2 c Doris Samm Abbildung 2: Den Abstand zu einer Gewitterzone und die Meerestiefe kann man mit Hilfe von Schallwellen bestimmen. Es gibt viele Methoden. Im Rahmen des Praktikumversuchs lernen Sie zwei Methoden kennen: Laufzeitmessung Sie sollen die Schallgeschwindigkeit von Metallen mit Hilfe von Laufzeitmessungen bestimmen. Diese Methode ist (relativ) einfach. Man misst die Zeit t, die eine Schallwelle zum Durchlaufen einer bestimmten Strecke s braucht. Eine einfache Rechnung führt zur Schallgeschwindigkeit c: Man nehme die für diesen Spezialfall gültige Gleichung der Geschwindigkeit c = s/ t und setze die gewonnenen Messwerte ein. Diese Methode ist scheinbar einfach. Wie Sie im Praktikumsversuch feststellen werden, ist die Messung nur mit relativ hohem elektronischem Aufwand machbar. Wie kann man aber mit einfachen technischen Mitteln die Schallgeschwindigkeit von Metallen bestimmen? Die Antwort lautet: Mit Hilfe der sogenannten Kundt schen Staubfiguren. Kund tsche Staubfiguren Mit Hilfe der Kundt schen Staubfiguren kann man mit technisch einfachen Hilfsmitteln die Schallgeschwindigkeit, z.b. von Metallen, bestimmen. Allerdings hat die Methode einen kleinen Nachteil : Sie ist physikalisch ziemlich trickreich.

3 c Doris Samm Bei der Methode Kundt sche Staubfiguren wird in einem Metallstab eine Schallwelle erzeugt. Die Schallwelle wird auf eine Luftsäule, die sich in einem Glasrohr befindet, übertragen. Dort bilden sich stehende Wellen, die man mit Hilfe von aufgewirbeltem Korkmehl sichtbar macht. Man bestimmt die Wellenlänge der stehenden Welle der Luftsäule λ L und des Metalls λ M. Mit der bekannten Schallgeschwindigkeit von Luft c L erhält man die Schallgeschwindigkeit vom Metall c M : c M = c L λ M λ L. Im Rahmen des Praktikumsversuchs sollen Sie die Schallgeschwindigkeit von zwei verschiedenen Metallen mit Hilfe der beiden Methoden bestimmen. Weiterhin sollen Sie das Frequenzspektrum von Schallwellen messen. 2 Die Kundt schen Staubfiguren Die Bestimmung von Geschwindigkeiten aus Laufzeitmessungen ist vom Prinzip her wohl jedem klar. Was aber verbirgt sich hinter den Kundt schen Staubfiguren? Kundt sche Staubfiguren erzeugt man mit Hilfe der Kundt schen Anordnung, benannt nach dem deutschen Physiker A. Kundt. Die Kundt sche Anordnung besteht aus einem mit Korkmehl gefüllten Glasrohr und einem Metallstab. An einem Ende des Metallstabes ist ein durchbohrter Korkstopfen aufgeschoben. Der Metallstab ist (sehr) fest in der Mitte eingespannt und ragt in das Glasrohr hinein (Abb. 3). Abbildung 3: Kundt sche Anodnung. Der Stab wird durch axiales Reiben in Schwingungen versetzt, die sich im Metallstab ausbreiten: Es entsteht eine Schallwelle, die durch einen hohen Ton deutlich hörbar ist. Die Schallwelle wird am Ende des Stabes reflektiert und überlagert sich mit der einlaufenden Welle zu einer stehenden Welle.

4 c Doris Samm Der Korkstopfen am Ende des Stabes überträgt die Schallwelle auf die Luft im Glasrohr. Erreicht die Schallwelle das Ende des Glasrohres, wird sie ebenfalls unabhängig davon, ob das Glasrohr verschlossen oder offen ist reflektiert und überlagert sich mit der einlaufenden Welle zu einer stehenden Welle. Sie wirbelt das Korkmehl auf: Es entstehen die Kundt schen Staubfiguren (Abb. 4). Abbildung 4: Kundt sche Staubfiguren. Das aufgewirbelte Korkmehl bildet ein bizarres Muster mit rippenartigen Unterstrukturen. Als übergeordnete Struktur entstehen in regelmäßigen Abständen Schwingungsbäuche (Orte, an denen die Auslenkung maximal wird) und Schwingungsknoten (Orte, an denen die Auslenkung immer null ist) (Abb. 5). (Übrigens: Die physikalische Erklärung der Rippenstruktur ist äußerst kompliziert. Sie basiert auf der Bildung von Turbulenzen beim Umströmen der Korkteilchen und elektrostatischer Kräfte. Wir überlassen die Erklärung den Experten.) Die Schwingungsbäuche kann man nicht sehen, aber die Schwingungsknoten: An den Orten der Schwingungsknoten passiert nichts. Das Korkmehl bleibt da wo es ist: Es rührt sich nicht vom Fleck. Abbildung 5: Kundt sche Staubfiguren. Mit Hilfe der Kundt schen Staubfiguren (hier das aufgewirbelte Korkmehl) kann man die Wellenlänge der Schallwelle λ L von Luft bestimmen, indem man den Abstand zwischen zwei Schwingungsknoten misst. Mit der (bekannten) Schallgeschwindigkeit von Luft c L folgt daraus die Frequenz f L. Die Frequenz der Schallwelle in Luft f L ist identisch mit der im Metallstab f M. Da man die Wellenlänge der Schallwelle im Metall λ M mit Hilfe theoretischer Überlegungen bestimmen kann, ist der Weg frei zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit des Metallstabes c M : c M = c L λ M λ L.

5 c Doris Samm Soweit zum Versuchsaufbau und dem Versuchsgeschehen. Es stellen sich folgende Fragen: Warum bilden sich im Metallstab und in der Luftsäule des Glasrohres stehende Wellen? Wie kann man mit Hilfe von theoretischen Überlegungen die Schallgeschwindigkeit des Metallstabes bestimmen und überhaupt: Was sind Schallwellen? Klarheit bringen die folgenden Abschnitte. 3 Schallwellen 3.1 Laufende Schallwellen Wie entsteht eine Schallwelle? Zur Erklärung nehmen wir als Medium das Gas des Kundt schen Rohrs. (Ähnliche Überlegungen gelten für den Metallstab.) In die Luftsäule des Kundt schen Rohres ragt der Metallstab (ST) mit seinem Korkstopfen und wirkt wie ein Stempel (Abb. 6). Abbildung 6: Rohr mit Stempel (schematisch). Durch das axiale Reiben des Metallstabes werden die longitudinalen Schallwellen erzeugt und zwingen den Korkstopfen zu Schwingungen. Angenommen unser Stempel wird nur einmal für kurze Zeit mit der Geschwindigkeit u nach rechts verschoben (Abb. 7). Was passiert? Abbildung 7: Ausbreitung der Druckwelle.

6 c Doris Samm Die angrenzenden Gasteilchen bewegen sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit u nach rechts, treffen nach einer kurzen Laufzeit (ca s) auf benachbarte Teilchen und übertragen ihren Impuls. Die getroffenen Gasteilchen geben nach kurzer Zeit ebenfalls ihren Impuls an weiter rechts liegende Nachbarteilchen weiter und so fort. Die Störung breitet sich im Raum aus: Es entsteht eine Schallwelle. Durch den Impulsübertrag entsteht eine kurzzeitige Dichte- und Druckerhöhung, die sich im Raum mit der Geschwindigkeit c der Schallgeschwindigkeit ausbreitet. In Abbildung 8 ist die Ausbreitung des Druckpulses p schematisch dargestellt. Abbildung 8: Ausbreitung des Druckpulses. Die Druckstörung wandert um die Strecke x = ct nach rechts, während sich in der Nähe des Stempels der Gleichgewichtszustand wieder einstellt. Alle Luftteilchen bleiben an ihrem Ort, nur der Impuls ist weitergegeben worden. Bewegt man den Stempel periodisch hin und her, werden ebenfalls die Luftteilchen zu einer periodischen Bewegung angeregt: Sie schwingen und übertragen ihren Schwingungszustand auf die benachbarten Gasteilchen. Abbildung 9: Ausbreitung der periodischen Druckwelle. Schwingen die Teilchen in Ausbreitungsrichtung der Welle, wird der Druck größer, beim Zurückschwingen wird der Druck kleiner (Abb. 9).

7 c Doris Samm Eine Schallwelle wird durch zwei Größen charakterisiert: Zum Einen durch die Geschwindigkeit der Gasteilchen in Ausbreitungsrichtung der Welle. Diese Geschwindigkeit nennt man Schallschnelle u. (Bitte unterscheiden Sie sorgfältig zwischen der Schallschnelle u der Gasteilchen und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle c.) Zum Anderen durch eine Druckänderung in Ausbreitungsrichtung der Welle. Diesen Druck die Differenz zwischen dem Umgebungsdruck und dem Druck der Schallwelle nennt man Schalldruck. Die Änderung der Schallschnelle und des Schalldrucks als Funktion von Ort und Zeit kann man mathematisch beschreiben. Zunächst betrachten wir die Schallschnelle. Wenn wir unterstellen, dass die Schallwelle eine harmonische Welle ist und sich entlang der positiven x-richtung ausbreitet, gilt für die Schallschnelle u als Funktion des Ortes x und der Zeit t: u(x, t) = u sin(kx ωt). (1) Die Welle ist durch die Wellenzahl k und die Kreisfrequenz ω charakterisiert und hat die Amplitude u. Eine mögliche Phasenverschiebung φ ist im Folgenden ohne Bedeutung, deshalb wurde sie gleich null gesetzt. Was sagt uns Gleichung (1)? Betrachten wir hierzu die Änderung der Schallschnelle an einem bestimmten Ort. Da jeder Ort so gut ist wie der andere, machen wir es uns einfach und wählen den Ort x = 0. Man erhält für den Wert der Schallschnelle als Funktion der Zeit (mit φ = 0): u(x = 0, t) = u sin( ωt). (2) Mit Hilfe von (2) sieht man, dass die Schallschnelle abhängig von der Zeit ist und zwischen den Werten u und u pendelt. Wie ändert sich die Schallschnelle mit dem Ort x? Hierzu betrachten wir die Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt, frieren quasi unsere Welle ein, halten das Geschehen an und betrachten die räumliche Verteilung der Schallschnelle. Da jeder Zeitpunkt so gut ist wie der andere, wählen wir willkürlich aber geschickt t = 0. Für die Schallschnelle als Funktion des Ortes gilt dann: u(x, t = 0) = u sin kx, (3) die Schallschnelle pendelt wiederum zwischen den Werten u und u.

8 c Doris Samm Gleichung (1) zeigt, dass bei der laufenden Schallwelle die Schallschnelle zu keiner Zeit und an keinem Ort immer null ist. Ähnliches wie bei der Schallschnelle gilt für den Schalldruck p(x, t). Die Abhängigkeit des Schalldrucks vom Ort x und der Zeit t lautet: p(x, t) = p sin(kx ωt). (4) Die Schallwelle wird wiederum charakterisiert durch die Wellenzahl k und die Kreisfrequenz ω. Auch beim Schalldruck haben wir eine mögliche Phasenverschiebung φ weggelassen, da sie für die folgenden Betrachtungen keine Rolle spielt. Der Vergleich von (1) mit (4) zeigt, dass sich die örtliche und zeitliche Abhängigkeit von Schallschnelle und Schalldruck gleich verhalten: Bei einer laufenden Welle sind Schallschnelle und Schalldruck in Phase. (Übrigens: Die Gleichungen für die Schallschnelle u (1) und den Schalldruck p (4) fallen nicht vom Himmel, sondern man kann sie herleiten. Die Rechnungen sind allerdings etwas kompliziert und würden hier den Rahmen sprengen.) 3.2 Stehende Wellen Laufende Wellen entstehen nur bei einer ungestörten Schallausbreitung: Kein Hindernis darf die Welle stören. Dies trifft für die Kundt sche Anordnung aber nicht zu. Die Schallwellen, z.b. im Kundt schen Rohr, werden durch das Rohrende gestört. Was passiert dort? Für die Antwort muss man zwei Fälle unterscheiden: Das Rohrende ist offen. Das Rohrende ist (z.b. mit einem Stopfen) verschlossen. Betrachten wir zunächst den Fall, dass das Rohrende mit einem Stopfen verschlossen ist (Abb. 10). Das Muster der Kundt schen Staubfiguren wird durch die Schallschnelle bestimmt. Daher beschränken wir uns auf die Beschreibung der Schallschnelle. Im Fall des geschlossenen Endes (auch schallharter Abschluß genannt) trifft die Schallwelle auf ein Hindernis den Stopfen und wird dort vollständig reflektiert. Die Schallwelle setzt ihren Weg mit identischer Amplitude aber in entgegengesetzter Richtung fort (Abb 11). Am geschlossenen Ende tritt ein Phasensprung der Welle um 180 auf. Daher ist die Schallschnelle am geschlossenen Ende immer null.

9 c Doris Samm Abbildung 10: Das an beiden Enden geschlossene Kundt sche Rohr. Abbildung 11: Hinlaufende und am geschlossenen Ende reflektierte, rücklaufende Welle. (Übrigens: Sie könnten kritisch einwänden: Wird die Schallwelle wirklich vollständig reflektiert? Die Antwort ist: Nein. In Wirklichkeit spielen Reibungsverluste eine Rolle. Aber: Das Modell Reibungsfreie Bewegung macht das Geschehen erst für uns beschreibbar und dies wie Sie mit Ihrer Messung bestätigen werden mit guter Genauigkeit.) Der reflektierten Welle kommt aber die einlaufende Welle entgegen. Was passiert? Beide Wellen überlagern sich und zwar so, dass an der Stelle der Reflexion dem schallharten Ende die Schallschnelle null ist und zwar zu jedem Zeitpunkt! Klar, das leuchtet ein, denn am Hindernis dem Stopfen prallen die Luftteilchen auf den Stopfen und können sich unter keinen Umständen in der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung weiterbewegen. Das Resultat der Überlagerung der beiden Wellen ist keine laufende Welle, sondern eine stehende Welle. Wie sieht die mathematische Beschreibung aus? Die hinlaufende Welle u 1 wird durch beschrieben, die rücklaufende durch u 1 = u sin(kx ωt) (5)

10 c Doris Samm Abbildung 12: Hin- und (am geschlossenen Ende) rücklaufende Welle. Für die resultierende Welle ergibt sich: u 2 = u sin(kx + ωt). (6) u(x, t) = u 1 (x, t) + u 2 (x, t) = u sin(kx ωt) + u sin(kx + ωt). (7) Mit Hilfe des Additionstheorems erhält man: sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α β 2 (8) u(x, t) = 2u sin(kx) cos(ωt). (9) Eine Umformung erleichtert die Interpretation der Gleichung. Hierzu nutzen wir die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer T, bzw. der Wellenzahl k und der Wellenlänge λ: ω = 2π T, k = 2π λ und erhalten durch Einsetzen in Gleichung (9): u(x, t) = 2u sin( 2π λ x) cos(2π T t). (10) Die zeitliche Änderung der Schallschnelle steckt nur im cos-term. Der wird aber zu bestimmten Zeiten null, nämlich cos( 2π T t) = 0 für t = 1 4 T, t = 3 T,.... 4

11 c Doris Samm Dies bedeutet, dass zu diesen Zeitpunkten auch die Schallschnelle null ist und zwar an jedem Ort! Ähnliches gilt für die Ortsabhängigkeit. Es gibt Orte, an denen die Schallschnelle immer null ist. Unsere resultierende Welle kann keine laufende Welle sein: Sie ist eine stehende Welle. In regelmäßigen Abständen entstehen sogenannte Schwingungsbäuche (maximale Schallschnelle) und Schwingungsknoten (die Schallschnelle ist immer null). Beachten Sie, dass Knoten und Bäuche ortsfest sind und sich nicht, wie bei der laufenden Welle, längs der x-richtung ausbreiten. In Abbildung 13 ist zu verschiedenen Zeitpunkten die räumliche Verteilung der stehenden Welle dargestellt. Abbildung 13: Schallschnelle der stehenden Welle zu verschiedenen Zeitpunkten (linkes Ende geschlossen, rechtes Ende offen). Bei einer stehenden Welle schwappt die Störung hin und her. Betrachten wir nun, an welchen Orten die Schwingungsbäuche, bzw. Schwingungsknoten auftreten. Die Schnelle wird maximal, falls sin( 2π λ x) = 1 = 2π λ x = 1 2 π, 3 2 π, 5 π,.... (11) 2

12 c Doris Samm Damit erhält man für die Positionen x der Schwingungsbäuche: x = 1 4 λ, 3 4 λ, 5 λ,.... (12) 4 Die Bedingung für die Schwingungsknoten lautet: sin( 2π λ x) = 0 = 2π λ x = π, 2π, 3π,..., (13) womit man für die Position der Schwingungsknoten x = n λ 2 erhält. Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Schwingungsbäuchen oder Schwingungsknoten ist also λ/2. Die Frage ist: Kann jede beliebige Welle im Glasrohr eine stehende Welle bilden? Nein! Es passen nur Wellen ganz bestimmter Wellenlänge in das Kundt sche Rohr. In dem Glasrohr bilden sich nur dann stehende Wellen, wenn die Auslenkung der Gasteilchen an den Enden null ist: Das Ende des Glasrohrs ist ja geschlossen. Wenn das Glasrohr die Länge L G hat, gilt für die möglichen Wellenlängen der stehenden Welle: (14) λ = 2L G n mit n = 1, 2, 3,.... (15) Ist n = 1, spricht man von der Grundwelle, für n = 2, 3,... von der 1., 2.,... Oberwelle. Mit Hilfe von Abb.14 können Sie den Beweis von Gleichung (15) geben. In Abbildung 14 sind zu verschiedenen Zeitpunkten die Schallschnelle als Funktion des Ortes für eine Grundwelle und die erste und zweite Oberwelle dargestellt. Abbildung 14: Grund- und Oberwellen einer stehenden Welle zu verschiedenen Zeitpunkten. Beim Kundt schen Versuch sollen Sie ebenfalls Messungen ohne den Stopfen am Ende des Glasrohrs durchführen, also mit offenem Ende (das andere Ende bleibt

13 c Doris Samm weiterhin geschlossen, dort ist ja der Korkstopfen). Man könnte vermuten, dass in diesem Fall die Welle ungehindert in den Außenraum entweicht, da kein Hindernis vorhanden ist. Tatsächlich tritt aber auch am offenen Rohrende (allgemein an jedem Querschnittssprung) eine Reflexion auf. Das offene Rohr ist ebenso ein Hindernis wie eine harte Wand, nur sind die Knoten und Bäuche um λ/4 verschoben. (Leiten Sie für diesen Fall ein Ende geschlossen, ein Ende offen die Beziehung zwischen Rohrlänge und Wellenlänge her.) Als letztes Beispiel betrachten wir den Metallstab. Der Metallstab ist in der Mitte fest eingespannt: jedes Metallteilchen ist dort (im Idealfall) ortsfest gebunden. Die Enden dagegen sind frei beweglich. In dem Stab der Länge L M sind nur solche stehende Wellen möglich, die an beiden Stabenden Schwingungsbäuche ergeben und in der Stabmitte einen Schwingungsknoten haben (Abb.15). Abbildung 15: Stehende Wellen, beide Enden offen: Grundwelle, 2. Oberwelle, 4. Oberwelle. Für die Bedingung der Wellenlänge ergibt sich in diesem Fall (siehe Abb. 15): λ M = 2L M 2n + 1 mit n = 0, 1, 2,.... (16) Nun haben Sie einiges zu stehenden Schallwellen kennengelernt. Wie kann man dieses Wissen nutzen, um die Schallgeschwindigkeit des Metallstabes zu bestimmen?

14 c Doris Samm Sie kennen die Schallgeschwindigkeit c L von Luft (siehe Gl. 22 in Abschnitt 5.1 ). Weiterhin können Sie die Wellenlänge der Schallwelle in Luft aus der Messung der Abstände der Knoten der stehenden Welle ermitteln, somit ist λ L bekannt. Außerdem kennen Sie die Wellenlänge λ M der Schallwelle im Metallstab. Woher? Die können Sie theoretisch erschließen, wenn Sie die Länge des Metallstabes gemessen haben und unterstellen, dass sich nur die Grundwelle ausbildet. Sie kennen also c L, λ L, λ M. Unbekannt sind die Frequenzen der Schallwellen in Luft f L und dem Metall f M, sowie die Schallgeschwindigkeit c M im Metall: Die sollen Sie letztendlich bestimmen. Hierzu nutzen Sie, dass allgemein die Schallgeschwindigkeit durch das Produkt von Frequenz und Wellenlänge gegeben ist. Für die Luft und das Metall gilt somit: c L = f L λ L, (17) c M = f M λ M. (18) Weiterhin nutzen Sie, dass beim Übergang einer Welle von einem Medium in ein anderes die Frequenz erhalten bleibt. In unserem Fall gilt also: f L = f M. (19) Auflösen der Gleichungen (17) und (18) nach der Frequenz und gleichsetzen ergibt: c L λ L = c M λ M. (20) Diese Gleichung lösen Sie nach der Schallgeschwindigkeit des Metalls c M auf und erhalten: c M = c L λ M λ L. (21)

15 c Doris Samm Versuchsaufbauten 4.1 Kundt sche Staubfiguren Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Metallen nutzen Sie die sogenannte Kundt sche Anordnung. Sie besteht aus einem horizontalen ca. 1 m langem Glasrohr, in das ein Metallstab hineinragt. Der Stab ist in der Mitte fest eingespannt (Abb. 16). Abbildung 16: Kundt sche Anordnung. Zur besseren Schallabstrahlung der Schallwelle in das Glasrohr, befindet sich am Ende des Metallstabes ein Korkstopfen (Abb. 17). Abbildung 17: Metallstab mit Korkstopfen im Glasrohr. Das Glasrohr kann am Ende offen oder mit einem Stopfen verschlossen sein (Abb. 18). Abbildung 18: Kundt sches Rohr mit offenem und mit abgeschlossenem Ende.

16 c Doris Samm Frequenzspektrum Mit Hilfe eines an einem Computer angeschlossenen Mikrofons wird der Ton, der beim Kundt schen Versuch erzeugten Schallwelle, aufgenommen. Das Programm Overtone zerlegt den Ton in die einzelnen Frequenzen. Für den Versuchsaufbau stehen Ihnen folgende Komponenten zur Verfügung (Abb. 19): Metallstäbe aus Aluminium, Kupfer, Messing und Stahl, Mikrofon, Computer, Programm Overtone. Abbildung 19: Kundt sche Anordnung mit Mikrofon und Computer. 4.3 Laufzeitmessungen Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit von Metallen nach der Methode der Laufzeitmessungen stehen Ihnen folgende Komponenten zur Verfügung (Abb. 20): Metallstäbe aus Aluminium, Kupfer, Messing und Stahl, Halterung für die Metallstäbe,

17 c Doris Samm Netzgerät, piezoelektrischer Drucksensor, Metermäs, Kugel, Hülse für die fallende Kugel, Sensor Cassy, timer Box. Computer zur Messung und Auswertung Abbildung 20: Versuchsanordnung zur Laufzeitmessung. 5 Versuchsdurchführung Ihre Aufgabe besteht in der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit von zwei Metallen nach zwei Methoden. Zunächst bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit mit Hilfe der Kundt schen Staubfiguren. Danach nehmen Sie das Frequenzspektrum der Schallwellen auf. Die zweite Methode zur Messung basiert auf der Messung der Laufzeit einer Schallwelle in einem Metallstab. Zur Auswahl haben Sie Stahl, Messing, Aluminium und Kupfer. 5.1 Kundt sche Staubfiguren Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit von Metallen, müssen Sie die Schallgeschwindigkeit von Luft kennen. In Gasen ist die Schallgeschwindigkeit abhängig von der Temperatur θ. Speziell für Luft gilt:

18 c Doris Samm c L = (331 + θ ) m/s. (22) 1, 67C Messen Sie die Raumtemperatur θ in C und berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit. Messen Sie die Länge des Stabes der Kundt schen Anordnung und berechnen Sie die Wellenlänge λ M der Schallwelle des Metallstabes. Nehmen Sie hierzu an, dass sich in der Mitte des Stabes ein Wellenknoten und an den beiden Enden jeweils ein Wellenbauch befindet. Außerdem dürfen Sie annehmen, dass sich nur die Grundwelle bildet. Zur Bestimmung der Wellenlänge von Schallwellen in Luft führen Sie folgende Arbeitsschritte durch: 1. Verteilen Sie das Korkmehl möglichst gleichmäßig innerhalb des Glasrohres (Abb. 21). Abbildung 21: Verteilen des Korkmehls im Glasrohr. 2. Justieren Sie die Kundt sche Röhre so, dass der Korken am Ende des Stabes in der Röhre frei schwingen kann. Die Glaswand darf nicht berührt werden (Abb. 22). Abbildung 22: Justieren der Glasröhre. 3. Streuen Sie (sparsam) Kolophonium (Abb. 23) auf den Filzlappen (mit seiner Hilfe wird der Metallstab in Schwingungen versetzt).

19 c Doris Samm Abbildung 23: Filzlappen mit Kolophonium. 4. Ziehen Sie den Filzlappen axial und ohne allzu großen Druck über das freie Stabende. Es entsteht ein lauter Ton (Abb. 24). Abbildung 24: Erzeugung der Welle im Metallstab. 5. Stimmen Sie durch Verschieben der Glasröhre die Luftsäule auf Resonanz ab. Die Resonanzlänge können Sie am Aufwirbeln des Korkstaubs in den Schwingungsbäuchen erkennen (Abb. 25). (Hier hilft nur probieren!) Abbildung 25: Einstellen der Resonanzlänge und Kundt sche Staubfiguren. 6. Messen Sie den Abstand zweier möglichst weit auseinander liegender Schwingungsknoten und zählen Sie die Anzahl n der dazwischen liegenden Bäuche. Berechnen Sie die Wellenlänge λ L der Schallwelle in Luft. 7. Führen Sie den Versuch mehrmals durch und bilden Sie den Mittelwert von λ L.

20 c Doris Samm Stellen Sie die Messwerte in einer geeigneten Tabelle dar. Berechnen Sie die Frequenz f M und die Schallgeschwindigkeit c M des Stabmaterials. (Fehlerrechnung nicht vergessen!) 9. Führen Sie den Versuch mit einem Metallstab aus einem anderen Material durch. 10. Wiederholen Sie den Versuch mit am Ende geschlossenem Glasrohr (Abb. 26). Abbildung 26: Verschließen des Rohrendes mit einem Stopfen. 11. Vergleichen Sie Ihre gemessenen Schallgeschwindigkeiten mit Literaturwerten (z.b. aus dem Internet). 5.2 Frequenzspektrum Mit Hilfe dieses Versuchs können Sie messen, ob sich im Metallstab nur die Grundwelle mit einem Knoten in der Mitte oder auch Oberwellen bilden. Da Ihnen die Schallgeschwindigkeit bereits aus dem ersten Versuchsteil bekannt ist, können Sie aus dem Frequenzspektrum der Schallwelle die möglichen Wellenlängen bestimmen. Gehen Sie hierzu folgendermäsen vor: 1. Stellen Sie das Mikrofon in die Nähe des Metallstabes der Kundt schen Anordnung. 2. Starten Sie das Programm Overtone. (Fragen Sie hierzu Ihre Assistentin/Ihren Assistenten.) 3. Klicken Sie in dem Fenster License Information auf Continue, und das Programm wird gestartet. 4. Klicken Sie auf das Bild, um eine vergrößerte Ansicht zu erhalten (Abb. 27). 5. Starten Sie den Analyser, indem Sie im ersten Menüpunkt der Kopfleiste file den Unterpunkt Experiments und dort wiederum den ersten Unterpunkt Analyser wählen (Abb. 28).

21 c Doris Samm Abbildung 27: Ansicht der Programmoberfläche. Abbildung 28: Ansicht der Kopfleiste. 6. Bereiten Sie das Programm für die Aufnahme der Schallwelle vor, indem Sie im Analyser Control Panel auf Run klicken (Abb. 29). Abbildung 29: Ansicht Analyser Control Panel. 7. Bringen Sie den Metallstab der Kundt schen Anordnung zum Schwingen und klicken Sie dann auf Stop. Am Monitor erscheint das Frequenzspektrum (Abb. 30). 8. Lesen Sie im Fenster Frequency window das Frequenzspektrum ab und berechnen Sie die Wellenlängen. 9. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis.

22 c Doris Samm Abbildung 30: Frequenzspektrum. 5.3 Laufzeitmessung Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Schallwelle kann man im Prinzip einfach bestimmen, indem man die Schallwelle eine bestimmte Strecke x durchlaufen lässt und die dazu benötigte Zeit t misst. Die Schallgeschwindigkeit ergibt sich dann durch: c = x t. (23) Bei diesem Versuch werden Schallschwingungen in elektrische Schwingungen eines Piezokristalls umgewandelt, die mit Hilfe einer elektronischen Mimik aufgezeichnet und mit Hilfe eines Computers abgespeichert werden. Zur Messung schieben Sie einen Metallstab vorsichtig (!) senkrecht in die dafür vorgesehene Halterung. Achten Sie darauf, dass der Stab nicht eingespannt ist. Der Metallstab ruht auf einem piezoelektrischen Körper, der die Druckimpulse der Schallwelle in elektrische Pulse umwandelt. Diese werden am Eingang des elektrischen Sensors aufgezeichnet. Zur Messung wird die Mehrfachreflexion eines kurzen Schallpulses ausgenutzt. Nachdem alle Geräte eingeschaltet sind und Sie das Messprogramm geladen haben (Assitentin/Assistenten fragen), starten Sie die Messung mit F9 oder dem Uhrensymbol in der Menüleiste. Das Programm wartet nun auf ein Schallsignal. Durch Fallenlassen einer Stahlkugel innerhalb einer Hülse auf das obere Ende des Stabes (Assistentin/Assistenten fragen) erzeugen Sie einen kurzen Schallimpuls. An beiden Enden wird er nacheinander mehrfach reflektiert, wobei die an einem Stabende ankommenden Impulse gegeneinander um t verzögert sind. Es erscheint ein der Abbildung 31 ähnliches Diagramm. Eine Fehlmessung kann man folgendermäsen löschen: Gehen Sie mit der Maus in den Tabellenbereich (linke Bildschirmseite) und drücken Sie die rechte Maustaste. Wählen Sie aus dem Menü Letzte Messreihe löschen.

23 c Doris Samm Abbildung 31: Diagramm zur Laufzeitmessung. Bestimmen Sie die zeitlichen Abstände T der Minima und Maxima. Zur Verbesserung der Genauigkeit nehmen Sie die Differenz über mehrere Perioden. Drücken Sie hierzu die rechte Maustaste im Diagrammbereich (rechte Bildschirmseite). Wählen Sie den Menüpunkt Markierung setzen und wählen Sie dort im Untermenü Differenz messen. Der Differenzwert wird unten links angezeigt. Teilen Sie den Wert durch die Zahl n der Maxima oder Minima, die Sie über den gestrichenen Bereich gezählt haben. Da T die Summe aus Hin- und Rücklaufzeit ist, gilt für die Schallgeschwindigkeit bei einer Stablänge s: c = 2s t/n 2s bzw. c = T. (24) Führen Sie das Experiment 5 Mal mit zwei verschiedenen Metallstäben durch. Diskutieren Sie Ihre Messergebnisse und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Messung der Schallgeschwindigkeiten nach der Kundt schen Methode.