1. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr

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1 Bernoulli - Gleichung. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr Sie sagt aus, dass jedes Teilchen in einer Stromröhre denselben Wert der spezifischen Gesamtenergie hat; oder: Die Gesamtenergie eines Teilchens auf seinem Weg in einer Stromröhre bleibt konstant. Die Gesamtenergie setzt sich aus den Anteilen potentielle Energie, kinetische Energie und Druckenergie zusammen. Durchläuft ein Teilchen eine Stromröhre, so ändern sich diese Anteile ständig, ihre Summe bleibt aber konstant. m, p h Stromröhre m, p h m, p Bezugsniveau h Bild : Darstellung der Bernoulligleichung Einen Überblick über die drei Energiearten und ihre Berechnung gilt die folgende Aufstellung. potentielle Energie kinetische Energie für m, Nm Ep = m g h Ek = m Druckenergie W m p = p p0 Gesamtenergie Eg = Ep + Ek + Wp Tab. : Formeln zur Berechnung der Energiearten ( ) spezifische Energie für ; Nm/ ep = g h ek = p = ( p p 0 )/ eg = ep + ek + p Für ein Fluidteilchen der Masse m gilt für jeden Punkt der Stromlinie: m + m g h + p m = E ges = konst. kinetische Lage- Druck- Gesamt- Energie energie energie energie Für die mathematische Formulierung ist es unzeckmäßig von einem Teilchen mit bestimmter Masse m auszugehen; hier benützt man besser spezifische Energien. Man kann sich die Teilchen dabei beliebig klein vorstellen und die Bernoullische Gleichung letztlich auch auf eine Stromlinie beziehen (nicht auf eine Stromröhre). Bernoulli-Gleichung (Weiterverendung nur nach Absprache) Seite

2 Energiegleichung (Energie pro Masseneinheit) p p g h g h konst + + = + + =. Einheiten: 3 m m m Nm Nm m = = = s s m Ns Dies ist die Bernoullische Gleichung für stationäre Strömung. Man erkennt sogleich, dass diese Gleichung gültig bleibt, enn man das Bezugsniveau für die Höhe h ändert und auch enn man den Bezugsdruck, von dem eg man p misst, ändert. Es erden dann rechts und links nur gleich große Summanden hinzuaddiert; die Konstante ändert sich zar, aber die Gleichung bleibt gültig. Bezieht man die Energien auf m = und dividiert durch die Fallbeschleunigung g so erden sie Energieverhältnisse durch Höhen ausgedrückt. Höhengleichung (Energie pro Geichtseinheit) p p + h + = + h + = konst. g g g g Einheiten: m s sm m Nm 3 s Ns m = = = m m Ns Schließlich kann die Bernoullische Gleichung auch noch in der Druckform angeschrieben erden. Drucleichung + + = p g h + p + g h = konst. Einheiten: m Ns N m m Ns = = 3 3 m s m m m s m p = p st = statischer Druck = p dyn = dynamischer Druck (Staudruck) p + = p ges = Gesamtdruck Bernoulli-Gleichung (Weiterverendung nur nach Absprache) Seite

3 Verschiedene Formen der Bernoullischen Gleichung (reibungsfrei) Bild : Verschiedene Formen der Bernoullischen Gleichung Dynamischer Anteil Energiegleichung Drucleichung Höhengleichung Geodätischer Anteil + g h + Statischer Anteil p Gesamt = e ges = konst. + g h + p = p ges = konst. p + h + g g Tab. : Verschiedene Formen der Bernoullischen Gleichung Einheit Nm m, s N m = h ges = konst. m Bernoulli-Gleichung (Weiterverendung nur nach Absprache) Seite 3

4 . Bernoulli-Gleichung für irkliche Flüssigkeiten (Reibungsverluste) und Energiezufuhr durch Pumpe Bild 3: Schema Heizungsanlagen enthalten meist Pumpen, die die Arbeitsfähigkeit des strömenden Mediums erhöhen. Diese Zufuhr von Arbeit ird in der ereiterten Bernoullischen Gleichung durch ein Arbeitsglied berücksichtigt. Weiterhin ist die Strömung eines realen Fluids infolge Zähigkeit und Haftens an der Oberfläche mit Arbeitsverlusten verbunden. Die Berücksichtigung dieses Verlustes an Arbeitsfähigkeit erfolgt nun in der Bernoullischen Gleichung durch ein Verlustglied. Die mechanische Energie des strömenden Teilchens (kinetische + potentielle + Druckenergie) ist nicht mehr konstant. Es ist daher auch der Gesamtdruck p ges und die Gesamthöhe h ges (auch ohne äußere Zu- oder Abfuhr von Arbeit E a ) nicht mehr konstant; der fehlende Anteil erscheint als Reibungsärme. Während jedem Querschnitt des Rohres die Größen, h, p eindeutig zugeordnet erden können, müssen die Energiezufuhr und die Energieverluste einer Rohrstrecke zischen zei Querschnitten zugeordnet erden. Bei der Ergänzung der Bernoullischen Gleichung fügt man das Arbeitsglied ( + für Arbeitszufuhr) zu den Gliedern mit dem Index und das Verlustglied (nur positive Werte!) zu den Gliedern mit dem Index hinzu. Dabei ist vorausgesetzt, daß die Strömung von nach erfolgt. Somit lautet die ereiterte Bernoullische Gleichung Energie pro Volumeneinheit = + + g h p pp g h p + p v mit: p P Druckerhöhung in der Pumpe (Energiezufuhr in der Pumpe pro Volumeneinheit) p v, Druckverlust von nach Energie pro Geichtseinheit p p h + HP h g + g + = + g + g + H v mit: H H P p P = Förderhöhe der Pumpe [m Fl.S] g v p v = g Druckverlusthöhe von nach Bernoulli-Gleichung (Weiterverendung nur nach Absprache) Seite 4

5 Energie pro Masseneinheit p p pv g h YP = g h p P YP = g HP = = WtP = spezifische technische Arbeit, die in der Pumpe der Flüssigkeit zugeführt ird. = spezifische Förderarbeit oder Stutzenarbeit [Nm/ = m²/s²] Der Zuachs an mechanischer Leistung im Fluid am Pumpenaustritt gegenüber dem Pumpeneintritt ird als hydraulische Leistung P h bezeichnet. Hierfür ergibt sich: P = m& Y = V& Y = V& g H = V& p h P P P P Anmerkung: m Fl.S. (m Flüssigkeitssäule) bezieht sich auf die Flüssigkeit, die im System strömt m WS (m Wassersäule, früher Druckbegriff) bezieht sich immer auf = 000 /m³ Zusammenhang: g 000 hmws [ ] = g Fl hmfls [..] m³ Fl hmws = hmfls m ³ 000 hmfls.. = m³ hmws [ ] [ ] [ ] [ ] Fl Bernoulli-Gleichung (Weiterverendung nur nach Absprache) Seite 5

6 Bernoulli-Gleichung für irkliche Flüssigkeiten und Energiezufuhr durch eine Pumpe Bild 4: Bernoullische Gleichung für irkliche Flüssigkeiten Energiegleichung Einheiten p p pv Nm m + g h + + YP = + g h + + ; s Höhengleichung p p + h + + H P = + h + + H v m g g g g Drucleichung = p g h pp + p + g h + pv Pa Tab. 3: Bernoullische Gleichung für irkliche Flüssigkeiten Quelle: Datenpool IfHK, FH Wolfenbüttel Bernoulli-Gleichung (Weiterverendung nur nach Absprache) Seite 6