Strömung realer inkompressibler Fluide

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1 4 STRÖMUNG REALER INKOMPRESSIBLER FLUIDE 4.1 EIGENSCHAFTEN REALER FLUIDE Fluidreibung und Viskosität Wesentlichstes Merkmal realer Fluide ist die Fluidreibung. Sie wurde erstmals von I. Newton (engl. Mathem. & Phys. 17.Jh) untersucht (Newtonsche Fluidreibung). Fluidreibung beruht auf zwischenmolekularen Anziehungkräften (van-der- Waals-schen Zähigkeitskräften), die sich der freien Verschiebung der Teilchen entgegenstellen. Diese Kräfte sind im Gegensatz zu den Reibungskräften der Festkörper-Reibung unabhängig vom Pressdruck (in diesem Fall Fluiddruck). Die Fluidreibung ist direkt proportional der Differenzgeschwindigkeit zwischen den Fluidteilchen, d.h. dem Geschwindigkeits- oder Schergefälle senkrecht zur Strömung ( v/ z). Bewegt man nämlich eine ebene Platte über einem Fluid im Abstand ( z) von einer zweiten ruhenden Platte mit der Differenzgeschwindigkeit ( c), so benötigt man dafür eine Kraft (F R ), die als Reibungs- oder Scherkraft bezeichnet wird und dem Newtonschen Fluidreibungsgesetz folgt. z bewegte Platte F R v= v F R = η A v/ z z v z=0 =0 (4.1) ruhende Platte Der Proportionalitätsfaktor (η) ist eine stoffspezifische Konstante und heißt dynamische Viskosität (Zähigkeit; Maßeinheit: N s/m² bzw. Pa s). Fluide, die dieser Gesetzmäßigkeit (η=konst.) unterliegen, werden Newtonsche Fluide genannt. Zu ihnen zählen alle tropfbaren Flüssigkeiten und alle Gase. Wichtigste Randbedingung ist die Haftbedingung an der Wand [v z=0 = 0]. Sie besagt, daß die Relativgeschwindigkeit der Strömung zur Wand direkt an der Wand Null ist. Die Strömung haftet also an der Wand. Wie alle Stoffkonstanten ist die Viskosität abhängig von Druck und Temperatur. Die Druckabhängigkeit von Flüssigkeiten ist jedoch oft vernachlässigbar gering (solange p < 100 bar). dyn. Viskosität Gase und Dämpfe Flüssigkeiten Temperatur strö1-kap4.doc/

2 Den Quotienten aus Scherkraft (F R ) und Reibungsfläche (A) bezeichnet man als Scher- oder Schubspannung (t) τ = η v/ z 4.2 In der Strömungstechnik wird die Viskosität oft auf die Dichte des Stoffes bezogen und erhält dann den Namen kinematische Viskosität (n) (Maßeinheit enthält nur kinemat. Größen). ν = η / ρ (m²/s) Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen) Die Beschreibung der komplizierten Gesetzmäßigkeiten realer Fluide bedurfte und bedarf auch heute noch der experimentellen Untersuchung in Laborversuchen, oft im verkleinerten Maßstab (Modell). Um die dabei gewonnenen Erkenntnisse verallgemeinern zu können und physikalische Gesetzmäßigkeiten abzuleiten, haben sich die sogenannten Ähnlichkeitskennzahlen als sehr praktisch erwiesen. Sie bezeichnen als dimensionslose Kennzahlen die Randbedingungen (Kräfte, Zustandsgrößen, Stoffeigenschaften, Geometrien etc.), deren Verhältnis konstant sein muß, damit Versuchsergebnisse von einem Modellfall übertragbar sind. geometrische Ähnlichkeit Alle Modelle müssen möglichst vollständige geometrische Ähnlichkeit aufweisen, d.h. ihre wichtigen Abmessungen müssen den gleichen Maßstab aufweisen wie die sog. Großausführung. Die Geometrien von Modell (Strömung 1) und Großausführung (Strömung 2) müssen folgende Bedingungen bezügl. einer charakteristischen Länge (l) erfüllen: Längen: Fläche: Volumen: Rauhigkeit: d 1 = l 1 ; A 1 = l² 1 ; V 1 = l³ 1 ; k 1 = k d 2 l 2 A 2 l² 2 V 2 l³ 2 l 1 l 2 physikalische Ähnlichkeit Reynolds-Zahl Die in der Strömungstechnik realer Fluide wichtigste Ähnlichkeit ist die Reynolds sche Ähnlichkeit, benannt nach Osborn Reynolds (engl. Phys. 19.Jh.), der als erster Reibungsphänomene in Flüssigkeiten näher untersuchte und zu der Erkenntnis gelangte, daß diese unter folgenden Bedingungen ähnlich sind. Das Verhältnis von Trägheitskraft (F T ) und Reibungskraft (F R ), welches später als Reynoldszahl (Re) bezeichnet wurde, ist konstant. Daraus ergibt sich folgende Gleichung: Re = F T = m a = ρ A z ( v/ t) = ρ z² = z² strö1-kap4.doc/

3 F R η A v/ z η A v/ z η t ν t mit der geometrischen Ähnlichkeit z l und t l/v folgt: Re = v l 4.5 ν Das bedeutet, die Reynoldszahl ist das Verhältnis einer charakteristischen Geschwindigkeit (v) multipliziert mit einer charakteristischen Länge (l bzw d) und der kinematische Viskosität (ν). Die dritte allgemeine Kraft in Strömungen, die Druckkraft (F P ) hat demzufolge keine Auswirkung auf das Reibungsverhalten. Froude-Zahl Die Froude Zahl (W.Froude; engl. Ing. 19.Jh) kennzeichnet als zweite in der Strömungstechnik gebräuchliche Kennzahl die in bewegten Fluiden mit einer freien Oberfläche (Abwasserkanäle, Flüsse etc.) wichtige Ähnlichkeit, die sich aus dem Verhältnis von Trägheitskraft (F T ) und Schwerkraft (F G ) ergibt. Aus historischen Gründen wurde zusätzlich die Quadratwurzel in die Formel übernommen, die jedoch an dem Kräfteverhältnis nichts ändert. m a v l Fr = (nach Umstellung a =, Erweiterung mit der Länge l und Ersetzen von = v m g t t Fr = v l g t l = v g l 4.6 Mach-Zahl Als dritte Ähnlichkeitsbeziehung soll die Mach-Zahl erläutert werden. Sie ist das Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit (v) und Schallgeschwindigkeit (a) und gilt als Prüfkriterium, welches aussagt, ob eine Strömung noch als inkompressibel betrachtet werden kann. Ma = v/a 4.7 Die Schallgeschwindigkeit selbst ist als stoffspezifische Konstante druck- und temperaturabhängig. Unter Atmosphärenbedingungen (T=15 C; p=1 bar) ergibt sich für die technisch wichtigsten Fluide Luft und Wasser: a Luft = 340 m/s a Wasser = 1455 m/s Die Dichteänderung in einem strömenden kompressiblen Fluid (Gas) wird nämlich durch den dynamischen Druck ( p= ρ 0 /2 v² ) und die Schallgeschwindigkeit (a² = p/ ρ) bestimmt. strö1-kap4.doc/

4 Substituiert man in Gleichung 4.7 die Geschwindigkeiten >a< und >v< so ergibt sich folgende Beziehung ½ Ma² ρ/ρ Für technische Berechnungen gilt allgemein eine Machzahl von Ma = 0,3 als Grenze für die Gültigkeit der Gesetze für inkompressible Fluide. Der Fehler ( ρ/ρ 0 ) ist dabei nach Gl. 4.8 kleiner als 5%. 4.2 STRÖMUNGSFORMEN UND STRÖMUNGSGRENZSCHICHT In technische Strömungen sind zwei grundsätzlich verschiedene Strömungsformen zu beobachten, - die Schichtenströmung, die als laminare Strömung bezeichnet wird und - die Wirbelströmung, die als turbulente Strömung bezeichnet wird. Welche der beiden Formen sich in einer Strömung ausbilden hängt in erster Linie von der Strömungsgeschwindigkeit, aber auch von den übrigen geometrischen und physikalischen Randbedingungen ab. Laminare Strömungen existieren nur bei relativ geringen Strömungsgeschwindigkeiten und hohen kinem. Zähigkeiten. Sobald die Geschwindigkeit über ein gewisses Maß steigt, wird fast jede reale Strömung turbulent. Den Strömungsumschlag von der laminaren zur turbulenten Bewegung hat O. Reynolds in seinem Farbfadenversuch (Bild 3.1) gezeigt. Innenströmung In vollständig umrandeten und gefüllten Systemen (gerade Rohrleitungen oder Kanäle) ist das Umschlagkriterium die kritische Reynoldszahl. Aus seinen umfangreichen Versuchen konnte Reynolds folgende noch heute gebräuchliche allgemeingültige Aussage ableiten: Re = v d < laminare Strömung 4.9 ν Re = v d > ν turbulente Strömung wobei der Innedurchmesser d für die charakteristische Länge l steht Allerdings gilt die Aussage Re Krit =2320 nach heutiger Kenntnis nicht mehr als festes Grenzkriterium. Sondern vielmehr existiert ein Grenzbereich, in welchem die Turbulenz einer Strömung langsam ansteigt. Der Wert Re=2320 ist dabei die unterste beobachtete Grenze des Umschlags. Die obere Grenze für laminare Innenströmungen liegt bei ca. Re=10 4. strö1-kap4.doc/

5 Umströmung Bei der äußeren Umströmung eines Körpers ist der Umschlag von laminarer in turbulente Strömung noch weniger einheitlich als bei Innenströmungen. Er ereignet sich je nach Körpergeometrie in einem breiten Reynoldszahl-Bereich. z.b. bei Kugeln gilt: 10 5 < Re= v d < 10 6 ν (d=außendurchmesser) Strömung mit freier Oberfläche In offenen Gerinnen wird neben der Differenzierung laminar-turbulent noch unterschieden, ob die Strömung gleichförmig ist (konstante Wasserteife (l t ) oder ins Schießen gerät (in Strömungsrichtung abnehmende Wassertiefe und zunehmende Geschwindigkeit). Es gilt: v Fr = gl < 1 gleichförmig strömende Bewegung (geringes Gefälle) 4.10 > 1 schießende Bewegung (großes Gefälle) wobei die hydraulische Wasserteife l t nur in Rechteckkanälen gleich der Wasserstandshöhe h ist. In anders geformten Gerinnen ergibt sich l t als Verhältnis von Querschnittsfläche A und Spiegelbreite der freien Oberfläche l t = A/ b Sp Grenzschichttheorie Die heute gebräuchliche physikalische Erklärung über die Entstehung und Entwicklung von Turbulenzerscheinungen und Reibungsdruckverlusten gelang Ludwig Prandtl (dt. Phys. 20.Jh.) mit der Grenzschichttheorie. Darin unterscheidet Prandtl zwischen zwei Strömungsbereichen: -einer relativ dünnen wandnahen Strömungsschicht (Grenzschicht), in welcher aufgrund der Wandreibung sehr starke Geschwindigkeitsgradienten ( v/ z) auftreten, - und einem weitgehend ungestörten Außenbereich (Außenströmung), in welchem näherungsweise die Gesetze der idealen Potentialströmungen gelten. In Newtonschen Fluiden mit relativ geringer Viskosität ist die Fluidreibung fast ausschließlich in der Grenzschicht wirksam. Die Grenzschicht weist weiterhin folgende Eigenschaften auf, die für das Strömungsverhalten realer Fluide ganz entscheidend sind: In der Grenzschicht gilt das Newtonsche Reibungsgesetz (Gl Wandreibung). Jede Grenzschichtströmung beginnt laminar (Einlauf- oder Anlaufströmung genannt). strö1-kap4.doc/

6 Die Grenzschichtdicke steigt mit der Lauflänge (s) und der Geschwindigkeit der Außenströmung (v ). Nach dem Erreichen einer bestimmten Grenzschichtdicke findet in der Grenzschicht der Strömungsumschlag von laminar in turbulent statt (Bild 4.1). Die Turbulenzbewegung in der Grenzschicht wird durch Impulsaustausch (Fluidreibung und teilelastische Stöße der Fluidteilchen) auf die Hauptströmung übertragen, die dadurch ihrerseits turbulent wird (Mischbewegung). Grenzschichten können sich insgesamt ablösen und werden von Rückströmungen hinterströmt, wenn die angrenzende Wandkontur eine starke Richtungsänderung erfährt (Wirbelablösung). Berechnung der Grenzschichtdicke Die Ausdehnung einer Grenzschicht hängt - wie oben erwähnt - von der Lauflänge (s) und der Strömungsgeschwindigkeit in der Hauptströmung (v ) ab und läßt sich aus den folgenden empirischen Näherungsformeln bestimmen. laminar: δ L = 5 (ν s L / v ) 1/ a turbulent: δ T = 0,37 (ν s T 4 / v ) 1/ b Der Umschlagpunkt mit der Lauflänge (s krit ) ist durch die kritische Reynoldszahl der Hauptstömung Re krit festgelegt. Re krit = v s krit 5 x 10 5 ν Turbulenz und Turbulenzgrad Turbulenzbewegungen lassen sich mathematisch nur sehr schwer exakt beschreiben, da sie stochastischer d.h zufallsbedingter Natur sind. Sie können lediglich mit Hilfe statistischer Methoden näherungsweise erfaßt werden (z.b. Mittelwert-Schwankungswert-Methode: v=v m +v >Momentangeschwindigkeit = mittlere Geschwindigkeit+Geschwindigkeitsschwankung<). Trägt man die Messwerte einer Geschwindigkeitsmessung in einer turbulenten Strömung als Funktion der Zeit auf, so ergibt sich folgendes Bild. v (Geschwindigkeit Mittelwert v m strö1-kap4.doc/

7 v Schwankungsgeschwindigkeit t (zeit) Zur Lösung der meisten technischen Probleme und für die damit verbundenen Berechnungen ist eine detaillierte mathematische Erfassung der Strömungsturbulenzen auch gar nicht erforderlich. Das gilt auch für den Rahmen dieser Vorlesung. Befaßt man sich jedoch mit der Computer-Simulation von komplizierten Strömungsvorgängen, d.h. der numerischen Lösung der dreidimensionalen differentiellen Bewegungsgleichungen, so müssen geeignete statistische Turbulenzmodelle einbezogen werden. Zur meßtechnischen Feststellung von Turbulenzen verwendet man i.a. Hitzdrahtanemometer (Meßinstument mit feinem beheizten Draht dessen Temperaturänderung in der Strömung ein Maß für die Geschwindigkeitsschwankung ist), mit dem man die Strömungsschwankungen >v < richtungsunabhängig in allen 3-Raumdimensionen erfassen kann. Als Maß zur Beurteilung und zum Vergleich gemessener Turbulenzen wird folgende Größe als Turbulenzgrad (Tu) definiert. Tu = 2 ( v' ) v m m wobei v' 2 m 1 = n n 1 v' wobei >v ²< die zeitlichen Schwankungswerte der momentanen Geschwindigkeit >v< in den drei Dimensionen x,y,z darstellen. In technischen Strömungen nimmt der Turbulenzgrad etwa folgende Größenordnungen an: - voll ausgeprägte Turbulenz: Tu = turbulenzarme Strömung: Tu = 10-4 ( z.b. Windkanal) Umschlag laminar-turbulent: Tu = 10-3 Trotz der stochastischen Natur der dreidimensionalen Turbulenzen bleibt die Hauptströmungsrichtung meistens dominant. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit (v m ) dieser Hauptrichtung wird an jedem Ort wie in laminaren oder idealen Strömungen durch einem Vektor dargestellt, so daß auch reale turbulente Strömungen grundsätzlich mit dem Stromfadenmodell beschrieben werden können. strö1-kap4.doc/

8 4.2.3 Geschwindigkeitsverteilung in Rohren und Kanälen In Rohren und Kanälen mit symmetrischem Querschnitt bilden sich typische Geschwindigkeitsprofile aus (Bild 4.2). Sie leiten sich aus dem Reibungsverhalten und der Haftbedingung an der Wand ab. laminare Strömung Die Geschwindigkeitsverteilung in laminaren Strömungen läßt sich aus dem Kräftegleichgewicht zwischen den Druck- und Reibungskräften an einem differentiellen Strömungselement analytisch ableiten (siehe Anhang zu Kap 4). Es gilt für jeden Ort des Querschnittes im Abstand (r ) von der Rohrachse v ( r ) = K (r 0 ² - r²) Gesetz von Stokes 4.14 Dieses ist die Gleichung einer Parabel mit den Grenzen Maximalgeschwindigkeit in Rohrmitte v max = K r 0 ² Minimalgeschwindigkeit an der Rohrwand v min = 0 In Rohren mit Kreisquerschnitt (runde Rohre) ist das Strömungsprofil somit eine rotationssymmetrische Parabel (Paraboloid). Definiert man weiterhin eine mittlere Geschwindigkeit (v mit ), die sich aus der Durchflußgleichung (v mit = V/A) errechnet, so läßt sich diese aus der Volumengleichheit von einem Zylinder und dem Paraboloid mit gleicher Grundfläche (A) ermitteln. Es gilt: v mit = V/A = ½ v max 4.15 turbulente Strömung Das Geschwindigkeitsprofil turbulenter Strömungen verläuft in der wandnahen Grenzschicht viel steiler und im turbulenten mittleren Strömungsbereich viel flacher als das Profil laminarer Strömungen. Nach Auswertung umfangreicher Versuche haben Prandtl und sein Mitarbeiter Nikuradse folgenden exponentiellen Zusammenhang gefunden. v ( r) = K v mit (1 - r/r 0 ) n 4.16 mit der Konstanten K= ½ (n+1)(n+2) und dem Exponenten n = f (Re) (n ist Funktion der Reynoldszahl). Die Maximalgeschwindigkeit der turbulenten Strömung ist dabei etwa um den Faktor F=1,2 größer als die durchflußäquivalente mittlere Geschwindigkeit. v max 1,2 v mit 4.17 strö1-kap4.doc/

9 4.3 ERWEITERTE ENERGIEGLEICHUNG UND DRUCKVERLUST Reibung verursacht stets eine Umwandlung von kinetischer Energie in Wärme. Dieser Vorgang heißt Energie-Dissipation. Neben der Reibung trägt auch die Turbulenz mit ihrem Impulsaustausch zur Dissipation bei. Dissipation mindert also die verfügbare Transportenergie des Systems und wird daher als Energieverlust bezeichnet. Reale Strömungen sind immer verlustbehaftet. Bezieht man den Energieverlust nun in die Energiegleichung von Bernoulli für ideale Strömungen ein, so ergibt sich folgende erweiterte Energiegleichung für die Strömung realer Fluide bezogen auf zwei beliebige Querschnitte 1 und 2 (vgl. Bild 3.2 d und Gl. 3.6). Diese Gleichung läßt sich in drei Varianten ausdrücken, die durch einfache mathematische Umformung ineinander überführt werden können. Energieform (J/kg): g z 1 + p 1 + v 1 ² = g z 2 + p 2 + v 2 ² + Y V 4.18 a ρ 2 ρ 2 mit Y V spez. massebezogener Energieverlust Druckform (N/m²) ρ g z 1 + p 1 + ρ v 1 ² = ρ g z 2 + p 2 + ρ v 2 ² + Dp V 4.18 b 2 2 mit p Verl = ρ Y V Druckverlust Höhenform (m): z 1 + p 1 + v 1 ² = z 2 + p 2 + v 2 ² + h V 4.18 c g ρ 2 g g ρ 2 g mit h V = Y V / g Verlusthöhe Jede der drei Gleichungen bezeichnet natürlich weiterhin einen Energieverlust, wobei sich der Druckverlust auf die Druckenergie bezieht und die Verlusthöhe auf die potentielle Lageenergie der Ortshöhe. Den Verlauf des verfügbaren Energiepotentials (Druck+Geschwindigkeit+Lage) entlang der Strömung nennt man Energielinie. Sie ergibt sich aus dem Anfangspotential abzüglich der Energieverluste (siehe Bild 4.3) Da in Fluidtransportsystemen (Rohre, Kanäle etc.) der Energieverlust wegen der Kontinuitätsbedingung meist als Druckverlust auftritt und gemessen wird, ist diese Bezeichnung am gebräuchlichsten. Man spricht daher im allgemeinen von Strömungsdruckverlust. Die Bestimmung und Berechnung von Druckverlusten ist eine der wichtigsten ingenieurtechnische Aufgaben innerhalb der Strömungstechnik. Sie wird im folgenden Kapitel 5 ausführlich behandelt. strö1-kap4.doc/

10 4.4 STRÖMUNG MIT ENERGIEZUFUHR Damit technische Strömungen im Dauerbetrieb aufrecht erhalten werden können, muß ihnen kontinuierlich Energie zugeführt werden, da das Energiepotential der realen Strömung - wie gezeigt - durch Reibungs- und Turbulenzverluste ständig verringert wird. Die Aufgabe der erforderlichen Energiezufuhr übernehmen die Strömungsmaschinen. In Strömungsmaschinen (Pumpen,Turbinen, Ventilatoren oder Strahltriebwerken) kann der Strömung aber nicht nur Energie zugeführt sondern auch entzogen werden. Welche Vorgänge im einzelnen eine Rolle spielen, ist Gegenstand der Vorlesung Teil 2 ( Strömungsmaschinen ). Im Rahmen der Energiebilanz nach der Bernoullischen Energiegleichung (Gl a-c) sind für Strömungen mit Energiezufuhr bzw. -abfuhr lediglich zusätzliche Gleichungsterme zu addieren (Y zu; ; Y ab ). Energiegleichung: g z e + p e + v e² + Y zu = g z a + p a + v a ² + Y V + Y ab 4.19 ρ 2 ρ 2 Der Term ( Y zu ) repräsentieren die Netto-Energiezufuhr als Strömungsenergie. Die tatsächlich aufzubringende Brutto-Energie in Form von mechanischer oder elektrischer Energie erhält man durch Division mit dem Maschinenwirkungsgrad (η zu ). Sie ist entsprechend größer als die Netto-Energiezufuhr. Der Term ( Y ab ) bezeichnet die Brutto-Energieentnahme. Sie ist mit dem Maschinenwirkungsgrad (η ab )zu multiplizieren, um die der Strömung entzogene Netto-Nutzenergie zu ermitteln. Maschinenwirkungsgrade von Strömungsmaschinen liegen i.a. zwischen η= 0,6 bis η= 0,9. strö1-kap4.doc/

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