2x x 2 sin z x 2 y cos z. 3 (2x + x 2 sin z + x 2 y cos z)

Transkript

1 Elektromagnetische Felder Lösung zur Klausur om 9. März 22. a) δ(r) = für r und f(r) δ(r) dr = f() b) Normalkomponenten on D für σ = sowie on B Tangentialkomponenten on H für K = sowie on E c) Richtungsableitung: Werte einsetzen: grad f e N = = 2x x 2 sin z x 2 y cos z e y sin z 3 ey sin z 3 (2x + x 2 sin z + x 2 y cos z) grad f e N = e sin π 3 (2 + 2 sin π + 2 cos π) = 3 7 Vs d) 4π Am e),6 9 As f) A/m g) As/m 2 h) Asm i) /m 2. a) Bild mit durchgehenden Feldlinien, ausserhalb Pfeile on Nord- zu Südpol, innerhalb on Süd- zu Nordpol b) Ein Strom fließt om Pluspol durch das Kabel, den Magneten und die Schraube zum Minuspol. Magnet und Schraube fangen an sich zu drehen, on der Batterie aus betrachtet im Gegenuhrzeigersinn. c) Magnetischer Anteil der Lorentzkraft (und innerhalb der Batterie die EMK). d) Magnet und Schraube drehen sich im Uhrzeigersinn. e) Magnet und Schraube drehen sich in dieselbe Richtung wie in der Ausgangskonfiguration. 3. a) b) c) B( r) = µ 4π V J( r ) r r r r 3 d3 r J( r ) = { für z L δ(r R) e ϕ L sonst J( r ) = L z = r = 2π ϕ =... r dϕ dr dz { für z 2πR δ(r R) e z L sonst L z = r = 2π ϕ =... r dϕ dr dz

2 Elektromagnetische Felder Lösung zur Klausur om 9. März 22 d) J( r ) = { für δ(z r r ) e ϕ r 2 und π 2 ϕ 3π 2 r 2 r sonst z = r2 r =r 3π 2 ϕ = π 2... r dϕ dr dz e) J( r ) = δ(x x ) δ(z z ) e y { für L 2 y L 2 sonst z = L 2 y = L 2 x =... dx dy dz f) J : Strom pro Fläche, : Strom, R : pro Länge, δ(r R) : pro Länge, e z : dimensionslos 4. a) Bei linearen Materialien sind die Materialparameter ε und µ unabhängig on den elektrischen bzw. magnetischen Feldern. Die Felder E und D bzw. B und H erhalten sich dann linear zueinander. b) m isotropen Fall sind die Materialparameter skalare Größen im Gegensatz zum allgemeineren anisotropen Fall, wo sie als Tensoren darzustellen sind. 5. a) Es existiert ein Skalarfeld ϕ, so dass E darstellbar ist als: E = grad ϕ (gl. Skript Kap. 3.2). b) Auf dem Kreisumfang ist l = (R cos ϕ, R sin ϕ, ), somit d l = ( R sin ϕ, R cos ϕ, ) dϕ. Es folgt: E K d l = A 2π ((y R sin ϕ) ( R sin ϕ) + R 2 cos 2 ϕ) dϕ = A R 2π (R y sin ϕ) dϕ = 2πAR 2 c) Auf G gilt: d l = e x dx und y =. Somit folgt: G E d R l = A y dx = A R y Auf G 2 gilt: d l = e y dy und x =. Es folgt: G 2 E d R l = A dy = d) Der Ausdruck beschreibt die Arbeit bzw. Energie die aufgewandt werden muss oder frei wird bei der Bewegung der Ladung om Punkt A zum Punkt B. 6. a) L = c 2f b) k = 2πf und ω = 2πf c c) ω = k c d) sin( π 2 ± 2πn) = also i(x, t) = î cos(kx) Zeichnung: Kosinusfunktion on x = L/2 bis x = +L/2 mit Maximum î bei x = und Nullstellen an Anfang und Ende 7. a) Die Ausbreitungsrichtung der Welle und ihre Wellenlänge sind im Wellenektor enthalten. b) k t = 2 k und k r = k c) rot E = B grad (e j(ωt k r) ) E = B B = ( k E)/ω d) E / H = E e j(ωt k r) / µω k E e j(ωt k r) = µω E k E = µω k = µωc = µ ω ε Es handelt sich um den Wellenwiderstand mit einem Wert on ca. 377 Ω im Vakuum ohne Randbedingungen.

3 Elektromagnetische Felder Lösung zur Klausur om 9. März a) Φ + = Φ = Φ folgt aus di B = b) Es existiert ein Vektorfeld A, so dass B darstellbar ist als B = rot A (gl. Skript Kap. 3.4). c) Φ = = B R Kreis R B d a = R 2π 2πRr dr = πr 2 B B z r dϕ dr = B R R 2π (R r sin ϕ) r dϕ dr

4 Elektromagnetische Felder Lösung zur Klausur om 9. März a) b) Skizze: δ = 2 µσω. a) 3 mm 9 mm Querschnitt δ Länge effektier Querschnitt δ 3 mm Querschnitt Länge c) R = l σa mit A A A 27 6 m 2 also R 25 mω d) A,eff ( ) mm δ = δ 24 mm und A,eff 2π 3 mm δ δ 8 mm; somit ist A,eff > A,eff und damit bei höheren Frequenzen der Widerstand für Querschnitt geringer und zu beorzugen. e) Grobe Abschätzung: Skineffekt wird releant wenn Skintiefe die Größenordnung der Querschnittsdimensionen erreicht, etwa δ 3 mm. Einsetzen der Lösung zu a) und Auflösung nach der Frequenz liefert f 7 Hz. ϕ( r, t) = 4πε V ρ( r, t r r ) d 3 r, µ A( r, t) = r r 4π V J( r, t r r ) d 3 r r r b) Anschaulich bedeutet Retardierung die zeitliche Verzögerung zwischen der Ursache eines Feldes und dem Auftreten des Feldes an einem entfernten Ort aufgrund der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit. c) ernachlässigbar: z.b. Gleichstromkreis ; nicht ernachlässigbar: z.b. Abstrahlung on Antennen d) Die aancierte Lösung der Wellengleichung ist eine mathematisch mögliche Lösung der Wellengleichung, bei der die Wirkung zeitlich or der Ursache eintreten würde.. a) in Resonanz b) starke Abstrahlung c) E = E e j(ωt 2π λ e k r) d) Bei Phasenerschiebung on 8 bzw. π in ±z-richtung ergibt sich eine destruktie Überlagerung, also: π = 2π λ d d = λ 2 = c 2f. e) Hauptstrahlrichtung: ±z-achse ; keine Abstrahlung: ±x-achse und ±y-achse f) Dipol : ±x-achse und ±z-achse ; Dipol 2: ±y-achse und ±z-achse

5 Elektromagnetische Felder Lösung zur Klausur om 9. März 22 g) Für d = λ/2 ergibt sich eine lineare Polarisation die 45 um die z-achse gedreht ist. Je nach Polung der beiden Quellen ergibt sich entweder die durchgezogene oder gestrichelte Linie für die Polarisation. y E Für d = λ/4 ergibt sich eine zirkulare Polarisation. y E x x 2. a) E J = δ(x) δ(y) e jωt e z { für z l/2 sonst b) r und ϑ werden erwendet. Der Term sin ϑ wird Null für ϑ = und ϑ = 8, also entlang der z-achse. c) Der Term e j(ωt k r) und in diesem k r geht auf die Retardierung zurück. Bei Annahme quasistationärer Felderhältnisse gilt k r =. Auch die Nahfeldterme erstrecken sich bis ins Unendliche und sind retardiert, entlang der z-achse dominieren sie zudem das elektrische Feld. d) An den Enden des Hertzschen Dipols könnten kapazitie Platten angebracht werden. 3. a) CU 2, 2 2 L2 b) 2 εe 2 d 3 r, 2 µ H 2 d 3 r c) C: ẇ m, di S Abstrahl, J E L: ẇ e, di S Abstrahl, J E 4. a) Bei TEM-Wellen stehen sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Abweichend hieron können TE-Wellen auch eine Komponente des magnetischen Feldes in Ausbreitungsrichtung besitzen, TM-Wellen eine Komponente des elektrischen Feldes in Ausbreitungsrichtung. b) n metallischen Rechteckhohlleitern können TE- und TM-Wellen auftreten, nicht aber TEM-Wellen. n Koaxialkabeln können alle drei Wellenarten auftreten. c) Die ebene elektromagnetische Welle im Freiraum ist eine TEM-Welle. d) Der metallische Wellenleiter muss aus mindestens zwei getrennten Leitern bestehen, um mit ihm auch bei Hz Energie übertragen zu können. e) Es handelt sich um eine TE-Welle. f) Z = Ey = ωµ H x k g) P (z, t) = a b S e z dy dx = a b ( E y H x ) dy dx h) P z= (t) = kωµ a 2 H 2 π 2 cos 2 (ωt) a b sin2 ( πx ) dy dx : alle orkommenden Terme sind a nicht-negati, also fließt die Leistung nur in die +z-richtung. 5. a) Lokal bleiben die Winkel zwischen sich schneidenden Linien erhalten, sowie die Verhältnisse on Seitenlängen zueinander (ebenfalls lokal, also für sehr kurze Seiten).

6 Elektromagnetische Felder Lösung zur Klausur om 9. März 22 b) z z n c) 5 n 5 d) α 8 9 O u e) w = f(z) = z 6 f) ( ) a 6! = a b = a 5/6 b g) ϕ + = ( ) 2πε ln u2 + ( a) 2 + const ϕ = + ( ) 2πε ln u2 + ( + a) 2 + const ϕ ges = ϕ + + ϕ = 4πε ln u2 + ( + a) 2 u 2 + ( a) 2 + const Die additie Konstante ergibt sich aus der Festlegung ϕ ges ( = ) =! V zu V, also: ϕ ges = 4πε ln u2 + ( + a) 2 u 2 + ( a) 2 h) z = r e jφ z 6 = r 6 e j6φ = r 6 (cos 6φ + j sin 6φ) u = r 6 cos 6φ, = r 6 sin 6φ i) Das Ergebnis on h) in das Ergebnis on g) einsetzen ergibt: ϕ(z) = 4πε ln r2 cos 2 6φ + (r 6 sin 6φ + a) 2 r 2 cos 2 6φ + (r 6 sin 6φ a) 2 j) Z.B. α 9 45 O u