T7 SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT IDEALER GASE

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1 PHYSIALISHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe: Sezifische Wärmekaazität, Zustandsgleichung und Mdell des idealen Gases, Gleichverteilungssatz, Freiheitsgrad,. Hautsatz Wärmekaazität: Führt man einem örer der Masse m die Wärmemenge dq zu, dann ist die sich einstellende Temeraturerhöhung rrtinal zur zugeführten Wärmemenge dq = m c, () wbei der Prrtinalitätsfaktr c mit der SI-Einheit [c] = J kg - - eine Stffknstante ist, die in kleineren Temeraturbereichen raktisch knstant ist und sezifische Wärmekaazität heißt. Durch Multilikatin mit der mlaren Masse M (Masse in ilgramm r Ml) erhält man die mlare Wärmekaazität M dq m = c M = () m mit der SI-Einheit [ ] = J/ml ). m Gase dehnen sich bei Erwärmung wesentlich stärker aus als Festkörer der Flüssigkeiten, deshalb ist die für eine Temeraturerhöhung benötigte Wärmemenge vn den äußeren Bedingungen abhängig. Man unterscheidet die sezifischen Wärmekaazitäten c und c bei knstantem lumen bzw. Druck und die mlaren Wärmekaazitäten m und m. Die Messung der sezifischen Wärmekaazitäten erflgt durch kalriemetrische Messungen, aber für die Messung bei knstantem lumen ergeben sich bei Gasen besndere Schwierigkeiten, weil die Wärmekaazität des alrimeters größer als die der eingeschlssenen Gasmenge ist. Deshalb wird raktisch die sezifische Wärmekaazität vn Gasen nur bei knstantem Druck ( c ) exerimentell bestimmt und der Wert bei knstantem lumen ( c ) aus dem leichter messbaren Adiabatenexnenten ermittelt. c = = c κ m (3) m Tab. Wärmekaazitäten einiger Gase bei Zimmertemeratur c c c m m κ = Gas 0 3 J kg - - c 0 3 J kg - - J ml - - J ml - - m m J ml - - He 5,3,66 3,5 0,93,60 8,33 Ar 0,5,66 0,33 0,93,56 8,37 O 0,9,40 0,650 9, 0,86 8,35 O,05,40 0,750 9,3 0,93 8,38 O 0,85,3 0,646 36,93 8,43 8,50 N O 0,84,9 0,649 36,84 8,47 8,37 Aus den Daten für die Wärmekaazitäten einiger Gase (Tabelle ) lassen sich flgende Schlussflgerungen ziehen, die thermdynamisch und statistisch begründet werden können:. Für alle Gase ist c größer als c bzw. m größer als m.. Die Differenz der mlaren Wärmekaazitäten ist für alle Gase gleich. 3. Der Adiabatenexnent ist vn der Zahl der Atme im Mlekül abhängig. 88

2 Thermdynamische Deutung: Nach dem ersten Hautsatz der Thermdynamik ist die Summe aus zugeführter Wärmeenergie dq und der dem System zugeführten Arbeit dw gleich der Änderung der inneren Energie du mit du = dq + dw = dq - d. (4) Die innere Energie ist eine thermdynamische Zustandsgröße und bei idealen Gasen allein eine Funktin der absluten Temeratur. Für die zugeführte Arbeit setzt man dw = - d, denn eine erkleinerung des lumens (d < 0) bedeutet, dass dem System Arbeit zugeführt wird, die sitiv zu rechnen ist. Aus dem ersten Hautsatz flgt unter erwendung vn () für die Erwärmung eines Gases bei knstantem lumen du = dq = mc (5) und für die Erwärmung bei knstantem Druck du = dq d = mc d. (6) Ersetzt man die lumenarbeit d mit Hilfe der Zustandsgleichung der idealen Gase = ν RT, wbei ν die Anzahl der Mle und R die allgemeine Gasknstante ist, dann erhält man aus (5) und (6) mc mc d M = T ν R, d T d ν m = m T R und R = m m. (7) m Damit sind die beiden ersten aus Tabelle abgeleiteten Flgerungen thermdynamisch erklärt. Die Wärmekaazität bei knstantem lumen ist kleiner als bei knstantem Druck, weil bei Erwärmung bei knstantem lumen nur die innere Energie des Gases wächst, während bei knstantem Druck auch nch eine lumenarbeit zu verrichten ist. inetische Gastherie: In der kinetischen Gastherie wird aus den mechanischen Eigenschaften der Atme (Masse, Geschwindigkeit, Energie u. a.) das thermdynamische erhalten eines Systems abgeleitet. Danach kann der Druck eines Gases auf eine Gefäßwand durch die elastischen Stöße auftreffender Atme erklärt werden, und die abslute Temeratur erweist sich als rrtinal der mittleren kinetischen Energie aller in ungerdneter Wärmebewegung befindlichen Atme. Das ist der Inhalt des Gleichverteilungssatzes: Im thermdynamischen Gleichgewicht hat jedes Teilchen für jeden am Energieaustausch k T beteiligten Freiheitsgrad im zeitlichen Mittel die Energie, wbei k die Bltzmann- nstante und T die abslute Temeratur ist. Für Ml ergibt sich r Freiheitsgrad die mittlere Energie zu Ekin = N A kt = RT, (8) wbei N A die Avgadr-nstante (6,0 0 3 Teilchen/Ml) ist. Die gesamte innere Energie ergibt sich durch Abzählen der Freiheitsgrade. Freiheitsgrade: Die Zahl der unabhängigen Zustandsarameter, die zur Beschreibung eines hysikalischen Systems benötigt werden, nennt man Freiheitsgrade. In der Mechanik sind dies z. B. die Lagekrdinaten zur Beschreibung eines Systems. In der Thermdynamik bezeichnet man mit Freiheitsgrad die Zahl der Zustandsarameter, zwischen denen die Energie der Wärmebewegung ausgetauscht werden kann. Für einen Masseunkt bzw. eine starre ugel (Mdell eines einatmigen Gases) ergeben sich 3 unabhängige Freiheitsgrade der Translatin. Auf Grund dieses Mdells nehmen die Freiheitsgrade der Rtatin nicht am Energieaustausch teil, weil die Stöße untereinander zentrale Stöße sind, s dass durch sie Rtatinen nicht 89

3 erzeugt der geändert werden können. Für ein zweiatmiges Mlekül stellt man sich die Atme hantelförmig angerdnet vr (s. Abb. ), mit festem Abstand. Abb. Hantelmdell Eine slche Anrdnung hat neben den 3 Freiheitsgraden der Translatin auch Freiheitsgrade der Rtatin um die Achsen und 3. Die Rtatin um die Achse nimmt aus dem gleichen Grund wie bei der ugel am Energieaustausch nicht teil. Bei einem dreiatmigen Mlekül liegen i.a. nicht alle Atme auf einer Geraden und deshalb nehmen alle 3 Freiheitsgrade der Rtatin am Energieaustausch teil. Das Mlekül hat insgesamt 6 Freiheitsgrade (s. Tabelle ). Die gleiche Zahl vn Freiheitsgraden hat ein Festkörer, denn in ihm führen die Atme inflge der Wärmebewegung Schwingungen um eine Ruhelage aus. Da die Bewegung eines linear schwingenden örers (z. B. eine ugel zwischen zwei befestigten Siralfedern) durch Angabe seiner Lagekrdinate und Bewegungsrichtung (tentielle und kinetische Energie) bestimmt ist, hat er als Freiheitsgrade. Im Festkörer schwingen die Atme in 3 unabhängigen Schwingungsrichtungen, s dass sich 6 Freiheitsgrade ergeben. Berechnung der mlaren Wärmekaazitäten und des Adiabatenexnenten: Aus dem Gleichverteilungssatz (8) ergibt sich für die innere Energie eines Mles eines idealen Gases mit f Freiheitsgraden U = E = f kin RT (9) und unter erwendung vn (), (5) und (7) weiter dq du R m = = = f und (0) dq R m = = R + m = (f + ). () Für den Adiabatenexnenten ergibt sich die Beziehung c m κ = = = +. () c m f Die sich aus (0), () und () ergebenden Zahlenwerte bilden die letzten 3 Salten in Tabelle. Tab. Zahl der Freiheitsgrade und Rechenergebnisse nach Gl.(0), () und () Atme Zahl der Freiheitsgrade f Mlwärmen Adiabatenexnent im J / ml Translatin Rtatin gesamt κ = c / c Mlekül = / m m 90 m m 3-3,47 0,79, ,79 9,0, ,94 33,5,33 Damit ist auch die dritte Schlussflgerung bestätigt. Die Rechenwerte in Tabelle stimmen mit den exerimentellen Ergebnissen in Tabelle innerhalb der Fehlergrenzen weitgehend

4 überein. Die Messung der sezifischen Wärmekaazität als makrskischer Größe gibt als exerimentell Aufschluss über den atmaren Aufbau der Stffe! κ - Bestimmung nach lément-desrmes: Die adiabatische Exansin eines Gases wird hier zur Messung des Adiabatenexnenten benutzt. In eine etwa 0 Liter fassende Glasflasche F (Abb. ) ragt ein Glasrhr G, an dem sich ein Zweiwegehahn befindet. Der Zweiwegehahn ist einseitig mit einem Druckball D versehen und an der anderen Seite mit der Außenluft direkt verbunden. Außerdem ist an dem Rhr ein Manmeter M angebracht, mit dem man den Druckunterschied zwischen dem Innern der Flasche und dem Außenraum messen kann. Die ugel ist angeschmlzen, damit die Manmeterflüssigkeit nicht versehentlich in die Glasflasche gelangt. Abb. ersuchsaufbau nach Abb. 3 lément-desrmes-ersuch lément-desrmes Mit Hilfe des Druckballes erhöht man den Druck in der Glasflasche etwas über den äußeren Luftdruck (Punkt P in Abb. 3). Anschließend öffnet man den Zweiwegehahn kurzzeitig bis zum adiabatischen Druckausgleich (Punkt P in Abb. 3), s dass das Manmeter keinen Höhenunterschied mehr anzeigt. Nach dem Schließen des Zweiwegehahnes beginnt der Druck in der Glasflasche zu steigen, denn bei der adiabatischen Entsannung kühlte sich das Gas ab und nimmt erst allmählich wieder die Temeratur der Umgebung an. Das Manmeter zeigt einen langsamen Druckanstieg an bis zum Druck (Punkt P in Abb. 3). Die Adiabate zwischen P und P wird durch die Pissnsche Gleichung κ κ d = cnst. mit = κ κ κ = + (3) d ad beschrieben. Für eine Istherme zwischen P und P erhält man nach dem Byle-Maritteschen Gesetz d = cnst. mit =. (4) d is Da zwischen P und P eine ischre Zustandsänderung erflgt, ist die lumenänderung in beiden Fällen gleich, und man erhält aus (3) und (4) daher (d / d ) ad dad ad h κ = = = =. (5) (d / d ) d h h is is is 9

5 Der Übergang vn den Differentialen zu den Differenzen verursacht keinen größeren Fehler, weil die Druckdifferenzen gering sind. κ -Bestimmung nach Rüchardt: Die Anrdnung besteht aus einem 5 l (lumen ) fassenden Glasklben (Abb. 4), in den über einen Stutzen S ein schwacher Gasstrm eingeleitet wird und auf dem ltrecht stehend ein Präzisinsglasrhr R aufgesetzt ist. In dem Präzisinsglasrhr, das in halber Höhe eine Öffnung O hat, befindet sich ein Schwingungskörer S aus unststff. Ist der Schwingkörer unterhalb der Öffnung O, s steigt der Gasdruck in dem lben langsam an und beschleunigt den Schwingkörer, bis dieser berhalb der Öffnung O steht. Ist die Öffnung O frei, gleicht sich der Druck aus und der Schwingkörer fällt herab. Der Schwingkörer führt eine ungedämfte Schwingung um die Öffnung O aus, weil die durch die Reibung entstehenden erluste durch die Energie des einströmenden Gases kmensiert werden. Abb. 4 Schwingungsmethde Sind m die Masse, r der Radius des Schwingkörers und der äußere Luftdruck, dann befindet sich der Schwingkörer im Gleichgewicht, wenn der Druck im Rhr m g = + (6) π r ist. Schwingt der örer um die Strecke x aus der Gleichgewichtslage heraus, dann ändert d x sich der Druck um, und es gilt m = π r. Da der rgang adiabatisch erflgt, dt κ π r erhält man für die Druckänderung nach (3) = κ = x und die Differentialgleichung einer ungedämften Schwingung m + x = 0 mit der Peridendauer 4 d x κ π r dt 4π 4m T = = 4. (7) ω κ r Weil auch die Gasmasse m im Präzisinsglasrhr mitschwingt, muss m durch m = m + m ersetzt werden und der Adiabatenexnent ergibt sich aus der Gleichung 9

6 4m κ =. 4 (8) r T AUFGABEN. Man bestimme den Adiabatenexnenten vn Luft nach der Methde vn lément-desrmes aus 6 Messungen bei Überdruck gemäß (5) unter Berücksichtigung der Temeraturkrrektur.. Man bestimme den Adiabatenexnenten vn Luft nach der Schwingungsmethde aus 6 Messungen für jeweils 00 Schwingungen nach (8) und vergleiche ihn mit dem Ergebnis vn Aufgabe. 3. Wie Aufgabe, aber für Argn. ERSUHSDURHFÜHRUNG Für Aufgabe verwendet man zweckmäßig flgendes rrekturverfahren: Der Überdruck am Manmeter stellt sich auch nach längerem Warten nicht knstant ein, sndern steigt bzw. fällt langsam, was durch Änderungen der Zimmertemeratur verursacht ist. Man bebachte das Einstellen des Überdrucks vr und nach der Exansin etwa 5 min lang (Ablesung jede Minute) und trage den Druckverlauf über der Zeit grafisch auf (Abb. 5). Man erkennt dann an dem arallelen erlauf der urventeile AB und DE deutlich die Überlagerung einer kntinuierlichen Temeraturänderung. Den Höhenunterschied h h, der sich hne diesen Temeratureffekt eingestellt hätte, erhält man durch rückwärtige erlängerung vn DE bis zum Schnitt mit der den Mment der Exansin kennzeichnenden Senkrechten B. Abb. 5 Temeraturkrrektur FRAGEN. Beschreiben Sie ein erfahren zur Bestimmung der sezifischen Wärmekaazität c!. Wgegen wird bei der sezifischen Wärmekaazität c lumenarbeit geleistet? 3. Wie wirkt sich der Masseverlust an Luft für den κ -Wert im ersuch nach lément-desrmes aus, wenn durch Öffnen des Hahnes Gas ausströmt? 4. Aus welchem ersuch flgert man, dass die innere Energie eines idealen Gases nur eine Funktin der absluten Temeratur ist? 93