σ ½ cm = m σ ½ 1 nm

Transkript

1 Zahlenbeispiele mittlere freie Weglänge: Λ = 1 / (σ n B ) mittlere Zeit zwischen Stößen τ = Λ / < v > Gas: Stickstoff Druck: 1 bar = 10 5 Pa Dichte n = cm -3 σ = cm 2 σ ½ cm = m σ ½ 1 nm < v > 400 m/s Λ = 70 nm 1 m / Λ = 14 Millionen Stöße pro m τ = 0.15 ns 6 Milliarden Stöße pro Sekunde 271

2 Diffusion Teilchentransport aus Bereichen hoher Konzentration n A /n B (Teilchendichte n A ) in Bereiche niedriger Konzentration, bis Dichte n A (r) ausgeglichen ist: grad n A (r) = 0 (a) abgeschlossenes System. Im Gleichgewicht wird grad n A = 0 (b) nicht abgeschlossenes System. Zustrom bei x = 0, Abfluss bei x = L. Fließgleichgewicht grad n A 0 272

3 Diffusions-Gleichung Teilchenfluss von links nach rechts: (siehe Überlegungen bei kinetischer Gastheorie) dn + (v) = n + f(v) v dt da cos ϑ dω/ 4π dn- (v) = n - f(v) v dt da cos ϑ dω/ 4π n + = n o + x dn/dx n - = n o - x dn/dx Nettostrom j: Teilchen pro Fläche und Sek. dj(v) da = Teilchen/s = dn + /dt - dn - /dt 273

4 Integration über v und dω liefert (wie bei kinetischer Gastheorie) j x = - (1/3) Λ <v> dn/dx = - D dn/dx (1-dim.) Ficksches Gesetz: j = - D grad n (3-dim.) Diffusions-Koeffizient D = Λ 3 v 1 8kT D = n σ 9πm D wird klein bei hoher Dichte n und großem Streuquerschnitt σ (Transport-Behinderung) großer Teilchenmasse m, geringer T (geringe Transport-Geschwindigkeit) 274

5 Demonstration der schnelleren Diffusion leichterer Teilchen poröse Hülle um P: für He gut aber für N 2 / O 2 schlecht durchlässig bei t z wird das He-Becherglas entfernt anfangs: n He (außen) > n He (innen) He diffundiert in den Bereich P, innen p > p o Druckausgleich p = p o dann: n He (innen) > n He (außen) He diffundiert aus dem Bereich P, p < p o Transport getrieben durch grad n He 275

6 Wärmeleitung in Gasen Transport von Energie Der Mechanismus der Wärmeleitung ist für Gase, Flüssigkeiten und Festkörper verschieden. In Gasen basiert sie auf der Bewegung der Moleküle. Teilchen treffen auf Fläche mit T 1 oder T 2, nehmen dabei Energie entsprechend T i an Regime I: Dichte gering Λ d Regime II: Dichte groß Regime I: Λ << d Bilanz des Energieflusses (An- und Abflug) jedes Teilchen transportiert <E> = f/2 kt dw/dt = κ A 1 (T 2 T 1 ) κ = (1/8) n < v > k f κ = Wärmeübergangszahl [ J /(m 2 s K)] Wärmeleitung (Energieflussdichte pro t) j W = (1/A) dw/dt Anzahl beteiligter Freiheitsgrade groß bei großem T, großer Dichte n, hoher Zahl von Freiheitsgraden f, geringer Masse m (da < v > groß) 276

7 Wärmeleitung Regime II Dichte groß Λ << d Analyse des Energietransportes mit Berücksichtigung der Diffusion liefert: dw/dt = λ dt/dx λ= Wärmeleitfähigkeit 1 Λ= n σ λ= (1/12) f n k <v> Λ = (1/12) f k <v>/ σ λ unabhängig von der Dichte das Gases n steigt mehr Teilchen für Transport aber geringere Diffusions-Koeffizienz 277

8 Dynamik strömender Flüssigkeiten Hydrodynamik -- Aerodynamik Grundelemente Hydrostatik: i makroskopischer Impuls p = p = 0, p 0 betrachtet (u.a.) Konsequenzen der thermischen Bewegung i Hydrodynamik: makroskopischer Impuls p 0 (für Teilchen in dv) bei Flüssigkeiten (inkompressibel): ρ/ r 0 ρ/ t 0 bei Gasen (kompressibel): ρ/ r 0 ρ/ t 0 278

9 Kräfte und Bewegungsgleichung Kräfte ( P / t 0) durch p = x Druckdifferenz F p = - grad p V F A x Druck Schwerkraft F g = m g = ρ g V Reibungskräfte F R 0 bei u/ r 0 Strömungsgeschwindigkeit äußere Kräfte F a (E-, B-Felder) hier i.a. F a = 0 Newtonsche Bewegungsgleichung: F = F p + F g + F R + F a = m r F = ρ V du/dt u = dr/dt Strömungsgeschwindigkeit 279

10 stationäre Strömung Strömungsfeld u(r,t) u(r,t)/ t = 0 stationäre Strömung zeitliche Variation am Ort r [ u(r,t)/ r 0 möglich ] räumliche Variation zur Zeit t d.h. bei einer stationären Strömung ist die Geschwindigkeit u an jedem Ort zeitlich konstant, sie kann aber an unterschiedlichen Orten durchaus unterschiedlich sein. Stromlinie: r(t) eines Elementes dv Stromröhre: alle Stromlinien durch Querschnitt S mit: äußere Stromlinien = Wandung bei stationärer Strömung: Stromlinien [Bahn der Spitze von r(t)] und u(r) fallen zusammen Strömungslinien kreuzen sich nicht 280

11 u(r,t)/ t 0 kein stationäres Strömungsfeld keine stationären Strömungslinien dv bei P 1 bewegt sich in t nach P 2 (und bei unverändertem u(r) nach P 3 ) in t hat sich u(r) geändert dv bewegt sich nach P 4 281

12 Strömungen, bei denen die Stromfäden sich nebeneinander bewegen, ohne sich zu durchmischen, heißen laminare Strömungen Reibung an Grenzflächen Strömung um Hindernis turbulent wenn F R << F P Reibung an Grenzflächen Strömung um Hindernis laminar wenn F R >> F Reibung P Druck 282

13 Kontinuitätsgleichung (speziell für laminare Strömung) Integrale (allgemeine) Formulierung der Kontinuitätsgleichung wird in der Vorlesung nur gestreift. Näheres siehe Vorlesung: mathematische Ergänzungen und Bücher Mathematische Formulierung der Aussage: nichts geht verloren nichts kommt hinzu gegebenenfalls ergänzt um: was hinzu kommt oder verloren geht verändert die Stromdichte Flüssigkeitsvolumen dv mit Masse dm dm = ρ dv = ρ A i dx A i = Querschnitt der betrachteten Strömungsröhre Massenstrom durch Querschnitt A i : dm / dt = ρ A i (dx / dt) xi = ρ A i u xi da Flüssigkeit inkompressibel und (da laminar) kein Massetransport durch Wandung der Stromröhre: (dm/dt) x1 = (dm/dt) x2 ρ A 1 u x1 = ρ A 2 u x2 (ρ = const.) u x1 / u x2 = A 2 / A 1 (inkompressibel) 283

14 Zur Kontinuitätsgleichung (a) einfache Form, Strömungsröhre im engen Teil fließt die Flüssigkeit schneller als im weiten Teil (b) allgemeine Form, Strömung in, durch, oder aus beliebig geformtem Volumen 284

15 Masse pro Zeiteinheit durch Fläche A i : dm/dt = ρ A i u xi A i -1 dm/dt = ρ u xi Volumen/Zeit j = ρ u : Stromdichte (Flussdichte) I = j A = dm/dt Massenfluss (durch A) (Massenstromstärke) I = const. (einfachste Form der K.-Gleichung) allgemeine Formulierung: Masse in Volumen V : M = ρ dv v Änderung der Masse wg. Massetransport durch die Oberfläche von V: M/ t = ρ u ds = s s j ds (**) wobei ds Normale auf Element ds wenn j ds, Masseverlust aus V wenn j ds, Massegewinn in V 285

16 Der Gauß sche Satz (Vektoranalysis) besagt: [mit div(ρ u) = (d/dx + d/dy + d/dz) (ρ u) ] ρ u ds = div (ρ u) dv (*) v s ( was netto durch die Oberfläche strömt, muss im Inneren entstehen oder verschwinden) bei zeitlich konstantem Volumen: - M/ t = ( / t) ρ dv - ( ρ/ t) dv = ρ u ds [ siehe (**)] mit (*) - ( ρ/ t) dv = div (ρ u) dv [( ρ/ t) + div (ρ u)] dv = 0 da für beliebiges Volumen gültig: Kontinuitätsgleichung ( ρ/ t) +div (ρ u) = 0 Quellen-Term 286

17 Bernoulli-Gleichung Grundlage vieler erstaunlicher Phänomene dm aus der Kontinuitätsgleichung folgt: Verengung des Querschnitts u steigt (Beschleunigung, höhere kinetische Energie) Arbeit zur Bewegung von V um x: W = F x = p A x = p V = Änderung der potentiellen Energie kinetische Energie: E kin = ½ m u 2 = ½ ρ V u 2 287

18 Für ideale Flüssigkeit (keine innere Reibung Viskosität vernachlässigbar) E kin + E pot = const. p 1 V 1 + ½ ρ V 1 u 1 2 = p 2 V 2 + ½ ρ V 2 u 2 2 inkompressibel: ρ = const. V = const. daher p 1 + ½ ρ u 1 2 = p 2 + ½ ρ u 2 2 p + ½ ρ u 2 = p o Gesamtdruck: p o = Druck bei u = 0 Staudruck: ½ ρ u 2 = p o p = p S statischer Druck: p = p o p S statischer Druck + Staudruck = Gesamtdruck 288

19 p + ½ ρ u 2 = p o Staudruck statischer Druck p 1 + ½ ρ u 1 2 = p 2 + ½ ρ u H H = Verlust durch innere Reibung (Viskosität) 289

20 a) Hydrodynamisches Paradoxon untere Scheibe wird angezogen! Nicht weggeblasen! b) Zerstäuber durch Strömung sinkt der statische Druck an der Öffnung des Steigrohrs Flüssigkeit kann aufsteigen und wird im Luftstrom mitgerissen 290

21 c) Wasserstrahlpumpe (Wasser) d) Aerodynamischer Auftrieb an einer umströmten Tragfläche p 1 + ½ ρ u 1 2 = p o = p 2 + ½ ρ u 2 2 ρ = Dichte der Luft u 1 > u 2 (*) Tragkraft F T = p 2 A - p 1 A mit (*) F T = ½ ρ u 1 2 A - ½ ρ u 2 2 A F T = ½ ρ (u u 2 2 ) A 291

22 e) Anordnung zur gleichzeitigen Messung der Widerstandskraft F W und des Auftriebs F W (Zweikomponentenwaage) f) Abdecken eines Hausdaches durch starken Wind infolge des Unterdruckes über dem Dach 292

23 Viskosität und laminare Strömung Einfluss der Zähigkeit (innere Reibung) auf den Strömungsvorgang Anmerkung: Diffusion Teilchentransport Wärmeleitung Energietransport Viskosität Impulstransport Grenzschicht Flüssigkeitsschicht haftet an Oberfläche Moleküle der Randschicht wechselwirken mit Molekülen in der Nachbarschaft benachbarte Schicht wird mitgezogen usw. ( Geschwindigkeitsprofil) 293

24 Viskosität Ebene Fläche mit u o durch viskoses Medium ziehen: A = Gesamtfläche (beide Seiten) der Platte erforderliche Kraft: F = η A du dx F R = - η A du dx 1 S η = dynamische Zähigkeit (Viskosität) [η] = N s /m 2 = Pa s [alt: 0,1 Pa s = 1 Poise] typische Werte η im Vergleich : ==================================== 0 o C 20 o C 100 o C N 2 -Gas (1 bar) Glyzerin Quecksilber 1.55 Wasser (20 o C) ==================================== 294

25 Anmerkung: Festkörper: η plötzliche Änderung von η bei Phasenübergang FK [ η ] T steigt FK schmilzt Flüssigkeit [η 1(typ., H 2 O)] Flüssigkeit [η 1] T steigt verdampfen Gas [η 10-5 (typisch)] Besonderheit von Glas: T steigend η variiert langsam über großen Bereich T von (sehr groß) > η > (sehr klein) festes Glas Schmelze 295