Physik III im Studiengang Elektrotechnik

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1 Physik III im Studiengang Elektrotechnik - Wellen - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 06/7

2 Eigenschaften von Wellen Kette gekoppelter Oszillatoren: Auslenkung eines Oszillators Nachbarn folgen mit zeitlicher Verzögerung Anregungszentrum zeitlich variable Auslenkung eines Mediums an definiertem Ort räumliche Ausbreitung Auslenkungsprofil wandert durch das Medium mit bestimmter Geschwindigkeit Energietransport ohne Materietransport Medium: räumliche Anordnung gekoppelter Oszillatoren Kopplungsstärke Ausbreitungsgeschwindigkeit Oszillatoren nicht separierbar: kontinuierliche Medien Wellen

3 Mechanik: Elektrodynamik: Atome, Kerne: Beispiele von Wellen Festkörper Seil, Feder Platte 3 dim. Körper Flüssigkeiten Gase Vakuum, Nichtleiter Leiter Oberflächenwellen Druckwellen Oberflächenwellen Druckwellen Druckwellen elektromagnetische Wellen Strom-, Spannungs-, Ladungswellen Ladungsverteilung im Raum Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wellen 3

4 was beeinflusst die Wellenausbreitung? Welle: zeitlicher Verlauf Anregungszentrum räumliche Verteilung Medium Geometrie Anregungszentrum - Medium ebene Wellen Zylinderwellen Kugelwellen Richtungen von Auslenkung & Ausbreitung Transversalwellen Auslenkung Ausbreitung Longitudinalwellen Auslenkung // Ausbreitung Mischformen Dämpfung im Medium Dispersion im Medium Deformation der räumlichen Verteilung Wellen 4

5 Ausbreitung eindimensionaler Wellen keine Dämpfung, keine Dispersion zeitlicher Verlauf der Auslenkung eines Punktes x i im Medium: phasenverschoben zum Anregungszentrum x 0 s t, xi ) s( t t, x ) ( 0 nacheilend räumlicher Verlauf der Auslenkung zu verschiedenen Zeiten t j : verschoben in Ausbreitungsrichtung s( t j, x) s( t0, x x) s x x t t 5

6 Ausbreitung eindimensionaler Wellen Welle Ausbreitung eines räumlichen Auslenkungsmusters Muster zum Zeitpunkt t = 0: s( x, t 0) : f ( x) t > 0: s( x, t) : f ( x ct) Welle c: Phasengeschwindigkeit alle Auslenkungszustände f(x) breiten sich im Medium mit c aus ein Punkt von f(x) beschreibt auch die Wellenausbreitung Wellenfront alle Punkte im Medium: gleiche Bewegung wie Anregungszentrum jeder Punkt: Anregungszentrum für weitere Ausbreitung Anregungszentrum x = 0: s( x 0, t) : g( t) x > 0: s( x, t) : g( t x / c) in x-richtung: c > 0 gegen x-richtg: c < 0 Schwingung Wellen 6

7 harmonische Wellen Anregungszentrum x = 0 schwingt harmonisch: g( t) sˆ cost x* Oszillator am Ort x*: t t x*/c s( x*, t) sˆ cos(ω( t )) c s(x,t) periodisch am Ort x* für die Zeitintervalle T = p Welle auf dem Medium zum Zeitpunkt t*: s( x, t*) sˆ cos( x t*) c s(x,t) periodisch zur Zeit t* für die Ortsintervalle l = ct l : Wellenlänge p/l : k : Wellenzahl s( x, t*) sˆ cosk( x ct*) t andere Zeiten t*: x x c t* 0: s( x,0) : f ( x) sˆ coskx Ausbreitung harmonischer Wellen: s( x, t) sˆ cos( t k x) andere Wellen: Fourieranalyse Wellen 7

8 transversale Seilwelle: Ausbreitungsgeschwindigkeit Wellenprofil Kreissegment s r rücktreibende Kraft: F Rück F l F l F r s F sin Kreisbogen stabil rücktreibende Kraft = Zentripetalkraft r F r m s c² F sin r c : Seilspannung F/Seilquerschnittsfläche Kopplung der Oszillatoren : Dichte des Seilmaterials Trägheit der Oszillatoren c ist nur abhängig von Kenngrößen des Mediums Wellen 8

9 Ausbreitungsgeschwindigkeit Ausbreitung von Wellen im Medium Wellengleichung s ( x, t) s ( x, t) c² Mechanik: Kräfte t² x² Elektrodynamik: Felder Ausbreitungsgeschwindigkeiten unterschiedlicher Medien: Longitudinalwellen (Gas) Longitudinalw. (Flüss.) Longitudinalw. (Stab) elektromagnet. Welle elektromagnet. Welle (-Draht) c c c c c P C / L / Wellen 9 K E P: mittlerer Druck : Adiabatenexponent K: Kompressionsmodul : Dichte E: Elastizitätsmodul : Dichte : Permeabilität : Permittivität C/l: Kapazitätsbelag L/l: Induktivitätsbelag

10 Energietransport Welle breitet sich im Medium aus: s t 0 t x l Zone mit E pot 0 wandert Energietransport Energiestrom: de E P pot d t t E pot, Welle c kontinuierliche räumliche Medien: jeder Punkt Energiedichte w EWelle wwellev Welle P wwelle c AMedium harmonische Seilwelle: E Osz m Osz ² sˆ² I ² sˆ ² P I Welle A Medium Intensität Energiestromdichte [W/m²] Wellen 0

11 Wellenwiderstand elektromagnetische Wellen im -Draht: Energie eines Schwingkreises: ESK LSKiˆ² CSKuˆ ² Energiestrom: L L Wellenwiderstand P iˆ² mit : Z P Z iˆ² uˆ ² C C der Leitung Z elektromagnetische Wellen im Raum: w ( E D H B) Z /Z r0 I H ˆ r0 ² I E ˆ ² Z Vakuum = 377 W r 0 Seilwelle: L m Liˆ² ˆ mvˆ ² iˆ ² ˆ vˆ ² r I vˆ² Z c Wellen Seil 0

12 Reflexion von Wellen was passiert am Ende des Mediums? Reflexion loses Ende: Grenzoszillator kann ungehindert schwingen Profil der reflektierten Welle bleibt Grenzoszillator: keine Kopplung an Grenze festes Ende: Grenzoszillator kann nicht schwingen Profil der reflektierten Welle wird invertiert Grenzoszillator: starre Kopplung an Grenze Wellen

13 Reflexion von Wellen was passiert der Grenze zwischen Medien? Transmission Reflexion c > c : Kopplung im Medium stärker als im Medium loses Ende Reflexion ohne Inversion c < c : Kopplung im Medium stärker als im Medium festes Ende Reflexion mit Inversion sprunghafte Änderung von c: kontinuierliche Änderung von c: Transmission & Reflexion Transmission Wellen 3

14 Energieaufteilung an der Grenze Energiesatz: Eein Erefl. Etransm. senkr. Einfall I ein I refl. I transm. einlaufende und reflektierte Welle: Medium c, Z transmittierte Welle: Medium c, Z elektromagnetische Welle auf Zweidrahtleitung: Z iˆ ein Z iˆ refl Kirchhoffsche Regel an der Grenze: Z iˆ trans iˆ ein iˆ refl iˆ trans Irefl Z Z Reflexionsgrad R : ( )² I Z Z Transmissionsgrad I ein trans T : I ( Z Wellen ein Z ) 4 4Z Z Fresnel- Formeln

15 Energieaufteilung an der Grenze Grenzfälle: Medium : loses Ende c = 0 => Z = 0 iˆ refl iˆ ein Medium : festes Ende c, Z iˆ refl iˆ ein Medium : Abschluss mit Z Z = Z iˆ refl 0 Wellensumpf Abschluss von HF-Kabeln Wellen 5

16 Transversalwellen Wellen 6

17 Longitudinalwellen Wellen 7

18 Wasserwellen Wellen 8