Strömungen. Kapitel 10

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1 Kapitel 10 Strömungen In Kapitel 9 behandelten wir die statistische Bewegung einzelner Moleküle in einem Gas, aber noch keine makroskopische Bewegung des Mediums. Der Mittelwert der Impulse aller Teilchen war Null, das flüssige bzw. gasförmige Medium war bisher in Ruhe. Strömungen lassen sich auch ohne Kenntnis der Detailbewegung einzelner Moleküle als makroskopische Bewegungsabläufe beschreiben. Dazu verwenden wir makroskopische Zustandsgrößen (%, p, V, T,...) und Bewegungsgrößen von Volumselementen (~r, ~v,...). Hydrodynamik und Aerodynamik behandeln die makroskopische Bewegung von Flüssigkeiten bzw. Gasen. Man übergeht dabei die Bewegung des Einzelmoleküls. Wichtige Unterschiede zwischen Flüssigkeiten und Gasen liegen in der Dichte (Faktor 10 3 )undinder Kompressibilität (Gase: apple =1/p, Flüssigkeiten kaum komprimierbar). Beispiele: Wetter-Strömungen (Windrichtung und -stärke) um Tiefdruckgebiete, Strömung um Fahrzeug- Flugzeug- und Schiffsprofile. Strömungssimulation Eine Strömung heißt stationär, wenn sie nicht explizit von der Zeit abhängt. Jedes Volumenelement, das am Ort ~r vorbei strömt, bewegt sich dort mit derselben Geschwindigkeit. Verfolgt man ein einzelnes Volumenelement, so erhält man seine Bahnkurve ~r = ~r (t), die man als Stromlinie bezeichnet. Die beschreibenden Größen sind in der Regel orts- und zeitabhängig: p = p(~r, t) dasskalare Druckfeld. = (~r, t) dasskalare Dichtefeld. ~v = ~v (~r, t) dasvektorielle Strömungsfeld. Bewegungsabläufe der Volumenelemente werden bestimmt durch die Kräfte, dieaufsieeinwirken. Im Sinne von Newtons Ansatz bewirkt die Summe aller Kräfte eine Beschleunigung 107

2 108 KAPITEL 10. STRÖMUNGEN des Volumenelements V.FüreinMassenelement m = V eines Mediums mit der Strömungsgeschwindigkeit ~v (~r, t) ist die Beschleunigung m ~r = V d~v dt = ~ F p + ~ F g + ~ F R = rp V + g V + ~ F R (10.1) durch die Druckkraft F p,diegravitationskraftf g und die Reibung, F R / v n gegeben. Zur Reibung kommt es, wenn benachbarte Strömungsschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit vorliegen. Bei Anwesenheit von Ladungen in der Strömung sind auch elektromagnetische Kräfte zu berücksichtigen (Magnetohydrodynamik). Die relativen Beiträge der verschiedenen Terme bestimmen das Verhalten der Strömung. Dabei gehen Materialeigenschaften (Dichte, Viskosität (innere Reibung), aber auch die Geometrie (Abmessungen, Form) der die Strömung bestimmenden Begrenzungen (Rohre, Hindernisse) sowie die Strömungsgeschwindigkeit ein. Sind Reibungskräfte vernachlässigbar, spricht man von reibungsfreien oder idealen Strömungen. Dominieren Reibungskräfte, so spricht man von viskosen Strömungen. Für viele Phänomene von ansonsten idealen Strömungen sind Reibungseffekte an den Rändern verantwortlich. Laminare Strömungen: (beschleunigende Kräfte sind klein gegenüber den Reibungskräften) Stromlinien durchmischen sich nicht. Wirbel: RotationsbewegungeinesabgelöstenFlüssigkeitsvolumen. Turbulente Strömungen: Wirbel durchmischen die Stromlinien. Experiment: StrömungenumverschiedeneHindernisseimStromlinienapparat Erhaltung der Masse und Kontinuitätsgleichung Wir betrachten ein Bündel von Stromlinien, die alle durch eine bestimmte Fläche hindurchgehen, dies bezeichnet man als eine Stromröhre. Wir setzen voraus dass keine Masse die Röhre seitlich verlässt und betrachten zwei Querschnitte einer Stromröhre: A 1, v 1, 1 A 2, v 2, 2 Die Stromstärke wird definiert als Quotient aus der Menge des strömenden Mediums und der Zeit, in der diese Menge die Fläche durchströmt. Als Menge können verschiedene Größen benutzt werden: I m = dm/dt Massenstromstärke I V = dv /dt Volumenstromstärke I W = dw /dt Energiestromstärke I Q = dq/dt Ladungsstromstärke Die Stromstärke wird maximal, wenn die Ausrichtung der Fläche senkrecht zu den Stromlinien ist. In diesem Fall ist die Stromdichte j = I/A.GenerellträgtmanderAusrichtung der Fläche Rechnung, indem man schreibt Z I = ~j d A, ~ (10.2)

3 10.2. REIBUNGSFREIE STRÖMUNGEN 109 wobei der die Fläche charakterisierende Vektor ~ A die Flächennormale angibt. Aus dieser Definition folgt für die Massenstromdichte einer Strömung ~j m = ~v. (10.3) Erhaltung der Masse verlangt, dass aus einer Stromröhre seitlich nichts hinaus oder hineinfließt. Dann gilt für die Massenstromstärke am Anfang (1) und am Ende (2) einer Stromröhre I m = A v = const. (10.4) Dies ist die Kontinuitätsgleichung. Für inkompressible Strömungen gilt verschärft Av = const oder A 1 v 1 = A 2 v 2. (10.5) Die Strömungsgeschwindigkeit in einer Strömung verändert sich demnach umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche. Beispiel: Bei einer Injektionsnadel wird die Flüssigkeit aus einer Spritze wird mit hoher Geschwindigkeit in die Blutbahn gespritzt, gerade umgekehrt wie im Bild rechts. A 1, v 1 A 2, v Reibungsfreie Strömungen p, A Dx v Dmgz Dx Um das Volumen ( V = const) zu befördern, p, A v muss Arbeit gegen den Druck p geleistet werden, Dmgz W = pa x = p V = p und gegen die Schwerkraft, W = m mgz. Definieren wir als kinetische Energie E kin = 1 2 mv 2 und fordern Energieerhaltung und Reibungsfreiheit, dann gilt p m + mgz+ 1 2 mv 2 = const. Nach Division durch m/ erhalten wir daraus die Bernoulli Gleichung p + gz+ 1 2 v2 = const. (10.6) wobei die drei Terme auf der linken Seite den statischen Druck p, den Schweredruck gz und den Staudruck v 2 /2 angeben. Die wesentliche Aussage von (10.6) ist, dass mit zunehmender Geschwindigkeit der Strömung der statische Druck quadratisch abnimmt (und umgekehrt). Die Bernoulli-Gleichung ist auch für Gase anwendbar, solange die Dichteänderung relativ klein ist. In der Nähe der Schallgeschwindigkeit ist die Voraussetzung der Inkompressibilität von Gasen nicht gegeben. Experiment: Strömung durch Rohr mit verschiedenen Querschnittsflächen. Druckmessung jeweils mit Hilfe eines Steigrohrs (Flüssigkeitshöhe entspricht Überdruck gegenüber Luftdruck).

4 110 KAPITEL 10. STRÖMUNGEN Überlagert einer linearen Abnahme des Drucks (wegen Reibung, siehe Seite 110) siehtmaneine Druckzunahme am großen Querschnitt (niedrige Geschwindigkeit) und eine Abnahme am kleinen Querschnitt (hohe Geschwindigkeit). Messung der Druckanteile -Drucksonde(RohrmitseitlichenBohrungen)beobachtet den statischen Druck -Pitot-Rohr(RohrmitaxialerBohrungaufderAnströmseite) beobachtet den Gesamtdruck -PrandtlschesStaurohr(KombinationbeiderSonden,Differenzdruckmessung) beobachtet den Staudruck -Venturi-Düse(beobachtetdieDruckdifferenzinzweiRöhren unterschiedlichen Durtchmessers) bei hinreichend unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeit wird hier ebenfalls der Staudruck gemessen (zur Bestimmung der Fluggeschwindigkeit in Luftfahrzeugen). statische Sonde Pitot Rohr Prandtl Sonde p p+ 1 2 r v2 p+ 1 2 r v2 Hydrodynamisches Paradoxon: Venturi-Effekt (wenn die Strömungsgeschwindigkeit groß ist, dann sinkt der Druck in der Strömung). Kraft durch den Unterdruck wird größer als das Gewicht der Scheibe. 1 2 luft u 2 2 >Mg (10.7) Man beobachtet/verwendet den Venturi Effekt beim Zerstäuber, Bunsenbrenner, Duschvorhang beim Duschen, Wasserstrahlpumpe 1. Experimente zum hydrodynamischen Paradoxon und Prandtlsches Staurohr. Für reibungsfreie Flüssigkeiten gilt für die Ausflussgeschwindigkeit p 0 + fl gh= p fl v 2 2. (10.8) p 10.3 Innere Reibung, Zähigkeit Eine Platte der Fläche A bewegt sich entlang einer ruhenden Flüssigkeitsschicht. Die Haftreibung zwischen Flüssigkeit und Festkörper wird auf benachbarte Schichten der Flüssigkeit übertragen. Tangentialkräfte zwischen den Schichten führen zu einem Geschwindigkeitsgefälle zwischen den Platten, dv/dz. Experimentell findet man: z v=v 0 v=v 0 F R = A dv dz (10.9) Eine ebenso große Gegenkraft ist notwendig, um die Platte bei konstanter Geschwindigkeit zu halten. Die physikalische Einheit der Viskosität ist [ ] =Ns/m 2 = Pascal s =1/10Poise v=0 v=0 Mit Grenzschicht bezeichnet man die Schichtdicke der Flüssigkeit in der Umgebung der bewegten Platte, die durch die Bewegung mitgenommen wird. 1 Der erreichbare Enddruck (Vakuum) ist durch den Dampfdruck von Wasser (23 mb bei 20 C) begrenzt.

5 10.3. INNERE REIBUNG, ZÄHIGKEIT 111 Allgemein: sinkt stark ab mit steigender Temperatur: Wasser, Motoröle. Die Größe hängt auch von der Geschwindigkeit ab (Blut). T / C Für Wasser gilt: / Pa s Einen besonderen Aggregatszustand bildet flüssiges Helium. Es wird unterhalb 2.17 K superfluid, =0. Laminare Strömung in einem Rohr: In diesem Fall sind die Beschleunigungskräfte klein gegenüber der Reibung. Die Flüssigkeit haftet auf der Rohrwand mit der Gesamtfläche A =2r L. DietangentialeReibungskraftaufeinenFlüssigkeitszylinderist F R =2 rl dv dr. (10.10) Bei einer stationären Strömung wird die Kraft durch Druckunterschied über die Endflächen, (p 1 p 2 )r 2 gerade durch die Reibungskraft kompensiert. Über diese Beziehung erhalten wir das Geschwindigkeitsprofil in der Röhre: 2 rl dv dr Z u 0 dv = = (p 1 p 2 )r 2 Z r R (p 1 p 2 )r 2 L u(r) = (p 1 p 2 )r 2 2 L dr R 2 r 2. Das parabolische Geschwindigkeitsprofil transportiert die Stromstärke I V (VolumenproZeiteinheit)durchdasRohr. I V = Z R 0 2r u(r) dr = R4 8 p 1 p 2 L. r=0 r=r Der Ausdruck p 1 p 2 = Lrp bezeichnet das Druckgefälle über das Rohr der Länge L. Dies ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille I V = R4 8 rp. (10.11) Die starke Abhängigkeit vom Rohrradius bedeutet: Eine 20 % ige Erhöhung des Rohrdurchmessers führt zur Verdopplung des Transportes ( ). Beim Kugelfall-Viskosimeter wird die um den Auftrieb verminderte Schwerkraft durch die Reibungskraft kompensiert F g = m e g = 4 3 r3 ( k fl ) g. Die Flüssigkeitsschicht an der Kugeloberfläche fährt mit der Kugel mit. In einiger Entfernung von der Oberfläche hingegen ruht die Flüssigkeit. Eine Abschätzung der Reibungskraft machen wir mit Gleichung 10.9 indem wir für die Fläche den Kugeloberfläche A=4 r 2 und für den Gradienten dv/dz v/r einsetzen. Daraus ergibt sich F R 4 rv.derexperimentell bestimmte Skalenfaktor 2 ergibt für kleine Kugeln das Stokessche Gesetz F R = 6 rv. (10.12) 2 Wie sie im Praktikum sehen werden, gilt dies nur für den Fall in unendlich ausgedehnten Flüssigkeiten beziehungsweise nur im Grenzfall sehr kleiner Reynoldszahlen (siehe Seite 114).

6 112 KAPITEL 10. STRÖMUNGEN Nach kurzem Fall durch die Flüssigkeit ergibt sich eine stationäre Endgeschwindigkeit aus der Bedingung F R F g F auftrieb =0 v end = 2 9 g r2 ( k fl ). (10.13) 10.4 Strömung um Hindernisse Strömungswiderstand : Nach Stokes ist der Reibungswiderstand einer Kugel in einer laminaren Strömung zeigt lineare Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (schleichende Strömung). In einer idealen Flüssigkeit (inkompressibel und nicht viskos) würde man erwarten, dass der Strömungswiderstand gleich Null ist. Nach dem Gesetz von Bernoulli ist der statische Druck auf der Vorder- und Rückseite der Kugel gleich. Flüssigkeitsteilchen werden auf der Vorderseite beschleunigt, erreichen eine maximale Geschwindigkeit am Punkt P,undwerdenaufderHinterseiteabgebremst. In einer realen Flüssigkeit kommt wegen der Reibungsverluste die Flüssigkeit am Punkt P nicht auf den vollen P W S1 S2 Wert und fällt zurück auf v =0schon vor dem Punkt W S2, ampunktw.weiteraußenvorbeiströmendeteilchen übertragen auf Grund der Reibung auf die zwischen W und S 2 eingeschlossene Flüssigkeitsmasse eine tangentiale Kraft, es bildet sich ein Wirbelpaar. Experiment: Ringwirbel mit hoher Stabilität, Ausblasen einer Kerze. Die in Wirbel investierte Energie wird dem Körper nicht mehr zurückgegeben. Wirbel werden infolge der Reibung von der Flüssigkeit mitgenommen. Neue Wirbel entstehen und bilden eine Wirbelstraße. Wirbel bewegen sich wie stark deformierbare Körper durch Strömung. In Abwesenheit von Reibung bleiben aber ihre Gesamtmasse und ihr Drehimpuls erhalten. Für den so hervorgerufenen Druckwiderstand gilt F D = c D 1 2 fl v 2 A, (10.14) wobei für A je nach Fall die angeströmte oder umströmte Fläche angesetzt wird. c D gibt den Druckwiderstandsbeiwert an der spezifisch für jede Körperform ist. Zum Druckwiderstand addiert sich ein Reibungswiderstand F R der von der Beschaffenheit des umströmten Objektes und seinen Oberflächeneigenschaften abhängt. Druck und Reibungswiderstand zusammen addiert man zum Strömungswiderstand F W = F D + F R = c W 1 2 fl v 2 A. (10.15) Quadratische Abhängigkeit von F W von v. Experimentellzeigtsich,dassc W von der Form und Art des Körpers abhängt sowie von der Reynoldszahl (siehe Seite 114). Experiment: Widerstand verschiedener Körperformen und ihre c W -Werte Dynamischer Auftrieb, Zirkulation Bisher behandelten wir den Druckwiderstand (Druckunterschiede in Bewegungsrichtung bzw. Strömungsrichtung). Die laterale Asymmetrie der Strömung (oben/unten, links/rechts,

7 10.6. REYNOLDS SCHE ZAHL 113 z.b. bei einem rotierenden umströmten Zylinder) zeigt sich als ein dynamischer Auftrieb quer zur Strömungsrichtung. Rotierender Zylinder: Die erhöhte Strömungsgeschwindigkeit auf der Seite, an der die Rotation des Zylinders und Strömungsrichtung in die gleiche Richtung zeigen, führt zum Magnus Effekt. Erklärung des dynamischen Auftriebs durch Überlagerung von Potential- und Zirkulationsströmung. Auftrieb einer Tragfläche: Beimunsymmetrischen Flügelprofil strömt die Luft oben schneller als unten, die Druckdifferenz bewirkt einen Auftrieb F = luft (v 2 1 v 2 2) A/2 (10.16) F v 1 > v 2 v 2 Experiment: Papierrolle, Flettner-Schiffsantrieb, Rollende Kugel in Wasser. Bei unsymmetrischen Profilen in einer Strömung ist wiederum die Überlagerung einer Zirkulation mit der Potentialströmung maßgeblich für den Ort an dem der Druckpunkt am Tragflügel einsetzt und den Auftrieb erhöht. Eine starke Abhängigkeit vom Anstellwinkel besteht. Bei einem Anstellwinkel über 15 o bilden sich Wirbel auf der Oberseite und damit ein erhöhter Widerstand. (Spaltflügel, Vorsegel helfen bei der Kontrolle des maximalen Anstellwinkels indem sie das Abreissen von Wirbeln mindern). Gemäß (10.16) sind Auftrieb und Strömungswiderstand proportional zur kinetischen Energie des umströmenden Mediums. Deshalb ist Fliegen in großer Höhe der Atmosphäre problematisch. Experiment:Kraftemessung mit der Zweikomponentenwaage. Die Güte eines Tragflügels wird durch die Gleitzahl = F W /F A bestimmt. Ein modernes Segelflugzeug erreicht =0.02 (2 m Höhenverlust auf 100 m Gleiten). Beim Motorflug bestimmen die Zugkraft der Propellerströmung bzw. die Schubkraft der Triebwerke den Steigwinkel Reynolds sche Zahl Strömungen werden durch die Beiträge verschiedener Kräfte zur lokalen Beschleunigung beschrieben. Exakte Lösungen sind in realistisch interessanten Fällen praktisch unmöglich, daher Experimente an maßstabsgetreuen Modellen. Wichtig ist dabei die Übertragbarkeit der Ergebnisse auf die korrekte Größe. In einer idealen Strömung skalieren alle Effekte mit der Größe. Für Reibungseffekte gilt das aber nicht generell. Newtonscher Ansatz für den Widerstand: F W = c W A /2 v 2 (10.17) dabei ist A eine charakteristische Fläche (angeströmt oder umströmt, je nach Einzelfall). Für eine in einer Flüssigkeit fallende Kugel (Stokes) gilt F W = F R =6 r v (10.18) Daraus folgt c W = 12 rv (10.19)

8 114 KAPITEL 10. STRÖMUNGEN wenn man für die angeströmte Fläche (A = r 2 )verwendet.analoggiltfürdieströmung in einem Rohr (Hagen-Poiseuille) F W =8 L v (10.20) und damit c W =8 L v (10.21) wenn man hier die umströmte Fläche A =2 rlverwendet. In allen Fällen (und man kann das an anderen Beispielen ebenfalls verifizieren), ergibt sich der Widerstandsbeiwert stets nur als Produkt aus einer reinen Zahl und dem Quotienten r v/. DenKehrwertdieses Quotienten bezeichnet man als Reynoldssche Zahl, Re = rv. (10.22) Reibungseffekte sind daher in verschiedenen Strömungen vergleichbar, wenn die Reynoldssche Zahl übereinstimmt. Charakterisierung von Strömungen durch die Reynoldssche Zahl Die Reynoldssche Zahl stellt einen Ausdruck dar, in dem die kinetische Energie eines Strömungsvolumens mit der Reibungsenergie verglichen wird. Erweitert man die Definitionsgleichung mit r 2 v,soerhältman Re = v2 r 3 rv r = kinetische Energie Reibungsenergie. (10.23) Im Zähler erkennt man die kinetische Energie eines Volumens der Dimension r 3,imNenner das Produkt aus Reibungskraft und Wegstrecke, beides bezogen auf Längen der Dimension r. Je höher die kinetische Energie (und damit auch die Geschwindigkeitsgradienten) in einer Strömung im Verhältnis zu den Beiträgen der Reibung, desto mehr neigt die Strömung zu Turbulenz. Tatsächlich gibt es für jede Strömungsform eine sogenannte kritische Reynoldszahl, oberhalbderdieströmungvonlaminarnachturbulentumschlägt. Die kritischen Reynoldszahlen lassen sich nur sehr schwer berechnen, man ist meist auf das Experiment angewiesen. Generell gilt: Strömungen sind ähnlich, wenn ihre Reynoldszahlen übereinstimmen (hydrodynamisches Ähnlichkeitsgesetz). Für eine ideale Flüssigkeit gilt: =0,Re!1. Eine Rohrströmung ist laminar bis zu Re 2000 (das Gesetz von Hagen-Poisseuille ist anwendbar). Eine Strömung um eine Kugel ist laminar bis Re 0.4 (das Gesetz von Stokes ist anwendbar)