1. Die Wellengleichung
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- Linda Küchler
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1 1. Die Wellengleichung Die Wellengleichung ist eine partielle Differenzialgleichung für das Schallfeld. Sie lässt sich durch Linearisierung aus der Massenbilanz, der Impulsbilanz und der Energiebilanz herleiten. Linearisierung: Untersucht wird die Schallausbreitung in ruhender Luft: Die Massendichte ρ 0 ist räumlich und zeitlich konstant. Der Luftdruck p 0 ist im Gleichgewicht mit der Schwerkraft. Die Strömungsgeschwindigkeit v 0 ist null. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-1
2 1. Die Wellengleichung Die Schallausbreitung wird durch die akustischen Größen Schalldruck p(t), Dichteänderung ρ(t) und Schallschnelle v(t) beschrieben. Für die gesamten Größen gilt: p g x,t = p 0 x p x,t g x,t = 0 x,t v g x, t =v x, t Die akustischen Größen sind klein gegenüber den entsprechenden Größen im Ruhezustand: pt p 0, t 0 0 v 2 p 0 Die gesamten Größen müssen die Bilanzgleichungen erfüllen. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-2
3 Mitbewegtes Teilgebiet: 1. Die Wellengleichung Die Bilanzgleichungen werden für ein so genanntes mitbewegtes Teilgebiet V aufgestellt. Dabei handelt es sich um ein beliebiges Teilgebiet, dessen Oberfläche S = V sich mit der Schallschnelle v bewegt. Ein mitbewegtes Teilgebiet besteht also zu jeder Zeit aus denselben Luftpartikeln. v V n S = V Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-3
4 1. Die Wellengleichung 1.1 Massenbilanz 1.2 Impulsbilanz 1.3 Energiebilanz 1.4 Materialgesetz 1.5 Wellengleichung 1.6 Randbedingungen Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-4
5 Integrale Massenbilanz: 1.1 Massenbilanz Das mit bewegte Gebiet enthält zu jedem Zeitpunkt die gleiche Masse an Luft. Daher gilt: d dt V t Mit dem Transporttheorem von Reynolds folgt: V t g t dv =0 g t g v i dv =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-5
6 Lokale Massenbilanz: 1.1 Massenbilanz Da das Teilgebiet V(t) beliebig gewählt werden kann, muss gelten: g t g v i =0 Mit g t = 0 t folgt daraus: Linearisierung: Mit t 0 folgt schließlich: t 0 t v i =0 t 0 v i =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-6
7 Integrale Impulsbilanz: 1.2 Impulsbilanz Die zeitliche Änderung des Impulses des mitbewegten Teilgebiets ist gleich der Summe aller am Teilgebiet angreifenden Kräfte: Dabei ist g i der Vektor der Erdbeschleunigung. Mit dem Transporttheorem von Reynolds und dem Integralsatz von Gauß folgt: V t d dt V t g v i dv = V t g g i dv S v g i g v i v j g g i p g t x j p g n i ds dv =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-7
8 Lokale Impulsbilanz: 1.2 Impulsbilanz Da die integrale Impulsbilanz für ein beliebiges Teilgebiet gelten muss, folgt: g v i Ausdifferenzieren führt auf t g v i v j x j g t g v j x j g g i p g =0 v i g v i t v j v i x j g g i p g =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-8
9 1.2 Impulsbilanz Mit der Massenbilanz vereinfacht sich diese Gleichung zu Da der Luftdruck p 0 im Gleichgewicht mit der Gewichtskraft ist, gilt: g v i t v j 0 g i p 0 =0 g t g v j x j =0 v i x j g g i p 0 p =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-9
10 1.2 Impulsbilanz Mit g 0 folgt: 0 v i t v j v i x j p =0 Diese Gleichung ist noch nichtlinear in v. Bei akustischen Vorgängen ist die konvektive Beschleunigung klein: v i v j v i x j t Dann gilt: 0 v i t = p Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
11 1.2 Impulsbilanz Die Partikelbeschleunigung ist entgegengesetzt zum Druckgradienten gerichtet. Dieses Ergebnis lässt sich auch direkt aus dem Newtonschen Grundgesetz für einen infinitesimalen Quader gewinnen: z p(x) y x Δx p(x+δx) 0 x y z v x t = p x p x x y z v x 0 t = p x Dabei wird allerdings nicht deutlich, welche Annahmen getroffen wurden. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
12 Integrale Energiebilanz: 1.3 Energiebilanz Die zeitliche Änderung der Energie eines mitbewegten Teilgebiets ist gleich der Leistung der angreifenden Kräfte plus der Summe der Wärmeströme. Die Energie setzt sich zusammen aus der inneren Energie und der kinetischen Energie. Mit der massenspezifischen inneren Energie u gilt unter Vernachlässigung von Wärmeleitung: d dt V t g u 1 2 v i v i dv = V t g g i v i dv S v i p g n i ds Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
13 1.3 Energiebilanz Mit dem Transporttheorem von Reynolds und dem Integralsatz von Gauß folgt: V t [ t g u 1 2 v i v i x j = V t [ g g i v i p g v i ] dv g u 1 2 v i v i v j] dv Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
14 Lokale Energiebilanz: 1.3 Energiebilanz Da die integrale Energiebilanz für ein beliebiges Teilgebiet gelten muss, folgt: g t u 1 i 2 v i v x j g v j u 1 i 2 v i v = g g i v i p g v i Ausdifferenzieren ergibt g t g v j x j u 1 2 v i v i g t u 1 2 v i v i v j x j u 1 2 v i v i = g g i p g v i p g v i Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
15 1.3 Energiebilanz Der erste Term auf der linken Seite verschwindet wegen der Massenbilanz. Weiteres Ausdifferenzieren führt auf g u t v u i j x g v v i j t v v i j x j g g i p g Mit der aus der Impulsbilanz gewonnen Beziehung v i p g v i =0 folgt: g v i t v j g u t v j v i x j g g i p g u x p g j v i =0 =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
16 Mit den Näherungen 1.3 Energiebilanz u g 0, p g p 0, v j u x j t folgt die linearisierte Energiegleichung: 0 u t p 0 v i =0 Die innere Energie hängt von der spezifischen Entropie s und der Dichte ρ ab. Damit gilt: u t = u s s t u t Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
17 folgt: 1.3 Energiebilanz Mit den thermodynamischen Beziehungen u s =T 0 und u = p 0 Dabei ist T 0 die Temperatur im Ruhezustand. Einsetzen ergibt: u t =T 0 0 T 0 s t p 0 0 t p 0 s t p t 0 2 v i = 0 T 0 s t p 0 0 t 0 v i x =0 i Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
18 1.3 Energiebilanz Mit der Massenbilanz folgt daraus: s t =0 Bei der Schallausbreitung bleibt die Entropie konstant. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
19 1.4 Materialgesetz Zustandsgrößen: Dichte, Druck und Entropie sind Zustandsgrößen. Ein ideales Gas lässt sich durch zwei Zustandsgrößen beschreiben. Für die Dichte gilt daher: = p, s Da bei akustischen Vorgängen die Entropie konstant ist, gilt t = p p s t = 1 = p mit c 2 p c 2 t s Wie später gezeigt wird, ist c die Schallgeschwindigkeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
20 1.4 Materialgesetz Materialgesetz: Einsetzen in die Massenbilanz führt auf p t = 0 c 2 v i Das ist das Materialgesetz für das akustische Medium. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
21 Kompressionsmodul: 1.4 Materialgesetz Die Materialkonstante K = 0 c 2 wird als Kompressionsmodul bezeichnet. v Aus i 1 =lim 1 V v i n i ds=lim V 0 V S V 0 V t folgt: p t = K lim V 0 1 V V t Für ein infinitesimal kleines Volumen verknüpft der Kompressionsmodul die relative Volumenänderung des Volumens mit der zugehörigen Druckänderung: p= K V V Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
22 1.4 Materialgesetz Berechnung der Schallgeschwindigkeit: Für eine adiabate Zustandsänderung eines idealen Gases gilt p g = p 0 p 0 p= p 0 0 g 0 0 Dabei ist κ der Isentropenexponent. Ableiten nach ρ ergibt: p = p 0 s 0 1 = p p 0 0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
23 1.4 Materialgesetz Die thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet p 0 =RT 0 0 mit der spezifischen Gaskonstanten R. Damit gilt: c= p 0 0 = R T 0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
24 1.4 Materialgesetz Zahlenwerte für Luft: Isentropenexponent: Spezifische Gaskonstante: Massendichte bei 20 C: Schallgeschwindigkeit bei 20 C: =1,4 R=287 J kg K 0 =1,204 kg/ m 3 c=343 m/s Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
25 1.5 Wellengleichung Mit der Impulsbilanz und dem Materialgesetz stehen zwei Gleichungen für die zwei unbekannten Größen p und v zur Verfügung. Daraus lässt sich eine Gleichung für den Schalldruck gewinnen: Impulsbilanz: Materialgesetz: 1 p = v i 0 t 1 0 c 2 p t = v i Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
26 1.5 Wellengleichung Wird die Divergenz der Impulsbilanz von der zeitlichen Ableitung des Materialgesetzes abgezogen, so folgt und daraus: 2 p 1 0 c 2 t p t 2 c2 2 p =0 2 p =0 Diese Gleichung wird als Wellengleichung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
27 1.6 Randbedingungen Das Schallfeld ist die Lösung der Wellengleichung, die auch die gegebenen Anfangs- und Randbedingungen erfüllt. Die Anfangsbedingung legt das Schallfeld zum Zeitpunkt t = 0 im gesamten untersuchten Gebiet fest. Die Randbedingungen legen den Wert des Schallfelds auf dem Rand des untersuchten Gebiets für jeden Zeitpunkt fest. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
28 1.6 Randbedingungen Innenraumprobleme: S a Fläche S v : Die Schallschnelle normal zur Wand ist vorgegeben: S v V S p v i n i =v n =v Rn Eine Fläche mit v Rn = 0 wird als schallhart bezeichnet. Fläche S p : Der Schalldruck ist vorgegeben: p= p R Ein geöffnetes Fenster lässt sich näherungsweise als Fläche mit p R = 0 betrachten. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
29 1.6 Randbedingungen Fläche S a : Eine lineare Beziehung zwischen Schalldruck und Schallschnelle normal zur Wand ist vorgegeben: Die Größe z wird als spezifische akustische Impedanz oder Feldimpedanz bezeichnet. Mithilfe der spezifischen akustischen Impedanz lassen sich absorbierende Flächen beschreiben. Der Kehrwert p=z v n a=1/ z der spezifischen Impedanz wird als spezifische akustische Admittanz bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
30 1.6 Randbedingungen Außenraumprobleme: Auf S r gilt die Abstrahlbedingung von Sommerfeld: r S r lim r [ r p r 1 c p t ] =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik
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