Zur Erinnerung. Stichworte aus der 15. Vorlesung:

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1 Zur Erinnerung Stichworte aus der 5. Vorlesung: Kinetische Gastheorie: Modell des idealen Gases Rückführung makroskopischer Effekte auf mikroskopische Ursachen Druck, Temperatur Druck Impulsübertrag an die ußenwände Gleichverteilungssatz: Ergodenhypothese: Temperatur mittlere kinetische Energie der Moleküle bsolute Temperatur gemessen in Kelvin E kin f m v Freiheitsgrade Zeitmittel Scharmittel Experimentalphysik I SS

2 Zur Erinnerung Thermodynamik: Maxwell-Boltzmann- Verteilung: Charakteristische Geschwindigkeiten: statistische Physik: Phänomene vieler Teilchen Mittelwerte und Verteilungsfunktionen Geschwindigkeitsverteilung eines Gases im thermodynamischen Gleichgewicht: m v m kt f ( v ) 4π v e kt π Statistisches Gewicht Boltzmann-Faktor 3 Normierung Wahrsch. Geschw. Mittl. Geschw. Mittl. v 8kT v v w π kt v w m π m v 3kT m Experimentalphysik I SS

3 7.5 Transportprozesse in Gasen dominiert durch: Streuung Diffusion (Transport von Teilchen) Wärmeleitung (Transport von Energie) später: Viskosität ( Zähigkeit ) (Transport von Impuls) Experimentalphysik I SS

4 Streuprozesse Stoßquerschnitt für harte Kugel : Stoßquerschnitt: lle Teilchen, deren Mittelpunkt durch die Fläche σ π ( r + r ) um den Mittelpunkt von B laufen, werden durch den Stoß mit B aus ihrer geraden Bahn abgelenkt. Diese Fläche σ heißt Stoßquerschnitt. nnahme harte Kugel ist grobe Näherung, i.d.r. Wechselwirkung E pot E pot (r) (größere Reichweite des Potentials), dann wird σ σ (E Stoß ), d.h. Stoßquerschnitt abhängig von der Stoßenergie Experimentalphysik I SS

5 Experimentalphysik I SS bschwächung durch Streuung Wahrscheinlichkeit für Stoß pro Weglänge Δx: W (abgedeckte Fläche) : (Gesamt-Fläche) x n W x n N N W B B B B i i σ σ σ σ, Zahl der Stöße, die Teilchen der Sorte erleiden: x n N W N N B σ us Richtung geradeaus gehen dn Teilchen auf der Strecke dx verloren 0) (, ) ( 0 0 x N N e N x N dx n N dn x n B B σ σ

6 Experimentalphysik I SS Mittlere freie Weglänge Wahrscheinlichkeit für Stoß auf Strecke dx dw dn (x)/n o Strecke Λ, die im Mittel ohne Stoß durchlaufen werden kann: mittlere freie Weglänge Λ Λ ) ( ) ( dx e x n dx dx x dn x N x dw x x n B B σ σ 0 0 ) ( ) ( N e N e N x N n x B Λ Λ Λ σ m [Λ] Brown sche Bewegung Λ L e a L W ) (

7 Mittlere freie Weglänge Zahlenbeispiel: 4 Mio Stöße pro Meter Experimentalphysik I SS

8 Diffusion Teilchentransport aus Bereichen hoher Konzentration n /n B (Teilchendichte n ) in Bereiche niedriger Konzentration, bis Dichte n (r) ausgeglichen ist: grad n (r) 0 (abgeschlossenes System) Experimentalphysik I SS

9 Diffusion Nicht abgeschlossenes System: Zustrom bei x 0, bfluss bei x L. Fließgleichgewicht grad n 0 Nettostromdichte j: Teilchen pro Fläche und Sek. dn dn j x Λ v D 3 dx dx Experimentalphysik I SS

10 Diffusion Ficksches Gesetz: j D grad n Diffusionskoeffizient: D Λ 3 v 8kT n σ 9π m D wird klein bei hoher Dichte n und großem Streuquerschnitt σ (Transport-Behinderung) großer Teilchenmasse m, geringer Temperatur (geringe Transport-Geschwindigkeit) Details und bleitungen s. De und theoretische Ergänzung Experimentalphysik I SS

11 Diffusion Demonstration der schnelleren Diffusion leichterer Teilchen: p 0 Druckausgleich p p o poröse Hülle um P: für He gut aber für N / O schlecht durchlässig Bei t wird He eingelassen, bei t wird das He-Becherglas entfernt n He (außen) > n He (innen) He diffundiert in den Bereich P, Innen: p > p o n He (innen) > n He (außen) He diffundiert aus dem Bereich P, p < po Transport getrieben durch grad n He Experimentalphysik I SS

12 Wärmeleitung in Gasen Transport von Energie: Teilchen treffen auf Fläche mit T oder T, nehmen Energie entsprechend T i an Regime I : Dichte gering Λ > d Regime II : Dichte groß Λ << d (keine Diffusion) (mit Diffusion) Details s. De und später Wäremelehre. Regime I: dw κ ( T T ) κ dt. Regime II: Wärmeübergangszahl dw dt λ λ Wärmeleitfähigkeit dt dx f k v λ f n k v Λ Unabhängig von der σ Dichte des Gases n steigt mehr Teilchen für Transport aber geringerer Diffusions-Koeffizienz Experimentalphysik I SS

13 Wärmeleitung in Gasen Versuch: Demonstration der bhängigkeit von λ von der Masse λ f k σ v kleine Masse großes <v> Draht glüht im oberen Bereich weniger stark, da dort höhere Dichte von H, daher bessere Wärmeleitung Experimentalphysik I SS

14 8. Strömende Flüssigkeiten und Gase Hydrostatik: makroskopischer Impuls p p i 0 aber pi 0 i betrachtet (u.a.) Konsequenzen der thermischen Bewegung Hydrodynamik: Newton sche Bewegungsgleichung: makroskopischer Impuls p 0 (für Teilchen in dv) bei Flüssigkeiten (inkompressibel): bei Gasen (kompressibel): Massenelement m ρ V du F Fp + Fg + FR Δm r ρ ΔV dt Druck Schwerkraft Reibung ρ ρ 0 dr dt ρ ρ 0 dr dt Strömungsgeschwindigkeit Experimentalphysik I SS

15 Stationäre Strömung zeitliche Variation am Ort r: u ( r,t) u( r,t) 0 aber 0 t r (Strömungsfeld u(r,t)) möglich räumliche Variation zur Zeit t, d.h. bei einer stationären Strömung ist die Geschwindigkeit u an jedem Ort zeitlich konstant, sie kann aber an unterschiedlichen Orten durchaus unterschiedlich sein. Stromlinie: Stromröhre: r(t) eines Elementes dv alle Stromlinien durch Querschnitt S mit: äußere Stromlinien Wandung bei stationärer Strömung: Stromlinien [Bahn der Spitze von r(t)] und u(r) fallen zusammen Strömungslinien kreuzen sich nicht Experimentalphysik I SS

16 Laminare Strömung Strömungen, bei denen die Stromfäden sich nebeneinander bewegen, ohne sich zu durchmischen, heißen laminare Strömungen Reibung an Grenzflächen: Strömung um Hindernis laminar wenn F R >>F P Reibung an Grenzflächen: Strömung um Hindernis turbulent wenn F R <<F P Experimentalphysik I SS

17 8.3 Kontinuitätsgleichung llgemeines: (speziell für laminare Strömung) Integrale (allgemeine) Formulierung der Kontinuitätsgleichung wird in der Vorlesung nur gestreift. Näheres siehe Vorlesung: mathematische Ergänzungen und Bücher Kontinuitätsgleichung ist die mathematische Formulierung der ussage: nichts geht verloren nichts kommt hinzu gegebenenfalls ergänzt um: was hinzu kommt oder verloren geht verändert die Stromdichte Experimentalphysik I SS

18 Kontinuitätsgleichung Einfache Formulierung: Flüssigkeitsvolumen dv mit Masse dm dm ρ dv ρ dx i i Querschnitt der betrachteten Strömungsröhre Massenstrom durch Querschnitt i : dm dt dx ρ i ρ i u dt xi da Flüssigkeit inkompressibel und (da laminar) kein Massetransport durch Wandung der Stromröhre: dm dt x dm ρ u ρ dt u u x xi u x x Experimentalphysik I SS

19 Kontinuitätsgleichung llgemeine Formulierung: Strömung in, durch, oder aus beliebig geformtem Volumen Massenfluß und Stromdichte: dm dt ρ u j I j ρ u Stromdichte I const. (einfachste Form der Kontinuitäts-Gleichung) Experimentalphysik I SS

20 Kontinuitätsgleichung Masse in Volumen V: Gaußscher Satz der Vektoranalysis: M ρ dv V Änderung der Masse wegen Massetransport durch die Oberfläche von V: M t ρ u ds S j ds [mit div(ρ u) (d/dx + d/dy + d/dz) (ρ u) ] S wobei ds Normale auf Element ds wenn j ds, Masseverlust aus V wenn j ds, Massegewinn in V S ρ u ds div( ρ u) dv V ( was netto durch die Oberfläche strömt, muss im Inneren entstehen oder verschwinden) Experimentalphysik I SS

21 Kontinuitätsgleichung: Kontinuitätsgleichung bei zeitlich konstantem Volumen: M ρ dv t t mit Gaußschem Satz: ρ dv t ρ u ds ρ ρ dv ( [ + ( ] div ρ u)dv div ρ u) dv t t Gilt für beliebiges Volumen: ρ + div ( ρ u) 0 t 0 Quellen-Term Experimentalphysik I SS

22 Bernoulli-Gleichung Wichtige Gleichung der Hydrodynamik, Grundlage vieler erstaunlicher Phänomene Energie-nsatz : aus der Kontinuitätsgleichung folgt: Verengung des Querschnitts u steigt (Beschleunigung, höhere kinetische Energie) rbeit zur Bewegung von ΔV um Δx: W F x p x p V Änderung der potentiellen Energie kinetische Energie: E kin mu ρ V u Experimentalphysik I SS

23 Experimentalphysik I SS Bernoulli-Gleichung Für ideale Flüssigkeit (keine innere Reibung Viskosität vernachlässigbar): ρ const. ΔV const. daher Inkompressible Flüssigkeit:. u V V p u V V p const E E pot kin ρ ρ 0 p u p u p u p ρ ρ ρ Gesamtdruck: Staudruck: Statischer Druck: p o Druck bei u 0 ½ ρ u p o p p S p p o p S statischer Druck + Staudruck Gesamtdruck

24 Bernoulli-Gleichung Staudruck statischer Druck: Ideale Flüssigkeit: p + ρ u p 0 Reale Flüssigkeit: p + ρ u p + ρ u + H ΔH Verlust durch innere Reibung (Viskosität) Experimentalphysik I SS

25 Bernoulli-Gleichung Messung der Beiträge zum Druck: Messung des statischen Druckes p (bestimmt durch Strömung) (Prandtl sches Staurohr) Messung des Gesamtdruckes p o Messung des Staudrucks p o p ½ ρ u Experimentalphysik I SS

26 Bernoulli-Gleichung Hydrodynamisches Paradoxon: Untere Scheibe wird angezogen! Nicht weggeblasen! Zerstäuber: Durch Strömung sinkt der statische Druck an der Öffnung des Steigrohrs, Flüssigkeit kann aufsteigen und wird im Luftstrom mitgerissen Experimentalphysik I SS

27 Bernoulli-Gleichung Wasserstrahlpumpe: Experimentalphysik I SS

28 Experimentalphysik I SS Bernoulli-Gleichung erodynamischer uftrieb an einer umströmten Tragfläche: nordnung zur gleichzeitigen Messung der Widerstandskraft F W und des uftriebs F (Zweikomponentenwaage) u u u p u p > + + ρ ρ ( ) u u F u u F p p F T T T ρ ρ ρ Tragkraft:

29 Bernoulli-Gleichung Dynamischer uftrieb (Magnus-Effekt): Mitnahme der Randschicht ist Effekt der Viskosität (siehe später) u > u p stat, < p stat, Kraft durch Strömung (oder Bewegung in ruhender Luft) in Verbindung mit Drehung (und Mitnahme der Luft-Randschicht) Experimentalphysik I SS

30 Bernoulli-Gleichung Dynamischer uftrieb (Magnus-Effekt): Experimentalphysik I SS

31 Magnus-Effekt Flettner-Rotor-ntriebe Experimentalphysik I SS

32 Viskosität und laminare Strömung Einfluss der Zähigkeit (innere Reibung) auf den Strömungsvorgang: Erinnerung: Diffusion Teilchentransport Wärmeleitung Energietransport Viskosität Impulstransport Flüssigkeitsschicht haftet an Oberfläche, Moleküle der Randschicht wechselwirken mit Molekülen in der Nachbarschaft benachbarte Schicht wird mitgezogen usw. ( Geschwindigkeitsprofil) Experimentalphysik I SS

33 Viskosität und laminare Strömung Ebene Fläche mit u o durch viskoses ( zähes ) Medium ziehen - erforderliche Kraft (nicht zur Beschleunigung, sondern zur Überwindung der Reibung): F η η u x F η Experimentalphysik I SS R u x Dynamische Zähigkeit (Viskosität) N s [ η] Pa s [alte Einheit: Poise 0. Pa s] m Bremsung ist proportional zur Differenzgeschwindigkeit zwischen den Schichten: du u( x + dx) u( x) u du u( x) + dx u( x) x u du dx x

34 Viskosität und laminare Strömung Typische Beispiele: Experimentalphysik I SS