Experimentalphysik 1

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 1 Winter 2015/16 Vorlesung 4 Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 9 Mechanische Wellen Harmonische Wellen Beugung, Brechung und Reflexion Wellen bei bewegten Quellen Gase Makroskopische Gesetze Barometische Höhenformel Kinetische Gastheorie Transport in Gasen Diffusion und Brownsche Molekularbewegung Wärmeleitung Viskosität Strömende Flüssigkeiten und Gase Euler-Gleichung für ideale Flüssigkeiten Kontinuitätsgleichung Bernoulli-Gleichung Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 9 Mechanische Wellen 9.1 Harmonische Wellen Bei der Kopplung vieler Massenpunkte führt die Schwingung eines einzelnen Oszillators zur Übertragung und Ausbreitung der Schwingung auf alle Massenpunkte. Unter einer Welle versteht man den zeitlich und räumlich periodischen entstehenden Vorgang. Die zeitliche und räumliche Entwicklung einer Welle wird durch die Wellengleichung beschrieben. Für eine ebene Welle die sich in z Richtung ausbreitet gilt: 2 ξ z = 1 2 ξ (1) 2 v 2 t 2 Hierbei ist v = v ph = ω k haben die Form: = f λ die Phasengeschwindigkeit. Die Lösungen der Wellengleichung ξ(z, t) = Ce i(ωt kz) + C e i(ωt kz) (2) Bei einer mechanischen Welle kommt es aufgrund der Kopplung der Oszillatoren zum Energietransport. Aus der kinetischen Energie eines Massenelements m, welches mit ξ(t, z) = A cos(ωt kz) oszilliert E kin = 1 2 m ξ 2 = 1 2 ρ VA2 ω 2 sin 2 (ωt kz) (3) kann die mittlere Energiedichte pro Schwingungsperiode und Volumenelement V ermittelt werden: E kin V = 1 4 ρa2 ω 2 = E pot V (4) Mit W = E kin + E pot ergibt sich die Energieflussdichte ρ E : ρ E = W V = 1 2 ρa2 ω 2 (5) Zusammen mit der Phasengeschwindigkeit folgt daraus die Intensität: I = v ph ρ E = 1 2 v phρa 2 ω 2 (6) Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit einer ebenen Welle gegebener Frequenz. Falls die Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängt (v ph = v ph (λ)) wird die Welle dispersiv genannt. Betrachtet man nicht nur monochromatische Wellen sondern Wellenpakete oder einen Wellenimpuls, so stellt man die Welle als Superposition von monochromatischen Frequenzanteilen mit Hilfe der Fourierzerlegung dar. Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 ξ(t, z) = 0 A(ω)e i(ωt kz) dω und A(ω) = 1 π ξ(t, z)e i(ωt kz) dt (7) Superpositionierte Wellen bestehen aus einer Einhüllenden und einem schnellen Frequenzanteil. Das Maximum der Einhüllenden bewegt sich mit der sogenannten Gruppengeschwindigkeit v g. v g = dω dk = dv phk = v ph k dv ph dk dk (8) Falls es keine Dispersion gibt, so entspricht die Gruppengeschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit. 9.2 Beugung, Brechung und Reflexion Huygensche Prinzip: Jeder Punkt einer allgemeinen Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Die neue Wellenfront ist die Tangentialfläche an die Kugelwellen. Bei Kugelwellen nimmt die Amplitude rasch mit dem Abstand ab: ξ(r, t) = f (r) sin(ωt kr) mit f (r) 1 r (9) Unter Beugung versteht man die Richtungsänderung einer Welle aufgrund eines Hindernisses. Bei der Beugung an einem Doppelspalt entsteht das Interferenzmuster durch den Gangunterschied L: L = d sin α (10) Hierbei ist α der Winkel zur Richtung normal zum Doppelspalt. Ist L ein ganzzahliges Vielfaches der von λ, so interferieren die Wellen konstruktiv. Bei halbzahligen Vielfachen kommt es zur destruktiven Interferenz. Die Phasendifferenz zweier benachbarter Pfade s = kδ sin α ist gegeben als: ϕ = 2π s (11) λ Die Intensität der Welle ist I(α) Amplitude 2 und hängt wie folgt von der Phasendifferenz ab: I(α) a 2 sin2 (N/2 ϕ) sin 2 ( ϕ/2) (12) Durchquert eine Welle eine Grenze zwischen zwei Medien, in denen sie eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzt, so wird ein Teil der Welle reflektiert. Der andere Teil setzt seine Ausbreitung im anderen Medium unter der Änderung seiner Ausbreitungsrichtung fort. Diesen Vorgang bezeichnet man als Brechung. Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 Es gelten folgende Gesetze: Reflexionsgesetz: Der Einfallswinkel α einer ebenen Welle entspricht dem Ausfallwinkels β bei der Reflexion. Snelliussches Brechungsgesetz: sin α sin β = v 1 v 2 (13) Bei der Überlagerung von laufenden Wellen kann es zu räumlich stationären Schwingungsmustern kommen, bei denen bestimmte Punkte im Raum in Ruhe sind. Diese Punkte werden Schwingungsknoten genannt. Ihre Lage ist von der Frequenz und den Randbedingungen abhängig. Die Amplitude solcher Wellen hängt periodisch vom Ort ab. Die Wellengleichung einer so genannten stehenden Welle ist ( ξ 0 = ξ 1 + ξ 2 = 2A cos kz ϕ ) ( cos ωt + ϕ ) 2 2 (14) 9.3 Wellen bei bewegten Quellen Das Resultat, wenn sich die Quelle, der Beobachter oder das Medium in dem sich die Quelle ausbreitet bewegt, ist eine Frequenzverschiebung (Doppler Effekt). Für den Fall einer bewegten Quelle ist die resultierende Frequenz vor und nach der Quelle (v l : Ausbreitungsgeschwindigkeit, v q : Geschwindigkeit der Quelle): f vor = f 0 f 0 > f 0 und f nach = < f 0 (15) 1 v q /v l 1 + v q /v l Für den Fall, dass sich der Beobachter bewegt ergibt sich: ( f vor = f v ) ( b > f 0 und f nach = f 0 1 v ) b < f 0 (16) v l v l Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 10 Gase 10.1 Makroskopische Gesetze Bei einem idealen Gas wird angenommen, dass... sich die Gasteilchen wie Massenpunkte verhalten... die Stöße wie bei harten Kugeln erfolgen... die Geschwindigkeit der Teilchen statistisch verteilt ist Für ideale Gas gilt das ideale Gasgesetz: R ist die allgemeine Gaskonstante und ν die Stoffmenge. Die Kompressibiliät für ein Gas ist pv = νrt (17) κ = 1 V V p (18) 10.2 Barometische Höhenformel So wie bei Flüssigkeiten tritt bei Gasen im Schwerefeld ein Schweredruck auf. Dieser nimmt mit zunehmender Höhe ab. Der Druck verhält sich nach der barometrischen Höhenformel: ( ρ0 gh ) p(h) = p 0 exp p 0 (19) 10.3 Kinetische Gastheorie Gegeben sei ein Gas in einem geschlossenen Volumen. In einem idealen Gas sind die Geschwindigkeitskomponenten isotrop verteilt. Somit sind die Geschwindigkeiten v x, v y und v z voneinander unabhängig und es lässt sich zeigen, dass der Druck der von n x auf eine Wand z.b. in x-richtung gegeben ist durch: p = 2mn x v 2 x (20) Da die Geschwindigkeitsverteilung isotrop ist, ist auch der Druck isotrop mittlere Impulsübertrag in alle Richtungen ist gleich groß Betrachtung des Mittelwertes. Da v 2 x = 1 N N(vx )v 2 xdv x = v 2 y = v 2 z gilt und gleich viele Teilchen in +x- und -x Richtung fliegen folgt für den Druck: p = 1 2 n2m v 2 x mit v 2 = 3 v 2 x p = 1 3 nm v 2 (21) Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Aus dem Druck und der idealen Gasgleichung erhält man folgenden Zusammenhang für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen: E kin = 3 2 k BT (22) Hier wurden punktförmige Teilchen betrachtet, die 3 Translationsfreiheitsgrade besitzen. Somit ergibt sich pro Freiheitsgrad eine kinetische Energie von E kin = 1 2 k BT (23) Dies ist die Aussage des Gleichverteilungssatz der kinetischen Gastheorie. Die statistische Verteilung der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas ist in der kinetischen Gastheorie durch die Maxwell-Bolzmannsche-Geschwindigkeitsverteilung gegeben. ( m ) 3/2 ( mv 2 ) f (v x, v y, v z ) = exp 2πk B T 2k B T (24) Die Wahrscheinlichste Geschwindigkeit dieser Verteilung ist: Die mittlere Geschwindigkeit hingegen ist v w = 2kB T m (25) v = 8kB T πm (26) Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 und das mittlere Geschwindigkeitsquadrat: v 2 = 0 v 2 f (v) dv = 3k BT m (27) Aus der asymmetrischen Form der Verteilung folgt, dass v w < v < v Transport in Gasen Durch die freie Beweglichkeit der Moleküle in einem Gas kommt es in Kombination mit Stoßprozessen zum effektiven Transport von Masse, Energie und Impuls Diffusion und Brownsche Molekularbewegung Diffusion ist ein Nettotransport von Teilchen aus einem Raumgebiet höherer Konzentration in ein Gebiet niedriger Konzentration. Das Ficksche Gesetz besagt, dass für die mittlere Teilchenstromdiche gilt mit D der Diffusionskonstanten: j = D grad n (28) D = Λ v 3 = 1 8kB T n σ 9πm (29) Hierbei ist Λ die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Stößen. Die makroskopische Zitterbewegung von Teilchen bei der Diffusion bezeichnet man als Brownsche Molekularbewegung Wärmeleitung Aufgrund der Stöße von Molekülen im Gas wird kinetische Energie übertragen. Die Wärmeleitfähigkeit eines Gases ist gegeben durch: λ = 1 12 f nk B vλ mit Λ = 1 σn (30) f sind hier die Freiheitsgrade (kinetische- + Schwingungs- +Rotationsenergie) und σ der Streuquerschnitt. Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 Viskosität Liegt zusätzlich neben der thermischen Bewegung noch eine makroskopische Bewegung des ganzen Volumens vor (Strömung), so kommt es wenn die Strömungsgeschwindigkeit von Ort zu Ort variiert zu inneren Reibungseffekten (Viskosität). Die Impulsstromdichte j P ist hierbei verbunden mit der Strömung und beschreibt den übertragenen Stömungsimpuls durch eine gegebene Fläche x pro Zeiteinheit. Das Viskositätsgesetz ist: j p = η du dx (31) Mit η dem Viskositätskoeffizient. Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 11 Strömende Flüssigkeiten und Gase Laminare Strömung: Strömungen, bei denen die Stromfäden sich nebeneinander bewegen, ohne sich zu durchmischen. Sie liegen immer vor, wenn die Reibungskräfte groß gegenüber den beschleunigenden Kräften sind. Turbulente Strömungen: Sie entstehen durch Reibung zwischen den Randschichten einer Flüssigkeit und den Wänden, wenn die Reibung innerhalb der Flüssigkeit klein ist gegen die beschleunigenden Kräfte. Hierbei bilden sich Wirbel aus, die die Stromlinien völlig durchmischen Euler-Gleichung für ideale Flüssigkeiten Die Euler-Gleichung bildet die Grundlage der Hydrodynamik idealer Flüssigkeiten und besagt, dass d u dt = u t + ( u ) u = g 1 grad p (32) ρ Die substantielle Beschleunigung setzt sich also aus der zeitlichen Änderung u t der Geschwindigkeit am gleichen Ort und der Konvektionsbeschleunigung ( u ) u zusammen. Der erste Anteil triff nur bei nichtstationären Strömungen auf, der zweite nur, wenn die Geschwindigkeit u vom Ort abhängig ist Kontinuitätsgleichung ρ t + div(ρ u) = 0 (33) Die Aussage der Kontinuitätsgleichung ist, dass bei Strömungen durch ein vorgegebenes Volumen die gesamte Masse erhalten bleibt. Diese Gleichung gilt sowohl für Flüssigkeiten als auch Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 für Gase. Handelt es sich um inkompressible Flüssigkeiten, so ist ρ t = 0 und ρ =const und die Kontinuitätsgleichung lässt sich vereinfachen zu: div( u) = 0 (34) 11.3 Bernoulli-Gleichung Die Bernoulli-Gleichung beschreibt den Zusammenhang von Strömungsgeschwindigkeit und Druckverhältnissen für eine reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit: p ρu2 = p 0 = const. (35) p 0 ist der Gesamtdruck, welcher an Stellen mit u = 0 erreicht wird, p S = 1 2 ρu2 heißt Staudruck und p = p 0 p S statischer Druck einer strömenden Flüssigkeit. Technische Universität München 11 Fakultät für Physik