Mechanik und ihre mathematischen Methoden. Experimentalphysik 1
|
|
- Beate Sachs
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mechanik und ihre mathematischen Methoden Experimentalphysik 1 PD Dr. Frank Stallmach Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften Linnéstr. 5, Leipzig Modul 12-PHY-LA-EP1 Staatsexamen Lehramt Physik, Wintersemester 2014/15 6 Schwingungen und Wellen 6.1 Harmonische Schwingungen Systeme mit einer stabilen Gleichgewichtslage Störung von außen Rückkehr in die Gleichgewichtslage durch Hin- und Herschwingen Schwingung: Vorgang, bei dem sich eine physikalische Größe periodisch mit der Zeit ändert Lage, Geschwindigkeit und Energiearten ändern sich periodisch Beispiele: Federschwinger, schwingende Saiten und Membranen Pendel Torsions- oder Drehschwingungen Harmonische Schwingung Beschreibung der Zeitabhängigkeit durch eine einfache Sinusfunktion Anharmonische Schwingung alle andere Arten der Periodizität 350
2 Kippschwingungen Kombination aus monotoner und sprunghafter Änderung der schwingenden physikalischen Größe Freie ungedämpfte Schwingung Lineare Federschwingung Federschwinger mit linearem Kraftgesetz (F (x) = k x) für die rücktreibende Kraft (siehe MaMe-Seminar) Bewegungsgleichung m ẍ + k x + b ẋ = F (t) keine aüßere Kraft F (t) =0; ohne Dämpfung Dämpfungskonstante b =0 freie Bewegung nach einmaliger Auslenkung oder Anstoß wird gelöst durch x (t) =X 0 sin (ω 0 t + ϕ) mit ω 0 = 351 k m Anfangsbedingungen legen Amplitude X 0 und Anfangsphase ϕ fest gdg 2. Ordnung, zwei freie Konstanten Elongation (Auslenkung) x (t) als Funktion der Zeit ist periodisch und harmonisch charakteristische Parameter der Schwingung Kreisfrequenz/Eigenfrequenz ω 0 Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung, deren Projektion die harmonische Schwingung ergibt. Periodendauer T 0 =2πω0 1 =2π Frequenz f 0 = T 1 0 = ω 0 /2π [f 0 ]=s 1 =Hz Phasenwinkel ω 0 t + ϕ Experiment 112: Federschwinger Abhängigkeit der Periodendauer von der Wurzel aus der Masse eines Federschwingers: T 0 m 352 m k
3 Experiment 113: Schiff auf Wasser wird durch kurzes Eintauchen aus dem Gleichgewicht gebracht und schwingt lineares Kraftgesetz für die Rücktreibende Kraft, weil das verdrängte Volumen bzw. der Schweredruck auf Unterseite mit der Tiefe ansteigt. Geschwindigkeit und Beschleunigung des Federschwingers Aus Ableitungen nach der Zeit folgen Geschwindigkeit und Beschleunigung der harmonischen Schwingung ẋ (t) =X 0 ω 0 cos (ω 0 t + ϕ) ẍ (t) = X 0 ω 2 0 sin (ω 0 t + ϕ) Phasenverschiebungen max. Elongation = minimale Geschwindigkeit (Null) = max. Beschleunigung min. Elongation (Null) = maximale Geschwindigkeit = keine Beschleunigung Energie wird zw. kinetischer und potenzieller Energie ausgetauscht und bleibt insgesamt erhalten 353 Ableitung d dt m 2 ẋ2 + k 2 x2 =(m ẍ + k x) ẋ =0 }{{} d dt (E kin + E pot )=0 E kin + E pot = E ges = konst. In jeder Schwingungsphase ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie konstant. Berechnung mit Elongations- und Geschwindigkeitsgleichungen von oben liefert E ges = X2 0 ω 2 0 m 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ)+ X2 0 k 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ) E ges = X2 0 k [ cos 2 (ω 0 t + ϕ)+sin 2 (ω 0 t + ϕ) ] = k 2 }{{} 2 X2 0 = konst. Mechanische Gesamtenergie hängt von der Richtgröße k und dem Quadrat der Amplitude ab. Im zeitlichen Mittel sind die kinetische und die potenzielle Energie der Schwingung gleich groß und betragen je die Hälfte der Gesamtenergie. 354
4 6.1.2 Dreh- und Pendelschwingungen Übertragung der Ergebnisse durch Vergleich der jeweiligen Bewegungs-/ Schwingungsgleichungen Bewegung erfolgt um einen Drehpunkt mit einer raumfesten Drehachse Auslenkung ist deshalb i.r. ein Winkel ϕ Richtgröße i.r. das rücktreibende Drehmoment D R Trägheit wird durch das Trägheitsmoment J des schwingenden Körpers beschrieben J = J S + m r 2 Bewegungsgleichung der Drehbewegung als Ausgangspunkt D = d dt L = J ω D = r F L = J ω oft reicht Betrachtung in einer Ebene (alle axialen Vektoren liegen senkrecht zur Zeichenebene) D = J ω = J ϕ 355 Dreh- und Torsionsschwingungen Auslenkung der Feder am Drehtisch oder Torsion des Fadens bewirkt rücktreibendes Drehmoment proportional zur Auslenkung (Drehwinkel) ϕ D = D R ϕ Die Proportionalitätskonstante D R ist die s.g. Winkelrichtgröße und stellt die Federkonstanten der Drehschwingung dar. [D R ]=Nm rad 1 analoge Definition wie k beim linearen Federschwinger aber andere Einheit kann berechnet werden, siehe LB für Torsionsfaden und Pendelschwingung (unten) Bewegungsgleichung nach Loslassen (es wirkt nur noch das rücktreibende Drehmoment) J ϕ = D R ϕ J ϕ + D R ϕ =0 ϕ + D R J ϕ = ϕ + ω2 0 ϕ =0 ω 0 = 356 D R J
5 äquivalent zu Schwingungsgleichung des Federschwingers; Analogien für Elongation und Eigenfrequenz x (t) ϕ (t) Elongation-Zeit-Gesetz der Drehschwingung Periodendauer D R J ϕ (t) =ϕ A sin (ω 0 t + ϕ 0 ) T 0 = 2π =2π ω 0 J =2π D R J s + mr 2 vergrößert sich mit Masse und Abstand vom Drehpunkt des schwingenden Körpers D R k m 357 Experiment 114: Torsionsschwingung Abhängigkeit der Periodendauer vom Trägheitsmoment des Körpers J am Torsionsfaden und der Winkelrichtgröße D R des Torsionsfadens (siehe LB) Experiment 115: T 0 =2π Drehtisch J D R D R = π G R4 2L Abhängigkeit der Periodendauer von der Masse und vom Abstand vom Drehpunkt, Steinerscher Satz T 0,J 0 charakerisieren die Eigenschaften des leeren Drehtisches mit Feder; J s + mr 2 ist der Probekörper T 2 (r) =T 2 0 ( J0 + J s + mr 2) 358
6 6.1.3 Pendelschwingungen Fadenpendel Mathemathisches Pendel Skizze: Pendellänge l, punktförmige Masse m, Auslenkung ϕ Bewegung auf Kreisbogenabschnitt um Ruhelage ϕ =0(wie bei einer Drehschwingung) Anwendung der allgemeinen Gleichung für die Periodendauer bei Drehschwingungen Trägheitsmoment der Punktmasse J S =0, J = m l 2 rücktreibendes Drehmoment D = m g l sin ϕ = m g l }{{} ϕ = D R ϕ Winkelrichtgröße der Pendelschwingung D R = m g l T 0 =2π J =2π D R m l 2 m g l =2π l g }{{} ω 0 = Periodendauer unabhängig von der Masse, aber abhängig von der Pendellänge und Fallbeschleunigung 359 g l Experiment 116: Fadenpendel Pendel Periodendauer unabhängig von der Masse, aber abhängig von der Pendellänge Physikalisches (physisches) Pendel starrer Körper, der um eine feste Achse drehbar gelagert ist Pendelbewegung der Linie Drehachse-Schwerpunkt, Auslenkung aus Ruhelage Abstand Drehachse - Schwerpunkt s Trägheitsmoment des starren Körpers um Schwerpunkt J S und um Drehachse J = J S + m s 2 rücktreibendes Drehmoment und Winkelrichtgröße (kleine Auslenkungen) D = m g s sin ϕ = m g s }{{} ϕ = D r ϕ Schwingungsdauer des physikalischen Pendels 360
7 Pendel im Magnetfeld - Verkürzung der Periodendauer T 0 =2π J S + m s 2 m g s Reduzierte Pendellänge und Schwingungsmittelpunkt gleiche Periodendauern eines mathematischen und physikalischen Pendels l g = J m g s l r := definiert die s.g. reduzierte Pendellänge l r J m s = J S m s + s Frage: Wird die Schwingungsdauer um eine Drehachsen mit kleiner werdendem Abstand vom Schwerpunkt kleiner oder größer? 361 Experiment 117: Physikalisches Pendel Demonstration der Abhängigkeit der Periodendauer vom Abstand vom Schwerpunkt J T 0 =2π S + m s 2 m g s 362
8 6.2 Oszillatoren in Wechselwirkung mit ihrer Umgebung Freie gedämpfte Schwingung Entzug von Schwingungsenergie durch z.b. Reibung oder Abgabe als Schall (schwingende Saite) Abnahme der Amplitude Bewegungsgleichung (siehe MaMe-Seminar) m ẍ + k x + b ẋ = F (t) keine äußere Kraft F (t) =0; mit Dämpfung (Stocksche Reibung) b>0 Dämpfungskonstante 2δ = b/m (= b/j) freie Bewegung nach einmaliger Auslenkung oder Anstoß wird gelöst durch x (t) =X 0 e δt sin (ωt + ϕ) ω = ω0 2 δ 2 = 2π mit ω 0 = T 363 k m Abklingende Sinusfunktion, Exponentialfunktion als Einhüllende x (t + T )=X 0 e δ(t+t ) sin [ω (t + T )+ϕ] =X 0 e δ(t+t ) sin [ω (t)+ϕ] x (t + T )=e δt X 0 e δt sin [ω (t)+ϕ] =e δt x (t) Dämpfung der Amplitude während einer Periode um den Faktor e δt logarithmisches Dekrement als anschauliches Maß für die Dämpfung der Schwingungsamplitude x (t) ln = δt =Λ x (t + T ) Bewegung hängt ab vovon der Diskriminante D = ω 2 0 δ 2 Schwingungsfall D>0, ω 0 >δ schwache Dämpfung, periodisch Kriechfall D<0, ω 0 <δ starke Dämpfung, unperiodisch v 0 x (t) = ω 2 0 δ 2 e δt sin h (ωt) aperiodischer Grenzfall D =0, ω 0 = δ starke Dämpfung x (t) =v 0 t e δt 364
9 Experiment 119: Gedämpftes Stangenpendel Einstellung der Dämpfung über Wirbelstrombremse (Pendel mit Al-Platte durchläuft Magnetfeld) Demonstration des Übergangs vom Schwingungs- zu Kriechfall und aperiodischem Grenzfall Erzwungene Schwingung - Resonanz periodische Zuführung von Energie zu einem schwingfähigen System ohne Rückkopplung Bewegungsgleichung ẍ +2δ ẋ + ω 0 x = F (t) m zeitabhängige, periodische äußere Erregerkraft F (t) =F 0 cos ωt Lösungsweg: Einsetzen der allgemeinen Lösung der gdg (MaMe), zweimaliges Differenzieren und Koeffizientenvergleich (siehe LB) Phasenverschiebung Phasenwinkel ϕ wächst für ω ω 0 von 0... π/2 tan ϕ = 2δω ω0 2 ω 2 366
10 wächst für ω ω 0 von π/2... π ist negativ, d.h Schwingung hinkt der Anregung hinterher. Amplitude abhängig von X 0 (ω) = F 0 /m (ω 2 0 ω 2 ) 2 +(2δω) 2 der Stärke der äußeren Kraft F 0 /m der Dämpfungskonstanten, der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz Skizze der Resonanzkurven für Phase und Amplitude Experimente 120 und 121: Pohlsches Rad und Federschwinger Resonanzfall und Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingung Normalschwingungen gekoppelter Oszillatoren zwei schwingfähige Systeme sind schwach gekoppelt (Federschwinger, Pendel,...) ständiger Energieaustausch über die Kopplung Bewegungsgleichungen für zwei Federschwinger mit gleicher Kraftkonstante k und gegenseitiger Kopplung k 12 m ẍ I + k x I + k 12 (x I x II )=0 (1) m ẍ II + k x II + k 12 (x II x I )=0 (2) Rechentrick: Addieren und subtrahieren beider Gleichungen (ẍ I +ẍ II )+ k m (x I + x II )=0 (3) (ẍ I ẍ II )+ k + k 12 m (x I x II )=0 (4) zwei homogene gdgl, die gelöst werden können (Ansatz) und für die die Eigenfrequenzen sofort folgen 368
11 Zwei Normalschwingungen oder Fundamentalschwingungen für die Veränderlichen k x 1 =(x I + x II ) ω 0 = m k + k 12 x 2 =(x I x II ) ω 1 = m >ω I Lösungen: x 1 (t) =X m cos ω 0 t x 2 (t) =X m cos ω 1 t Berechnung der Teilschwingungen x I (t) = x 1 + x 2 2 x II (t) = x 1 x 2 2 = X m cos = X m sin ω 1 ω 0 t cos 2 ω 1 ω 0 t sin 2 ω 1 + ω 0 t 2 ω 1 + ω 0 t 2 Schwebung bzw. Überlagerung zweier Fundamentalschwingungen 369 Die Überlagerung der Fundamentalschwingungen gekoppelter Oszillatoren mit den Frequenzen f 0 und f 1 ergibt eine Schwebung mit der Schwebungsfrequenz f S = f 1 f 0 Experimente 121 und 124: gekoppelte Pendel Resonanz eines Zungenfrequenzmessers und 370
12 6.2.4 Fourieranalyse von periodischen Vorgängen Jede periodische Funktion kann als eine Reihe (Summe) aus Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden. Diese Darstellung liefert die Frequenzkomponenten, die zu der zeitlich periodischen Schwingung führen. nützliches Hilfsmittel zum Verständnis und zur Beschreibung anharmonischer periodischer Vorgänge Fourieranalyse Selbststudium für das Praktikum siehe Physik-Lehrbuch Allgemeine Wellenlehre Zusammenhang zwischen Schwingungen und Wellen Stoffe bestehen aus miteinander wechselwirkenden Teilchen Anregung einmalige Störung der Gleichgewichtsposition eines Teilchens rücktreibende Kräfte der Nachbarteilchen Schwingung des angeregten Teilchens um seine Gleichgewichtslage Übertragung der Schwingungsenergie auf Nachbarteilchen (gekoppelte Pendel) erzwungene Schwingung der Nachbarteilchen Anregung pflanzt sich durch den Stoff fort. Trägheit (Masse) und elastische Kopplung der Teilchen Zeitverzögerung in der Übertragung des Schwingungszustandes Welle Ausbreitung von Schwingungszuständen im Raum Transport von Schwingungsenergie kein Massentransport 372
13 Modelle der Wellenbewegung Pendelkette: Erregerzentrum äußeres Pendel der Kette nacheinander Übertragung der Schwingung auf das 1., 2., 3.,... benachbarte Pendel Kennzeichen einer Welle Teilchen schwingen am Ort. Schwingungszustand (Energie) bewegt sich mit konstanter, endlicher Geschwindigkeit vom Erregerzentrum weg. Phasengeschwindigkeit c Experiment 128 Wellenmodell 1: Massenteilchen vollführen lediglich Auf- und Abwärtsbewegungen nur Energietransport, kein Massentransport Experiment 127 Wellenmodell 2: Magnetkette Demonstration longitudinaler Wellen; Dichtewellen Transversalwellen und Longitudinalwellen zwei Grundtypen von Wellen; Unterscheidung bezüglich der Schwingungsrichtung der Teilchen bei mechanischen Wellen der Feldvektoren bei elektromagnetischen Wellen (siehe EP2, Elektrodynamik, Optik) Transversalwellen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Seilwelle, Licht,... Scherungswelle Schall in festen Stoffen Gestaltelastizität (Schubmodul G) Transversalwellen in festen Stoffen Longitudinalwellen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung. Kompressionswelle Schall in festen Stoffen und Fluiden Volumenelastizität (Elastizitätsmodul E ) Longitudinalwelle Phasengeschwindigkeiten der Transversal- und Longitudinalwellen sind unterschiedlich hängen von den elastischen Eigenschaften (E, G) ab 374
14 6.3.3 Harmonische Wellen Grundbegriffe Harmonischer Oszillator am Ort x =0 (Erregerzentrum) am Anfang einer Kette (oder eines Seils) mit Schwingungsverlauf u (t, 0) = u 0 sin [ωt + ϕ 0 ] Ausbreitung diese Schwingungszustandes entlang der Kette Geschwindigkeit c längst der Kette gleicher Teilchen entlang der x -Achse Alle Teilchen entlang der Kette schwingen mit gleicher Amplitude u 0 und Frequenz ω, aber zeitlich versetzt. Schwingungszustand (*) benötigt Zeit t = x/c, um vom Erregerzentrum bei x =0nach x zu gelangen. Er trifft dort also später ein, d.h. u (t, x) =u (t t, 0). Mit (*) folgt die Gleichung der harmonischen Welle (Sinuswelle): x u (t, x) =u 0 sin ω t + ϕ0 c Die Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang. 375 ( ) Charakteristische Parameter der harmonischen Welle Periodendauer T, Frequenz f = T 1 und Kreisfrequenz ω =2π f (wie bei einer Schwingung) u (t, x) =u 0 sin ω t 2π f c x + ϕ 0 = u 0 sin ω t 2π λ x + ϕ 0 Elongation u(x, t) Auslenkung der physikalischen Größe (Strecke, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrisches Feld,...) Wellenlänge λ; Einheit der Wellenlänge [λ] =m Abstand der Wiederholung gleicher Schwingungszustände in Ausbreitungsrichtung Periodizität im Raum Phasengeschwindigkeit c (und Dispersionsbeziehung) λ T = λ f = c Geschwindigkeit, mit der sich ein Schwingungszustand fortbewegt. 376
15 Phase (Argument der Sinusfunktion) und konstante Anfangsphase ϕ 0 ω t 2π λ x + ϕ 0 = ω t k x + ϕ 0 Wellenzahl k := 2π λ [k] =m 1 räumliches Analogon der Kreisfrequenz, 2π-fache der Anzahl der räumlichen Perioden pro Meter Betrag des Wellenzahlvektors k bei Beschreibung der Ausbreitung von Wellen im 3-dimensionalen Raum ( ) k = kx,k y,k z mit k = k = kx 2 + ky 2 + kz 2 = 2π λ andere Schreibweise der Gleichung der harmonischen Welle u (t, x) =u 0 sin [ω t k x + ϕ 0 ] im 3-dimensionalen Raum (Wellenausbreitung in k-richtung) u (t, r) =u 0 sin [ ω t k r + ϕ 0 ] Differentialgleichung der 1-dimensionalen Wellenausbreitung 2. Ableitungen der Gleichung der harmonischen Welle nach Zeit und Ort 2 t 2u (t, x) = ω2 u 0 sin [ω t k x + ϕ 0 ] = ω2 u (t, x) }{{} 2 x 2u (t, x) = k2 u 0 sin [ω t k x + ϕ 0 ] = k2 u (t, x) }{{} Ersetzen von u (x, t) und Nutzen der Dispersionsbeziehung 2 x2u (t, x) =k2 ω 2 2 t 2u (t, x) = 1 (λ f) 2 2 t2u (t, x) 2 x 2u (t, x) = 1 c 2 2 t2u (t, x) partielle Differentialgleichung 2. Ordnung Wellenausbreitung in Mechanik, Akustik, Elektrodynamik, Optik,... Phasengeschwindigkeit c (Schallgeschwindigkeit, Lichtgeschwindigkeit,...) 378
16 Allgemeine Lösung der Wellengleichung siehe Mathe-Lehrbücher, Kapitel zu partiellen Differentialgleichungen x x u (t, x) =f t + g t + c c Superposition (Überlagerung = Summe) von zwei beliebigen Funktionen f und g müssen zweimal differenzierbar sein sowie Rand- und Anfangsbedingungen erfüllen f (t, x) Störung (Funktion) durch die Auslenkung f (t) bei x =0verursacht läuft in positive x-richtung; Phasengeschwindigkeit +c g (t, x) Störung (Funktion) durch die gleiche Auslenkung verursacht läuft in negative x-richtung; Phasengeschwindigkeit c Eindimensionale Wellenausbreitung in elastischen Stoffen Longitudinal- und Transversalwellen in Stäben Weiterleitung von Geräuschen in langen Metallkonstruktionen (Heizungsrohre, Bahnschienen,...) 1-dimensionale Betrachtung, Longitudinalwelle langer Stab mit Querschnitt A, Elastizitätsmodul E und Dichte ϱ Auslenkung u (x, t): Kompression eines Volumenelements dv = Adx der Länge dx um die Länge du erfordert Spannung σ bzw. Kraft F u Hooksches Gesetz, Spannung σ ist proportional zur Kompression (Dehnung) ε σ = E ε σ = F u A ε = du dx 380
17 Anregung am Ende (z.b. Hammerschlag) Größe der Kraft F u und deren Änderung über die Länge des Volumenelemnts dx F u = E A du df u dx dx = E u Ad2 dx 2 Kraft beschleunigt das Volumenelement der Masse dm = ϱ A dx und verschiebt es um u; Bewegungsgleichung df u = ϱ A dx d2 u df u }{{} dt 2 dx = ϱ A d2 u dt 2 Gleichsetzen der beiden Ableitungen Wellengleichung der Longitudinalwelle d 2 u dx = ϱ d2 u E c 2 }{{} E dt 2 L = ϱ mit der Phasengeschwindigkeit c L (Ausbreitungsgeschwindigkeit der L-Welle) Experiment 129: Schallgeschwindigkeit in Al-Stab, c L, Al =5, 1km s Übertragung auf Transversalwellen im Stab Auslenkung senkrecht zur Längsachse des Stabes Biegewelle Verdrehungen der Teilchen um Längsachse Scherwelle z. B. Verdrehung anlaufender Achsen durch Änderung eines zu übertragenden Drehmoments wirksame elastische Konstante ist das Scher- bzw. Schubmodul G c T = Phasengeschwindigkeit c T Ausbreitungsgeschwindigkeit der T-Welle wegen G<Efolgt c T <c L Beispiel: Longitudinalwellen bei Erdbeben sind schneller als Transversalwellen und werden deshalb zuerst registriert. Nutzung der Laufzeitunterschiede zur Ermittlung des Aufbaus und der elastischen Konstanten des Erdinneren 382 G ϱ
18 6.3.6 Geschwindigkeit von Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen Schubmodul G =0, keine Gestaltelastizität keine Transversalwellen nur Volumenelastizität; Elastizitätsmodul E = K > 0 Kompressionsmodul K Schallwellen in Fluiden sind Dichtewellen und somit Longitudinalwellen mit der Phasengeschwindigkeit Beispiel: Wasser bei 293 K c (L) = K = Pa 1, ϱ = kg m 3 daraus berechnete Schallgeschwindigkeit c W =1, m s 3 genaue Messung ergeben 1, m s 1 K ϱ 383 Schall in Gasen (z.b. Luft) adiabatische Zustandsänderung der schnellen Druckänderung in der Schallwelle p V χ =konst. Adiabatenexponent χ>1 (Thermodynamik), χ Luft > 1, 402 Kompressionsmodul K K = V dp dv = χ p Schallgeschwindigkeit im idealen Gas (p V = m M R T ) p = m R T V M = ϱ R T M c = χ p ϱ = χ R T M abhängig von der Art des Gases (molare Masse M) und der absoluten Temperatur T unabhängig von Druck und Dichte 384
19 Beispiel trockene Luft bei 273 K χ =1.402, ϱ = kg m 3, p = Pa daraus berechnete Schallgeschwindigkeit c Luft = 331, 6m s 1 hängt vom Wassergehalt ab; wächst um ca. 0, 6m s 1 pro Kelvin Temperaturerhöhung Stehende Wellen und Eigenschwingungen Stehende Welle statische Wellenerscheinung im Raum phasengleiche Schwingung mit periodischer Ortsabhängigkeit der Amplitude Kennzeichen sind ortsfeste Schwingungsknoten u =0(= Nullstellen der Elongation) und Schwingungsbäuche u = u max,min (= Maxima/Minima der Elongation) entstehen durch Überlagerung (Superposition) einer nach links und einer nach rechts laufenden Welle gleicher Amplitude u 0, Frequenz ω =2π f und Wellenzahl k =2π/λ u 1 = u 0 sin (ωt + kx) u 2 = u 0 sin (ωt kx) Berechnung der Summe beider Wellen u = u 1 + u 2 mit Additionstheorem sin α +sinβ =2 cos 386 α β 2 sin α + β 2
20 Gleichung der stehenden Welle u (t, x) =2u 0 cos (kx) sin (ωt) k = 2π λ Knoten im Raum bei Nullstellen der Kosinusfunktion; Bedingung k x = 2π λ x = π 2 (2 m +1) m G Der Abstand zweier Knoten einer stehenden Welle beträgt stets eine halbe Wellenlänge! Experiment 130 Periodisch angeregtes Seil: stehende transversale Welle Sichtbarmachung von raumfesten Schwingungsknoten und -bäuchen bei verschiedenen Anregungsfrequenzen nützlich zur Bestimmung der Wellenlängen durch Ausmessen des Knotenabstands 387 Reflexion von Wellen Welle trifft auf den Rand des Ausbreitungsmediums auf (Grenzfläche zu einem anderen Ausbreitungsmedium) Eindringen in das andere Medium Brechung Zurücklaufen im ursprünglichen Medium Reflexion Reflexion am festen Ende Schwingungsknoten an der Grenzfläche hinlaufende und reflektierte Welle löschen sich an der Grenzfläche aus Phasensprung um π Impulsumkehr der Schwingungsbewegung der Teilchen Reflexion am losen Ende hinlaufende Welle schwingt am Ende kräftefrei aus Schwingungsbauch an der Grenzfläche hinlaufende und reflektierte Welle sind phasengleich kein Phasensprung Experiment 131 Wellenmaschine: Reflexion am festen und offenen Ende 388
21 Die schwingende Saite beidseitig eingespannte Saite (Musikinstrumente) Eigenschwingung nach Anregung Ton Eigenschwingungen der Saite sind stehende Seilwellen. Frequenz f n wird durch die Spannung σ, die Länge l und das Material (Dichte ϱ) der Saite festgelegt. Anwendung der Dispersionsbeziehung: f n = c = n σ n =1, 2, 3,... λ n 2 l ϱ λ n = 2l σ c = n ϱ Wellenlänge λ n der stehenden Welle abhängig von Saitenlänge l und n n =1, 2, 3,... Abzählen der Eigenschwingungen (Modennummer) n =1+Anzahl der innen liegende Knoten (ohne Knoten am Rand) Phasengeschwindigkeit c der transversalen Seilwelle - Herleitung siehe LB 389 Eigenschwingungen der Saite feste Knoten am Rand diskrete Eigenschwingungen f n abzählbare Schwingungsmoden, n =1, 2, 3,..., m,... Grundschwingung (1. Harmonische )bei der Frequenz f 1, tiefster Ton Modennummer n =1; 1 1=0(keine) Knoten im Inneren 1. Oberschwingung (2. Harmonische) bei f 2 =2 f 1, höherer Ton Modennummer n =2; 2 1=1Knoten im Inneren m. Oberschwingung (m +1. Harmonische) bei f m = m f 1 Modennummer n = m; m 1 Knoten im Inneren Klangfarbe einer Saite wird durch die Kombination von Grund- und Oberschwingungen bestimmt Messung der Amplitudenverteilung (= Eigenschwingungsspektrum) mittels der s.g. Fourieranalyse Experiment 132 Monocord: Schwingungen einer Saite verschiedener Länge und bei verschiedener Saitenspannung 390
22 6.3.8 Stehende Schallwellen Schallgeschwindigkeit in Luft bei 293K c Luft = χ R T M = 332 m s 1 +0, 6 m s 1 K 20 K = 344 m s 1 Schallwelle aus Luft trifft auf Festkörpergrenzfläche Reflexion Echo bei großen Entfernungen Dauerton (f) Überlagerung der hinlaufenden und reflektierten Wellen Es entsteht eine stehende Schallwelle im Raum: Schwingungsknoten (Orte ohne Luftbewegung) im Abstand von λ/2 Schwingungsbäuche (Orte maximaler Luftbewegung) dazwischen Knoten an der reflektierenden Wand, Bauch an der offenen Seite Schall: Druck schwingt lokal um den Luftdruck p 0 Schwingungsknoten (Ort ohne Luftbewegung) = Druckbäuche 391 Nullstelle der Elongation = Maximum des Drucks Schwingungsbäuche (Ort maximaler Luftbewegung) = Druckknoten Maximum der Elongation = Minimum des Drucks Experiment 133 Kundt sches Rohr: Erzeugung einer stehenden Welle in einem einseitig geschlossenen Rohr Sichtbarmachung der Schwingungsknoten und -bäuche mit Korkpulver Überprüfung der Dispersionsbeziehung c = λ f Stehende Wellen in Luftsäulen beidseitig geschlossenes Rohr feste Länge l, jeweils Schwingungsknoten an den Enden Grundschwingung bei maximaler Wellenlänge λ 1 =2 l, Frequenz f 1 = c = c λ 1 2 l 392
23 doppelte Eigenfrequenz wie einseitig offenes Rohr; schwingt eine Oktave höher Rubens sches Flammrohr einseitig offen, gasgefüllt (Erdgas, Methan; c = 396 m s 1 ) Sichtbarmachung der Druckunterschiede bei Änderung der Frequenz Experiment 134 Rubens sches Flammrohr: stehende Welle in einem Gas, Sichtbarmachung der Druckunterschiede in der Welle Experiment 137 Stehende Schallwelle im Hörsaal: Studenten hören Schwingungsbäuche und Täler einer stehenden Schallwelle im Hörsaal 393
F R. = Dx. M a = Dx. Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder
6. Schwingungen Schwingungen Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang Zu besprechen: ungedämpfte freie Schwingung gedämpfte freie Schwingung erzwungene gedämpfte Schwingung
Mehr9 Periodische Bewegungen
Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen Mit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T Welle Schwingung breitet sich im Raum aus Zustand y wiederholt sich in Raum
Mehr[c] = 1 m s. Erfolgt die Bewegung der Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle, dann liegt liegt Transversalwelle vor0.
Wellen ================================================================== 1. Transversal- und Longitudinalwellen ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mehr8. Periodische Bewegungen
8. Periodische Bewegungen 8.1 Schwingungen 8.1.1 Harmonische Schwingung 8.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 8.1.4 Erzwungene Schwingung 8. Periodische Bewegungen Schwingung Zustand y wiederholt
MehrEinführung in die Physik
Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Übung : Vorlesung: Tutorials: Montags 13:15 bis 14 Uhr, Liebig-HS Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Montags
MehrVorlesung Physik für Pharmazeuten und Biologen
Vorlesung Physik für Pharmazeuten und Biologen Schwingungen Mechanische Wellen Akustik Freier harmonischer Oszillator Beispiel: Das mathematische Pendel Bewegungsgleichung : d s mg sinϕ = m dt Näherung
MehrDas führt zu einer periodischen Hin- und Herbewegung (Schwingung) Applet Federpendel (http://www.walter-fendt.de)
Elastische SCHWINGUNGEN (harmonische Bewegung) Eine Masse sei reibungsfrei durch elastische Kräfte in einer Ruhelage fixiert Wenn aus der Ruhelage entfernt wirkt eine rücktreibende Kraft Abb. 7.1 Biologische
Mehr9. Periodische Bewegungen
Inhalt 9.1 Schwingungen 9.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 9.1.4 Erzwungene Schwingung 9.1 Schwingungen 9.1 Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen
MehrPhysik III im Studiengang Elektrotechnik
Physik III im Studiengang Elektrotechnik - Schwingungen und Wellen - Prof. Dr. Ulrich Hahn SS 28 Mechanik elastische Wellen Schwingung von Bauteilen Wasserwellen Akustik Elektrodynamik Schwingkreise elektromagnetische
MehrPhysik B2.
Physik B2 https://e3.physik.tudortmund.de/~suter/vorlesung/physik_a2_ws17/physik_a2_ws17.html 1 Wellen Welle = Ausbreitung einer Störung in einem kontinuierlichen Medium oder einer räumlich periodischen
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Gedämpfte & erzwungene Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 16. Dez. 16 Harmonische Schwingungen Auslenkung
MehrEPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
11. Vorlesung EP I Mechanik 7. Schwingungen gekoppelte Pendel 8. Wellen (transversale und longitudinale Wellen, Phasengeschwindigkeit, Dopplereffekt Superposition von Wellen) Versuche: Schwebung gekoppelte
Mehr5 Schwingungen und Wellen
5 Schwingungen und Wellen Schwingung: Regelmäßige Bewegung, die zwischen zwei Grenzen hin- & zurückführt Zeitlich periodische Zustandsänderung mit Periode T ψ ψ(t) [ ψ(t-τ)] Wellen: Periodische Zustandsänderung
Mehr12. Vorlesung. I Mechanik
12. Vorlesung I Mechanik 7. Schwingungen 8. Wellen transversale und longitudinale Wellen, Phasengeschwindigkeit, Dopplereffekt Superposition von Wellen 9. Schallwellen, Akustik Versuche: Wellenwanne: ebene
MehrEPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler
11. Vorlesung EP I Mechanik 7. Schwingungen Wiederholung: Resonanz 8. Wellen (transversale und longitudinale Wellen, Phasengeschwindigkeit, Dopplereffekt Superposition von Wellen) Versuche: Glas zersingen
MehrIII. Gekoppelte Schwingungen und Wellen 1. Komplexe Schwingungen 1.1. Review: harmonischer Oszillator
III. Gekoppelte Schwingungen und Wellen 1. Komplexe Schwingungen 1.1. Review: harmonischer Oszillator Hooksches Gesetz Harmonisches Potential allgemeine Lösung Federpendel Fadenpendel Feder mit Federkonstante
MehrÜBUNGSAUFGABEN PHYSIK SCHWINGUNGEN KAPITEL S ZUR. Institut für Energie- und Umwelttechnik Prof. Dr. Wolfgang Kohl UND WELLEN.
ÜBUNGSAUFGABEN ZUR PHYSIK KAPITEL S SCHWINGUNGEN UND WELLEN Institut für Energie- und Umwelttechnik Prof. Dr. Wolfgang Kohl IEUT 10/05 Kohl 1. Schwingungen 10/2005-koh 1. Welche Auslenkung hat ein schwingender
MehrBei gekoppelten Pendeln breitet sich die Schwingung von einem zum nächsten aus
7. Wellen Ausbreitung von Schwingungen -> Wellen Bei gekoppelten Pendeln breitet sich die Schwingung von einem zum nächsten aus Welle entsteht durch lokale Anregung oder Störung eine Mediums, die sich
MehrÜbungen zu Physik I für Physiker Serie 12 Musterlösungen
Übungen zu Physik I für Physiker Serie 1 Musterlösungen Allgemeine Fragen 1. Warum hängt der Klang einer Saite davon ab, in welcher Entfernung von der Mitte man sie anspielt? Welche Oberschwingungen fehlen
Mehr(a) In welcher Zeit nach einem Nulldurchgang ist der Betrag der Auslenkung
Schwingungen SW1: 2 Ein Körper bewegt sich harmonisch. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage um x = 7,5 mm erfährt er eine Beschleunigung von a = 1,85 m s 2. Wie viele Schwingungen pro Sekunde führt er
MehrSchwingungen. a. Wie lautet die Gleichung für die Position der Masse als Funktion der Zeit? b. Die höchste Geschwindigkeit des Körpers.
Schwingungen Aufgabe 1 Sie finden im Labor eine Feder. Wenn Sie ein Gewicht von 100g daran hängen, dehnt die Feder sich um 10cm. Dann ziehen Sie das Gewicht 6cm herunter von seiner Gleichgewichtsposition
MehrEine Kreis- oder Rotationsbewegung entsteht, wenn ein. M = Fr
Dynamik der ebenen Kreisbewegung Eine Kreis- oder Rotationsbewegung entsteht, wenn ein Drehmoment:: M = Fr um den Aufhängungspunkt des Kraftarms r (von der Drehachse) wirkt; die Einheit des Drehmoments
MehrInhalt der Vorlesung A1
PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Inhalt der Vorlesung A1 1. Einführung Methode der Physik Physikalische Größen Übersicht über die vorgesehenen Themenbereiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Beschreibung
MehrIII. Schwingungen und Wellen
III. Schwingungen und Wellen III.1 Schwingungen Physik für Mediziner 1 Schwingungen Eine Schwingung ist ein zeitlich periodischer Vorgang Schwingungen finden im allgemeinen um eine stabile Gleichgewichtslage
MehrHARMONISCHE SCHWINGUNGEN
HARMONISCHE SCHWINGUNGEN Begriffe für Schwingungen: Die Elongation γ ist die momentane Auslenkung. Die Amplitude r ist die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage (r >0). Die Schwingungsdauer T
MehrSkript zum Ferienkurs Experimentalphysik 1
Skript zum Ferienkurs Experimentalphysik 1 Christoph Buhlheller, Rebecca Saive, David Franke Florian Hrubesch, Wolfgang Simeth, Wolfhart Feldmeier 17. Februar 009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Schwingungen
Mehr2. Physikalisches Pendel
2. Physikalisches Pendel Ein physikalisches Pendel besteht aus einem starren Körper, der um eine Achse drehbar gelagert ist. A L S φ S z G Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik 2 6.2-1 2.1 Bewegungsgleichung
MehrPhysik 1 für Ingenieure
Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#
Mehr9. Akustik. I Mechanik. 12. Vorlesung EP. 7. Schwingungen 8. Wellen 9.Akustik
12. Vorlesung EP I Mechanik 7. Schwingungen 8. Wellen 9.Akustik Versuche: Stimmgabel und Uhr ohne + mit Resonanzboden Pfeife Schallgeschwindigkeit in Luft Versuch mit Helium Streichinstrument Fourier-Analyse
MehrBlatt Musterlösung Seite 1. Aufgabe 1: Schwingender Stab
Seite 1 Aufgabe 1: Schwingender Stab Ein Stahlstab der Länge l = 1 m wird an beiden Enden fest eingespannt. Durch Reiben erzeugt man Eigenschwingungen. Die Frequenz der Grundschwingung betrage f 0 = 250
MehrPhysik für Erdwissenschaften
Physik für Erdwissenschaften 9. 12. 2004 (VO 16) Emmerich Kneringer Schwingungen und Wellen Erdbeben Was versteht man unter Physik Naturvorgänge erklären? Die Naturvorgänge mit Formeln beschreiben? Gleichungen
MehrEinführung in die Physik I. Schwingungen und Wellen 3
Einführung in die Physik Schwingungen und Wellen 3 O. von der Lühe und U. Landgraf Elastische Wellen (Schall) Elastische Wellen entstehen in Flüssigkeiten und Gasen durch zeitliche und räumliche Veränderungen
MehrSchwingungen. Harmonische Schwingungen. t Anharmonische Schwingungen. S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1
Schwingungen Harmonische Schwingungen x t Anharmonische Schwingungen x x t S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1 t ANHARMONISCHE SCHWINGUNGEN EHB : Kraft F = -k(x-x o ) Potentielle Energie: E p E p Parabel mit
MehrFerienkurs Teil III Elektrodynamik
Ferienkurs Teil III Elektrodynamik Michael Mittermair 27. August 2013 1 Inhaltsverzeichnis 1 Elektromagnetische Schwingungen 3 1.1 Wiederholung des Schwingkreises................ 3 1.2 der Hertz sche Dipol.......................
Mehrwir-sind-klasse.jimdo.com
1. Einführung und Begriffe Eine vom Erreger (periodische Anregung) wegwandernde Störung heißt fortschreitende Welle. Die Ausbreitung mechanischer Wellen erfordert einen Träger, in dem sich schwingungsfähige
MehrSchwingungen. Inhaltsverzeichnis. TU München Experimentalphysik 1 DVP Vorbereitungskurs. Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne
TU München Experimentalphysik 1 DVP Vorbereitungskurs Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne Schwingungen Donnerstag, der 31.07.008 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Schwingungen und Wellen 1
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Erzwungene & gekoppelte Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 10. Jan. 016 Gedämpfte Schwingungen m d x dt +
Mehrgekoppelte Pendelreihe Wellenmaschine Seilwelle (hin und her)
Mechanik Wellen 16. Wellen 16.1. Einleitung Beispiele: gekoppelte Pendelreihe Wellenmaschine Seilwelle (hin und her) Was passiert? Das schwingende Medium/Teilchen bewegt sich nicht fort, sondern schwingt
MehrÜbungsaufgaben Physik II
Fachhochschule Dortmund Blatt 1 1. Ein Auto hat leer die Masse 740 kg. Eine Nutzlast von 300 kg senkt den Wagen in den Radfedern um 6 cm ab. Welche Periodendauer hat die vertikale Schwingung, die der Wagen
MehrProbestudium der Physik 2011/12
Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion
MehrMechanische Schwingungen Aufgaben 1
Mechanische Schwingungen Aufgaben 1 1. Experiment mit Fadenpendel Zum Bestimmen der Fallbeschleunigung wurde ein Fadenpendel verwendet. Mit der Fadenlänge l 1 wurde eine Periodendauer von T 1 =4,0 s und
MehrVorbereitung: Pendel. Marcel Köpke Gruppe
Vorbereitung: Pendel Marcel Köpke Gruppe 7 10.1.011 Inhaltsverzeichnis 1 Augabe 1 3 1.1 Physikalisches Pendel.............................. 3 1. Reversionspendel................................ 6 Aufgabe
Mehr4.3 Schwingende Systeme
Dieter Suter - 217 - Physik B3 4.3 Schwingende Systeme Schwingungen erhält man immer dann, wenn die Kraft der Auslenkung entgegengerichtet ist. Ist sie außerdem proportional zur Kraft, so erhält man eine
MehrHeute: Wellen, Überlagerung von Wellen, Dispersion, Fourier-Synthese, Huygenssche Prinzip, Kohärenz, Interferenz
Roter Faden: Vorlesung 12+13+14: Heute: Wellen, Überlagerung von Wellen, Dispersion, Fourier-Synthese, Huygenssche Prinzip, Kohärenz, Interferenz Versuche: Huygens sche Prinzip, Schwebungen zweier Schwinggabel,
MehrPhysik für Oberstufenlehrpersonen. Frühjahrssemester Schwingungen und Wellen
Physik für Oberstufenlehrpersonen Frühjahrssemester 2018 Schwingungen und Wellen Zum Einstieg in das neue Semester Schwingungen Schwingungen spielen bei natürlichen Prozessen bedeutende Rolle: -Hören und
MehrPhysik III im Studiengang Elektrotechnik
Physik III im Studiengang Elektrotechnik - harmonische Schwingungen - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 216/17 kinematische Beschreibung Auslenkungs Zeit Verlauf: ( t) ˆ cost Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung
MehrDas Hook sche Gesetz
Das Hook sche Gesetz Bei einer Feder sind Ausdehnung und Kraft, die an der Feder zieht (z.b. Gewichtskraft einer Masse), proportional 18.04.2013 Wenn man eine Messung durchführt und die beiden Größen gegeneinander
MehrFormelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler
Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]
MehrSchwingungen & Wellen
Schwingungen & Wellen 2 2.1 Harmonische Schwingung, Dämpfung, Resonanz I Theorie Schwingungen spielen eine große Rolle in allen Bereichen der Physik. In Uhren sind sie fundamental, in mechanischen Maschinen
Mehru(z, t 0 ) u(z, t 0 + t) z = c t Harmonische Welle
u(z, t) l u(z, t + t) z Welle: Form der Auslenkung (Wellenlänge l) läuft fort; Teilchen schwingen um Ruhelage (Frequenz f = 1/T) Einheit der Frequenz : Hertz (Hz) : 1 Hz = 1/s Geschwindigkeit Wellenlänge
MehrPN 1 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen Karin Beer, Paul Koza, Nadja Regner, Thorben Cordes, Peter Gilch
PN 1 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen.1.006 Karin Beer, Paul Koza, Nadja Regner, Thorben Cordes, Peter Gilch Lehrstuhl für BioMolekulare Optik Department für Physik Ludwig-Maximilians-Universität
MehrPN 1 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen
PN 1 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen 22.12.2006 Karin Beer, Paul Koza, Nadja Regner, Thorben Cordes, Peter Gilch Lehrstuhl für BioMolekulare Optik Department für Physik Ludwig-Maximilians-Universität
MehrDas Hook sche Gesetz. Wenn man eine Messung durchführt und die beiden Größen gegeneinander aufträgt erhält man. eine Ursprungsgerade.
Das Hook sche Gesetz 04-09.2016 Bei einer Feder sind Ausdehnung und Kraft, die an der Feder zieht (z.b. Gewichtskraft einer Masse), proportional F s Wenn man eine Messung durchführt und die beiden Größen
Mehr8. Akustik, Schallwellen
Beispiel 2: Stimmgabel, ein Ende offen 8. Akustik, Schallwellen λ l = n, n = 1,3,5,.. 4 f n = n f1, n = 1,3,5,.. 8.Akustik, Schallwellen Wie gross ist die Geschwindigkeit der (transversalen) Welle in der
Mehr2 Mechanische Schwingungen und Wellen. 2.1 Mechanische Schwingungen
2 Mechanische Schwingungen und Wellen 2.1 Mechanische Schwingungen 2.1.1 Harmonische Schwingungen Federpendel, Fadenpendel 2.1.2 Gedämpfte Schwingungen 2.1.3 Erzwungene Schwingungen 2.2 Wellen 2.2.1 Transversale
MehrEinführung in die Physik I. Schwingungen und Wellen 1
Einführung in die Physik I Schwingungen und Wellen O. von der Lühe und U. Landgraf Schwingungen Periodische Vorgänge spielen in eine große Rolle in vielen Gebieten der Physik E pot Schwingungen treten
MehrKlassische und relativistische Mechanik
Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti 13. 02. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und relativistische Mechanik
MehrPhysik I Einführung in die Physik Mechanik
Physik I Einführung in die Physik Mechanik Winter 00/003, Prof. Thomas Müller, Universität Karlsruhe Lösung 13; Letztes Lösungsblatt 1. Torsionspendel (a) Vergleichen Sie die Größen rehwinkel ϕ, Winkelgeschwindigkeit
MehrMechanische Schwingungen und Wellen
Mechanische und Wellen Inhalt 1. 2.Überlagerung von 3.Entstehung und Ausbreitung von Wellen 4.Wechselwirkungen von Wellen 2 Voraussetzungen Schwingfähige Teilchen Energiezufuhr Auslenkung Rücktreibende
Mehr9. Periodische Bewegungen
9.2 Wellen Inhalt 9.2 Wellen 9.2.1 Harmonische Welle 9.2.2 Interferenz von Wellen 9.2.3 Wellenpakete 9.2.3 Stehende Wellen 9.2 Wellen 9.2 Wellen 9.2 Wellen Störung y breitet sich in Raum x und Zeit t aus.
MehrPhysik 1 für Chemiker und Biologen 11. Vorlesung
Physik 1 für Chemiker und Biologen 11. Vorlesung 22.01.2018 Wiederholungs-/Einstiegsfrage: Abstimmen unter pingo.upb.de, #282978 http://xkcd.com/1161/ Heute: - Wiederholung: Schwingungen - Resonanz - Wellen
MehrPhysik 1 für Chemiker und Biologen 11. Vorlesung
Physik 1 für Chemiker und Biologen 11. Vorlesung 16.01.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de Heute: - Wiederholung: Schwingungen - Resonanz - Wellen http://xkcd.com/273/ Klausur Bitte genau ausfüllen!
Mehr120 Gekoppelte Pendel
120 Gekoppelte Pendel 1. Aufgaben 1.1 Messen Sie die Schwingungsdauer zweier gekoppelter Pendel bei gleichsinniger und gegensinniger Schwingung. 1.2 Messen Sie die Schwingungs- und Schwebungsdauer bei
MehrExperimentalphysik 1
Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 016/17 Übung 4 Ronja Berg (ronja.berg@ph.tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) A. Übungen A.1. Schwingung
Mehrm s km v 713 h Tsunamiwelle Ausbreitungsgeschwindigkeit: g=9,81m/s 2,Gravitationskonstante h=tiefe des Meeresbodens in Meter
Wellen Tsunami Tsunamiwelle Ausbreitungsgeschwindigkeit: v g h g=9,81m/s 2,Gravitationskonstante h=tiefe des Meeresbodens in Meter Berechnungsbeispiel: h=4000 m v 9,81 4000 198 km v 713 h m s Räumliche
Mehr10. Vorlesung EP I. Mechanik 7. Schwingungen (freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung, Resonanz, Schwebung)
10. Vorlesung EP I. Mechanik 7. Schwingungen (freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung, Resonanz, Schwebung) Versuche: Pendel mit zwei Längen Sandpendel ohne/mit Dämpfung erzwungene Schwingung mit ω
MehrPhysik 1 für Chemiker und Biologen 11. Vorlesung
Physik 1 für Chemiker und Biologen 11. Vorlesung 16.01.2017 Heute: - Wiederholung: Schwingungen - Resonanz - Wellen Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de http://xkcd.com/273/ Bitte genau ausfüllen!
MehrDas Hook sche Gesetz
Das Hook sche Gesetz Bei einer Feder sind Ausdehnung und Kraft, die an der Feder zieht (z.b. Gewichtskraft einer Masse), proportional Wenn man eine Messung durchführt und die beiden Größen gegeneinander
MehrSCHWINGUNGEN WELLEN. Schwingungen Resonanz Wellen elektrischer Schwingkreis elektromagnetische Wellen
Physik für Pharmazeuten SCHWINGUNGEN WELLEN Schwingungen Resonanz elektrischer Schwingkreis elektromagnetische 51 5.1 Schwingungen Federpendel Auslenkung x, Masse m, Federkonstante k H d xt ( ) Bewegungsgleichung:
MehrM 10 Resonanz und Phasenverschiebung bei der mechanischen Schwingung
Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum M 1 esonanz und Phasenverschiebung bei der mechanischen Schwingung Aufgaben 1. Bestimmen Sie die Frequenz der freien gedämpften Schwingung
MehrLösung der harmonischen Oszillator-Gleichung
Lösung der harmonischen Oszillator-Gleichung Lucas Kunz 8. Dezember 016 Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Herleitung 1.1 Gravitation................................... 1. Reibung.....................................
MehrVorbereitung. Resonanz. Carsten Röttele. 17. Januar Drehpendel, freie Schwingungen 3. 2 Drehpendel, freie gedämpfte Schwingungen 3
Vorbereitung Resonanz Carsten Röttele 17. Januar 01 Inhaltsverzeichnis 1 Drehpendel, freie Schwingungen 3 Drehpendel, freie gedämpfte Schwingungen 3 3 Messung der Winkelrichtgröße D 4 4 Drehpendel, erzwungene
MehrAnhang C: Wellen. vorhergesagt 1916 (Albert Einstein) Entdeckung 2016 (LIGO-Kollaboration) Albert Einstein Christian Schwanenberger -
Anhang C: Wellen Computersimulation der von zwei sich umkreisenden Schwarzen Löchern ausgelösten Gravitationswellen in der Raum-Zeit (Illu.) Albert Einstein 1879-19 Physik-II vorhergesagt 1916 (Albert
MehrKapitel 5: Mechanische Wellen
Kapitel 5: Mechanische Wellen 5.1 Was sind Wellen? 5.2 Beschreibung der eindimensionalen Wellenausbreitung 5.3 Harmonische Wellen 5.4 Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit 5.5 Wellen im Festkörper
Mehr3 Akustik. 3.1 Schallwellen (Versuch 23) 12 3 AKUSTIK. Physikalische Grundlagen
12 3 AKUSTIK 3 Akustik 3.1 Schallwellen (Versuch 23) (Fassung 11/2011) Physikalische Grundlagen Fortschreitende (laufende) Wellen Eine in einem elastischen Medium hervorgerufene Deformation breitet sich
MehrVorlesung 10+11: Roter Faden:
Vorlesung 10+11: Roter Faden: Heute: Harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen Resonanzen Gekoppelte Schwingungen Schwebungen, Interferenzen Versuche: Computersimulation, Pohlsches Rad, Film Brücke,
Mehr11.1 Wellenausbreitung 11.2 Wellengleichung 11.3 Interferenzen und Gruppengeschwindigkeit
Inhalt Wellenphänomene. Wellenausbreitung. Wellengleichung.3 Interferenzen und Gruppengeschwindigkeit Wellenphänomene Wellen sind ein weiteres wichtiges physikalisches Phänomen Anwendungen: Radiowellen
Mehr1. Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit von Ultraschallwellen in Wasser durch Messung der Wellenlänge und Frequenz stehender Wellen.
Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie Grundpraktikum 10/015 M Schallwellen Am Beispiel von Ultraschallwellen in Wasser werden Eigenschaften von Longitudinalwellen betrachtet. Im ersten
MehrPhysik 1 für Ingenieure
Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 05. Januar 2017 HSD. Physik. Schwingungen II
Physik Schwingungen II Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung x(t) = cos! 0 t v(t) =ẋ(t) =! 0 sin! 0 t t a(t) =ẍ(t) =! 2 0 cos! 0 t Energie In einem mechanischen System ist die Gesamtenergie immer gleich
MehrAkustik. t 1 > t 0. x = c t
Akustik Wir kehren jetzt von der Wärmestrahlung (im Sinne der Thermodynamik eines Photonengases) zurück zu einem normalen Gas (oder gar einem Festkörper) und betrachten, wie sich eine Störung im Medium
MehrKlausur zur Experimentalphysik I für Geowissenschaftler und Geoökologen (Prof. Philipp Richter)
Übungsgruppenleiter: Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie 14.02.2012 Klausur zur Experimentalphysik I für Geowissenschaftler und Geoökologen (Prof. Philipp Richter) Gesamtpunktzahl: 52
MehrPrüfungsvorbereitung Physik: Optik, Schwingungen, Wellen
Prüfungsvorbereitung Physik: Optik, Schwingungen, Wellen Theoriefragen: Diese Begriffe müssen Sie auswendig in ein bis zwei Sätzen erklären können. ) Wie sehen wir Dinge? 2) Streuung 3) Brechung 4) Totalreflexion
Mehr2 AKUSTIK. Physik der Akustikgitarre M. Föller Nord, MECHANISCHE SCHWINGUNGEN OSZILLATOREN HARMONISCHE SCHWINGUNG
2 Physik der Akustikgitarre M. Föller Nord, 26.8.9 Physik der Akustikgitarre Ein kleiner Einblick in die Physik der Schallwellen und der Erzeugung von Tönen auf der Akustikgitarre. Die folgenden Abschnitte
Mehr4.2 Der Harmonische Oszillator
Dieter Suter - 208 - Physik B3, SS03 4.2 Der Harmonische Oszillator 4.2.1 Harmonische Schwingungen Die Zeitabhängigkeit einer allgemeinen Schwingung ist beliebig, abgesehen von der Periodizität. Die mathematische
Mehr7. Periodische Bewegungen Physik für E-Techniker. 7.2 Wellen Harmonische Welle Wellenpakete. Doris Samm FH Aachen
7. Periodische Bewegungen 7.2 Wellen 7.2.1 Harmonische Welle 7.2.2 Interferenz von Wellen 7.2.3 Wellenpakete 723 7.2.3 Stehende Wellen 7.2 Wellen Störung y breitet sich in Raum x und Zeit t aus. y = f(t)
MehrSA Saitenschwingungen
SA Saitenschwingungen Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) Freitag, 13. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen 2 2.1 Allgemeine Wellengleichung............... 2 2.2 Transversalwelle
MehrHarmonische Schwingungen
Kapitel 6 Harmonische Schwingungen Von periodisch spricht man, wenn eine feste Dauer zwischen wiederkehrenden ähnlichen oder gleichen Ereignissen besteht. Von harmonisch spricht man, wenn die Zeitentwicklung
MehrResonanzverhalten eines Masse-Feder Systems (M10)
Resonanzverhalten eines Masse-Feder Systems M0) Ziel des Versuches In diesem Versuch werden freie, freie gedämpfte und erzwungene Schwingungen an einem Masse-Feder System untersucht Die Resonanzkurven
MehrWas gibt es in Vorlesung 6 zu lernen?
Was gibt es in Vorlesung 6 zu lernen? Beispiele für Schwingfähige Systeme - Federpendel - Schwerependel - Torsionspendel Energiebilanz Schwingungen gedämpfte Schwingungen - in der Realität sind praktisch
MehrFeder-, Faden- und Drillpendel
Dr Angela Fösel & Dipl Phys Tom Michler Revision: 30092018 Eine Schwingung (auch Oszillation) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem Gleichgewicht
Mehr20. Partielle Differentialgleichungen Überblick
- 1-0. Partielle Differentialgleichungen Überblick Partielle Differentialgleichungen (PDE = partial differential equation) sind Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Variablen (und einer abhängigen
MehrDifferentialgleichungen 2. Ordnung
Differentialgleichungen 2. Ordnung 1-E1 1-E2 Einführendes Beispiel Freier Fall Viele Geschichten ranken sich um den schiefen Turm von Pisa: Der Legende nach hat der aus Pisa stammende Galileo Galilei bei
MehrPP Physikalisches Pendel
PP Physikalisches Pendel Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen 2 2.1 Ungedämpftes physikalisches Pendel.......... 2 2.2 Dämpfung
MehrPhysik III im Studiengang Elektrotechnik
Physik III im Studiengang Elektrotechnik - Wellen - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 06/7 Eigenschaften von Wellen Kette gekoppelter Oszillatoren: Auslenkung eines Oszillators Nachbarn folgen mit zeitlicher Verzögerung
MehrVorbereitung. (1) bzw. diskreten Wellenzahlen. λ n = 2L n. k n = nπ L
Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Gitterschwingungen Vorbereitung Armin Burgmeier Robert Schittny 1 Theoretische Grundlagen Im Versuch Gitterschwingungen werden die Schwingungen von Atomen in einem
Mehr5.2. Mechanische Wellen
Dieter Suter - 97 - Physik B 5.. Mechanische Wellen 5..1. Lineare Kette Bereits im Kapitel Schwingungen hatten wir ein Modell diskutiert, in dem Massen durch Federn verbunden sind. Für eine Auslenkung
MehrErzwungene Schwingungen
Fachrichtung Physik Physikalisches Grundpraktikum Versuch: ES Erstellt: M. Kauer B. Scholz Aktualisiert: am 28. 06. 2016 Erzwungene Schwingungen Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 2 2 Theoretische Grundlagen
Mehr