I. Mechanik. I.4 Fluid-Dynamik: Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen. Physik für Mediziner 1

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1 I. Mechanik I.4 Fluid-Dynamik: Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen Physik für Mediziner

2 Stromdichte Stromstärke = durch einen Querschnitt (senkrecht zur Flussrichtung) fließende Menge pro Zeit ( Menge = Energie, Teilchenzahl, Ladung, etc.) hier: Masse I = Δm Δ t Einheit [i] = kg s - (eigentlich Vektor) Stromdichte = Stromstärke pro Fläche i Δm j = = = ρ Δ A Δ t Δ A Δ t Δ V Δ A Δ s Δ t Δ A Δ s = ρ = ρ = ρ v Δ t Δ A j = ρ v (eigentlich Vektor) Einheit [j] = kg m - s - Physik für Mediziner

3 Kontinuitätsgleichung in fluiden Medien (Flüssigkeiten und Gasen) gilt die Kontinuitätsgleichung (auch Massenerhaltzungssatz): Materie geht nicht verloren. Pro Zeiteinheit fließt durch Fläche die gleiche Masse hinein wir durch Fläche 3 hinaus; d.h. die Stromstärke an den Orten,,3 ist überall gleich groß ρ Kontinuitätsgleichung: I = = I I3 A v = ρ A v = ρ3 A3 v3 ρ A v = const Für Flüssigkeiten (inkompressibel: ρ = const) gilt: A v = const Physik für Mediziner 3

4 Fahrbahnverengung auf Autobahn v v Um Massen-(Fahrzeug) durchsatz zu erhalten, müsste man Geschwindigkeit an Baustelle erhöhen!!! A v = A v Physik für Mediziner 4

5 Blutkreislauf Aufteilung des Blutstroms aus der Aorta (A = 4 cm ) auf sehr viele Kapillaren mit einer großen Gesamtfläche (A = 4800 cm ) mittlere Strömungsgeschwindigkeit in der Aorta: cm/s; aus A v =const mittlere Strömungsgeschwindigkeit in den Kapillaren: 0.08 cm/s Volumenstrom durch Aorta: A v = 4 cm cm/s = 84 cm 3 /s 84cm cm = 60 = l/ min 60s min in einer Minute wird das gesamte Blutvolumen des Körpers umgewälzt Physik für Mediziner 5 3 3

6 Bernoulli-Gleichung Strömung durch verengtes Rohr Energieerhaltung: Differenz der kinetischen Energien der Flüssigkeitsmenge m beim Ein- und Austritt aus Rohr: ΔE kin = m v m v Zur Bewegung der Flüssigkeitsmenge m muss Arbeit geleistet werden: Arbeit = Kraft * Weg = Druck * Fläche * Weg = Druck * Volumen m Nettoarbeit: Δ W = (p p) V = ( p p) ρ Physik für Mediziner 6

7 Bernoulli-Gleichung Energieerhaltung: ΔE kin v = v m v ΔE kin = Δ W m v ) ρ = (p p * ρ ρ v + p = ρ v + p m = Δ W = (p p) ρ Bernoullische Gleichung ρ v + p = const = p ges Ideale Flüssigkeit Reale Flüssigkeit (mit Reibung) v groß p klein Venturi Rohre Physik für Mediziner 7

8 Bernoulli-Gleichung Bei zusätzlicher Berücksichtigung des Schweredrucks: ρ v + ρ g h + p = p ges = p 0 allgemeine Form der Bernoulli Gleichung p 0 p 0 auf Wasseroberfläche und an Loch wirkt jeweils der Luftdruck p 0 Daniel Bernoulli (700-78) im Innern der Flüsigkeit in Höhe h unterhalb der Wasseroberfläche: pges = p0 + ρ g h ρ g außen: pges = p0 + ρ v v = = ρ v g Je höher Wassersäule, desto größer die Austrittsgeschwindigkeit Physik für Mediziner 8 h h

9 Wasserstrahlpumpe Anwendung: Wasserstrahlpumpe (Prinzip des Zerstäubers) v groß p klein p 0 p = p 0 ρ v (Gravitation vernachlässigt) Luftdruck p 0 drückt Wasser aus Gefäß, da Druck p im Rohr klein wegen großer Strömungsgeschwindigkeit v Wasserstrahlpumpe Physik für Mediziner 9

10 Anwendung der Bernoulli Gleichung bei Gasen p = p 0 ρ v p<p 0 hohe Stromliniendichte deutet hohe Strömungsgeschwindigkeit an Aerodynamisches Paradoxon p<p 0 zwischen den Platten Tennisball in Luftstrom Physik für Mediziner 0

11 Anwendung der Bernoulli Gleichung bei Gasen Abdecken von Dächern im Sturm: p < p 0 p 0 Dynamischer Auftrieb von Flugzeugen: v r v oben > v unten FAuftrieb = ρ A Druck oben: Druck unten: punten = p0 ρ v auf Oberseite des Flügels Zusammendrängen der Stromlinien p oben < p unten ( ) v v oben unten = Flaps ausfahren!! oben unten Physik für Mediziner p oben = p 0 ρ v Bumerang

12 Reale Flüssigkeiten: Reibung Eine Platte mit der Fläche A wird mit der Geschwindigkeit v aus einer Flüssigkeit gezogen F R = η A dv dx η: Viskosität Einheit: [η] = kg m - s - = Pa s η Blut Pa s Aufgrund der Reibung werden benachbarte Flüssigkeitsschichten mitgerissen; aber es existiert ein Geschwindigkeitsgefälle : d v mit zunehmendem Abstand x von der Wand nimmt die Geschwindigkeit der Schichten ab. Physik für Mediziner d x die Reibungskraft ist parallel zur Plattenverscheibung gerichtet für ideale Flüssigkeiten (keine Reibung) ist η = 0 und datürlich auch dv/dx = 0

13 Strömung im Rohr mit Reibung Reibung bewirkt ein parabolisches Strömungsprofil in einem Rohr parabolisches Strömungsprofil Reibung bewirkt einen Druckabfall entlang der Strömungsrichtung Strömungswiderstand R s Stromstärk e = Druckdifferenz ; Strömungswiders tand Physik für Mediziner 3 i = Δp in reibungsfreien idealen Flüssigkeiten ist R s =0 und Δp=0 R s

14 Gesetz von Hagen - Poiseuille Strömungswiderstand von Rohren R i = s 8 = π Δp R s η L r π = r Δp η L Hagen- Poiseuille Stromstärke ändert sich mit der 4.Potenz des Radius!!! Flüssigkeit mit Viskosität η d.h. bei Verringerung des Radius einer Arterie/ Vene durch Verkalkung um 0% nimmt der Blutdurchfluss ab auf (0,8) 4 = 0,4 also um einen Faktor,4. Achtung: entsprechende Erhöhung des Blutdurchflusses bei Ballonerweiterung von Arterien!! Physik für Mediziner 4

15 Laminare und turbulente Strömung laminare Strömung: keine Durchmischung der Stromfäden laminare Strömung: Stromfäden bei Erhöhung des Druckunterschieds tritt Wirbelbildung auf: turbulente Strömung: laminare turbulente Strömung Die Reynoldsche Zahl liefert ein Kriterium für das Strömungsverhalten: ρ v r Geometrie Re = Re < 000: laminar η Re > 000: turbulent Materialparameter Blut in Aorta: Re 500 Strömung laminar Physik für Mediziner 5

16 Raubvogel im Flug: laminare Strömung zur Landung: turbulente Strömung Physik für Mediziner 6

17 Blutdruckmessung Blutdruckmessung an Armarterie (nach Riva-Rocci) Systole: Zusammenziehen der Herzkammern und Ausstoß arteriellen Bluts: Herzschlag Diastole: Erschlaffen der Vorhöfe und Auffüllen mit venösem Blut; Entspannung zwischen den Herzschlägen. durch Manschettendruck wird Arterie abgedrückt p > p sys. Manschettendruck absenken: Blut beginnt turbulent zu strömen p = p sys Stoßgeräusche durch Herzschlag 3. Manschettendruck weiter absenken: gleichmäßige Fließgeräusche: p = p dia typische Werte p sys /p dia = 0 / 80 mm Hg physikalische Einheiten: p sys /p dia = 6,0/ 0,7 kpa atm = 0,3 kpa = 760 mm Hg Physik für Mediziner 7

18 Blutdruckmessung Schweredruck ρ g h berücksichtigen! Druckvariation durch Schwerkraft: Gehirn: 8,8 kpa Fuß: 6,5 kpa ρ g h = =, kg m 3 m 9,8 s,75m = 7,7kPa wichtig!! Bei Blutdruckmessung Manschette auf Höhe des Herzens, damit keine Fehler durch Schweredruckunterschiede ρ g h auftreten Physik für Mediziner 8

19 Zusammenfassung Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen ideale Flüssigkeiten (keine Reibung) - Kontinuitätsgleichung: konstanter Massendurchsatz ρ A v = const - Bernoulli Gleichung: ρ v + ρ g h + p = p0 = const Summe aus dynamischem und statischem Druck ist konstant reale Flüssigkeiten - Reibung bei Flüssigkeitsströmungen: Viskosität η - Strömungsverhalten (laminar oder turbulent ) bestimmt durch Reynoldsche Zahl Physik für Mediziner 9

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