1 Mathematische Hilfsmittel

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1 Mathematische Hilfsmittel. Vektoranalysis Wiederholung Vektor: Länge und Richtung Vektoraddition: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) kartesische Koordinaten: B A + B = i (a i + b i )e i A+B Multiplikation mit einem Skalar: ca: Dehnung/Stauchung ändert die Länge von A, aber nicht seine Richtung c(a + B) = ca + cb kartesische Koordinaten: aa = i ca i e i A Skalarprodukt: Projektion von A auf B A B = A B cos ϑ kartesische Koordinaten: A B = i a i b i ϑ A B B Vektorprodukt: Flächenvektor des aufgespannten Parallelogramms A B = A B sin ϑ ˆn ˆn {A, B} Einheitsvektor, rechte Hand-Regel kartesische Koordinaten: A B = ijk ɛ ijk e i a j b k ϑ A B sinϑ

2 total antisymmetrischer Tensor: 0 i = j, j = k oder i = k ɛ ijk = falls ijk zyklisch ijk antizyklisch dreifache Produkte A (B C) = B (C A) = C (A B) Volumen des Parallelepipeds A (B C) = B(A C) C(A B) (doppeltes Kreuzprodukt)

3 .2 Krummlinige Koordinaten Krummlinige Koordinaten zeichnen sich dadurch aus, dass sich das Koordinatensystem von Punkt zu Punkt ändert. An jedem Punkt (q, q 2, q 3 ) im Raum gibt es drei lokal orthogonale Einheitsvektoren e, e 2 and e 3. Sie formen ein rechtsorientiertes System (rechte-hand-regel). e ϕ e ϕ e r e r Infinitesimale Verschiebung vom Punkt (q, q2, q3) zum Punkt (q + dq, q 2 + dq 2, q 3 + dq 3 ): dl = h dq e + h 2 dq 2 e 2 + h 3 dq 3 e 3 (r+dr) sinϑ d l= dr er d l2 = r d ϑ eϑ ϑ d l ~ r sin ϑ d ϕ 3 eϕ ϕ Koordinaten q q 2 q 3 h h 2 h 3 e e 2 e 3 kartesisch x y z e x e y e z sphärisch r ϑ ϕ r r sin ϑ e r e ϑ e ϕ zylindrisch ρ ϕ z ρ e r e ϕ e z

4 Ableitungen von Feldern Gradient Betrachte ein Skalarfeld f(r) Bei einer infinitesimale Änderung von r ändert sich f um: df = f(r + dl) f(r) =: ( f) dl = grad f dr Dies definiert den Gradienten von f, grad f. Der Gradient von f ist ein Vektor und zeigt in die Richtung steilsten Anstiegs von f. Sein Betrag gibt die Steigung von f in dieser Richtung an. Durch die obige Beziehung ist der Nabla-Operator,, ebenfalls festgelegt. Aus df = i f q i dq i = ( f) dl = i ( f) i h i dq i ergibt sich durch Vergleich der Koeffizienten der dq i die Koordinatendarstellung des Gradienten: ( f) i = h i f q i Beispiel: Gradient in sphärischen Koordinaten: = ( r, rϑ, ) r sin(ϑ)ϕ

5 Divergenz Die Divergenz eines Vektorfeldes, div v(r) ist ein Skalarfeld. Es misst an jedem Punkt r die Quellstärke des Feldes. div v(r) := lim df v V 0 V V Hierbei ist die geschlossene Fläche, V, der Rand des Gauss schen Volumens V und df ist die lokale Flächennormale. Die Koordinatendarstellung der Divergenz ergibt sich aus der Betrachtung des Flusses durch das Gauss sche Volumen: dl 3 (q, q, q ) 2 3 d l2 d l (q +dq, q, q ) 2 3 Der Fluß dφ durch die infinitesimale Oberfläche ist von Punkt zu Punkt verschieden: dφ(q, q 2, q 3 ) = v df einkommender Fluß an der q = const-fläche: dφ L = dφ(q, q 2, q 3 ) = v df (dv ) ausgehender Fluß an der q + dq = const-fläche: dφ R = dφ(q + dq, q 2, q 3 ) = dφ L + dq dφ(q, q 2, q 3 ) q Netto-Fluß in e Richtung: dφ = dφ R dφ L = dq dφ(q, q 2, q 3 ) = dq (v df) q q mit dem Flächenelement df = dl 2 dl 3 de. Gesamtfluß durch alle 6 Flächen: dφ = dq (v h 2 h 3 dq 2 dq 3 ) = dq dq 2 dq 3 (v h 2 h 3 ) q q dφ = dφ + dφ 2 + dφ [ 3 = dq dq 2 dq 3 v h 2 h 3 + v 2 h 3 h + ] v 3 h h 2 q q 2 q 3

6 infinitesimales Volumen: dv = dl dl 2 dl 3 = h h 2 h 3 dq dq 2 dq 3 Daraus ergibt sich für div v = dφ/dv div v = h h 2 h 3 [ (v h 2 h 3 ) + (v 2 h 3 h ) + ] (v 3 h h 2 ). q q 2 q 3 Die Divergenz läßt sich als Skalarprodukt mit dem Nabla-Operator ausdrücken: ( ) ( ) div v = v = e i v i e i h i q i i i Hierbei ist zu beachten, daß die partiellen Ableitungen auch auf die rechts von ihnen stehenden Einheitsvektoren wirken! Für kartesische Koordinaten gilt im Besonderen: div v = i v i q i. Beispiele: v(r) = r = xe x + ye y + ze z v = x x + y y + z z = + + = 3 v(r) = e y v = x 0 + y + z 0 = = 0

7 v(r) = ye y v = x 0 + y y + z 0 = = Laplace Operator Aus dem Gradienten und der Divergenz läßt sich ein weiterer Differential-Operator konstruieren: Er wirkt auf skalare Felder. = div grad = Seine allgemeine Koordinatendarstellung ergibt sich zu: = h h 2 h 3 [ q ( h 2h 3 h q ) + q 2 ( h 3h h 2 q 2 ) + q 3 ( h h 2 h 3 ] ) q 3 In kartesischen Koordinaten stellt er sich als die Summer der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung dar: 2 = i q 2 i

8 Rotation Die Rotation eines Vektorfeldes, rot v, ist ein Vektorfeld. Es zeigt in jedem Punkt die Verwirbelung des Feldes an. Die Wirbelstärke in einer vorgegebenen Richtung n ist gegeben durch: n rot v = lim dγ v F 0 F Γ wobei n die Flächennormale der Stokes schen Fläche F ist und der Weg Γ = F diese Fläche umrandet. Exkurs: Linienintegrale Ein Weg Γ ist eine Abbildung γ : [a, b] R R 3 mit den Endpunkten γ(a) = A und γ(b) = B. Das Linienintegral eines Vektorfeldes v entlang des Weges Γ ist gegeben durch B Beispiel: Griffith p. 25 A v dγ = b a v γ dt m mit mγ = d dt γ(t). Die Koordinatendarstellung der Rotation ergibt sich aus folgender Überlegung: Betrachte die Komponente von rot v in Richtung e. Dazu muß F eine infinitesimale Fläche mit q =const sein. Die Beiträge zum Randintegral dl v sind dann: c) e d) dl b) 3 a) (q,q -0.5dq,q ) dl =h dq e Nun ist: längs a: dq 2 (h 2 v 2 ) q,q 2,q 3 2 dq 3 längs b: dq 3 (h 3 v 3 ) q,q dq 2,q 3 längs c: -dq 2 (h 2 v 2 ) q,q 2,q dq 3 längs d: -dq 3 (h 2 v 2 ) q,q 2 2 dq 2,q 3 (h 2 v 2 ) q,q 2,q 3 2 dq = (h 3 2v 2 ) q,q 2,q 3 (h 2 v 2 ) q,q 2 q 2,q 3 3 Damit ergibt sich das Wegintegral zu [ dl v = dq 2 dq 3 (h 3 v 3 ) ] (h 2 v 2 ) q 2 q 3 q,q 2,q 3 Hieraus folgt die q -Komponente der Rotation zu: rot v = lim dl v = [ (h 3 v 3 ) ] (h 2 v 2 ) = dq 2,dq 3 0 h 2 dq 2 h 3 dq 3 h 2 h 3 q 2 q 3 j,k ɛ,j,k h j h k q j (h k v k ) Verallgemeinerung auf drei Komponenten liefert: rot v = ɛ i,j,k e i (h k v k ) i,j,k h j h k q j

9 Durch Vergleich zeigt sich: rot v = v Beispiel: Griffith, S. 9 Summen- und Produktregeln (f + g) = f + g (A + B) = A + B (A + B) = A + B (f g) = f g + g f (A B) = A ( B) + B ( A) + (B )A + (A )B (fa) = f( A) + A ( f) (A B) = B ( A) A ( B) (fa) = f( A) A ( f) (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) Zweite Ableitungen ( f) = f Laplace Operator ( A)( ) ( A) = 0 ( f) = 0 ( A) = ( A) A ( A = i e i A i )

10 Integralsätze Gradienten-Theorem b a ( f)dγ = f(b) f(a) Randterm verdeutlicht die Verwandschaft des Gradienten in mehreren Dimensionen mit der Ableitung in einer Dimension. Das obige Integral ist unabhängig vom Weg Γ. Gauss sches Theorem V ( A)dV = V A df Randterm (V : Volumen, V : Oberfläche, die das Volumen einschließt) Das Volumenintegral über die Quellen von A gleicht dem Fluß von A durch die Oberfläche. Beweis: Definition der Divergenz und Aufsummieren aller infinitesimalen Volumina. Dabei heben sich die Oberflächenbeiträge benachbarter Volumina im Innern von V gegenseitig auf. df = - df 2 2 Beispiel: Griffiths, S. 32 Stokes sches Theorem F ( v)df = F v dγ Randterm Der Fluß der Rotation von v durch eine Fläche F gleicht dem Integral von v entlang des Randes von F. Dies Integral hängt bei gleichbleibender Randlinie nicht von der spezifischen Form der Fläche ab.

11 Beweis: Definition der Rotation und Aufsummieren infinitesimaler Flächen. Dabei heben sich die Beiträge der Wegintegrale benachbarter Flächen im Innern von F gegenseitig auf. dl = -dl 2 Beispiel: Griffiths, S. 35

12 Orthogonale Transformationen oder: wie sind verschiedene kartesische Koordinatendarstellungen eines Vektors miteinander verknüpft Ein (physikalischer) Vektor ist unabhängig von seiner Koordinatendarstellung, d.h. wenn ein Vektor r in einem Koordinatensystem K die Darstellung r = i x i e i besitzt und in einem anderen r = i x i e i, dann muß zwischen den Koordinaten eine lineare orthogonale Transformation vermitteln, i.e. x = T x. Die Transformation darf die Länge des Vektors nicht verändern, d.h. r 2 = i x 2 i = j x 2 j = j,i,k T ji T jk x i x k Daraus folgt: T ji T jk = δ ik j oder T t T =. Damit ist die transponierte Matrix von T gleich der Inversen von T, T = T t. Die orthogonalen Transformationen entsprechen Drehungen und Spiegelungen im Raum. Entsprechend den Vektoren transformieren sich die Komponenten von Vektorfeldern wie die Komponenten des Ortsvektors: A (x ) = T A(x). Demgegenüber bleiben Skalarfelder bei der Koordinatentransformation invariant: φ (x ) = φ(x). Der Gradient verhält sich wie ein Vektor: x i = j x j x i x i = j T ij x j

13 Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld. Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld. Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Pseudovektorfeld.