Seminar 1. Epsilontik. 1.1 Der ε-pseudotensor und einige seiner Eigenschaften

Transkript

1 Seminar 1 1 Vektoralgebra, -Operator, Epsilontik 1.1 Der ε-pseudotensor und einige seiner Eigenschaften In in allen Bereichen der theoretischen Physik sehr gebräuchliches Hilfsmittel ist der ε-pseudotensor. Er ist antisymmetrisch und im dreidimensionalen Raum definiert als 1 ijk = 123 und zyklisch ε ijk = 1 ijk = 213 und zyklisch (1) 0 zwei gleiche Indizes Mit Hilfe dieses Tensors 1 vereinfachen sich viele Rechnungen mit Vektoren enorm. Bevor wir das an einigen Beispielen demonstrieren, müssen wir jedoch die wichtigsten Rechenregeln für den ε-tensor kennenlernen: a) allgemeines Produkt zweier ε-tensoren δ il δ im δ in ε ijk ε lmn = det δ jl δ jm δ jn (2) δ kl δ km δ kn = δ il (δ jm δ kn δ jn δ km ) + δ im (δ jn δ kl δ jl δ kn ) + δ in (δ jl δ km δ jm δ kl ). (3) b) Produkt zweier ε-tensoren mit einem doppelt auftretenden Index: Für diesen Spezialfall liest man aus der obigen Gleichung leicht ab: ε ijk ε imn = δ jm δ kn δ jn δ km (4) Das hier jeweils verwendete Symbol δ ij wird als Kronecker-δ bezeichnet und ist δ ij = { 1 i = j 0 sonst (5) 1.2 Vektoralgebra Beginnen wir mit einigen grundlegenden Bemerkungen: Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum. In einem solchen Vektorraum kann man genau n linear unabhängige Vektoren e i finden, die zusammen die Basis des Vektorraums bilden 2. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Jeder Vektor läßt sich bezüglich einer gegebenen Basis e i eindeutig in seine Komponenten zerlegen, d.h. n n a = a i e i = a ie i. (6) Vektoren können skalar oder vektoriell miteinander multipliziert werden. 1 Im folgenden soll diese Bezeichnung für den ε-pseudotensor verwendet werden. 2 Natürlich gibt es nicht nur eine solche Basis. i=1 i=1 1

2 Skalarprodukt: a b = n a i b i (7) i=1 Vektorprodukt oder Kreuzprodukt (in 3 Dimensionen): a b = ijk e i ε ijk a j b k (8) Eine andere, jedoch umständlichere Schreibweise für das Kreuzprodukt ist e 1 e 2 e 3 a b = det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = e 1 (a 2 b 3 a 3 b 2 ) + e 2 (a 3 b 1 a 1 b 3 ) + e 3 (a 1 b 2 a 2 b 1 ). Kommen wir nun zu ein paar Beispielen: Beispiel 1: a (b c) a (b c) = ijk e i ε ijk a j (b c) k e i ε ijk ε klm a j b l c m (zykl. vertauschen) ε kij ε klm e i a j b l c m (verwende Gl. (4)) e i (δ il δ jm δ im δ jl )a j b l c m = (e i b i c j a j e i c i a j b j ) ij = b(a c) c(a b). 2

3 1.2.2 Beispiel 2: (a b) (c d) (a b) (c d) = (a b) i (c d) i i ε ijk a j b k ε ilm c l d m (δ jl δ km δ jm δ kl )a j b k c l d m = (a j c j b m d m a j d j b m c m ) jm = (a c)(b d) (a d)(b c). 1.3 Gradient, Divergenz und Rotation: Arbeiten mit dem -Operator Differentialoperatoren spielen eine wichtige Rolle in allen Bereichen der theoretischen Physik. Von besonderer Bedeutung ist der sogenannte Nabla -0perator, der bezüglich einer kartesischen Basis im dreidimensionalen Raum definiert ist als := e e e 3 3, i := x i. (9) Der -Operator wirkt auf Skalar -und Vektorfelder. Der Begriff des Feldes ist von zentraler Bedeutung in der Physik. Als skalares Feld U(r, t) bezeichnet man eine Funktion, die jedem Punkt (r 0, t 0 ) des Raumes einen skalaren Wert U(r 0, t 0 ) zuordnet, zum Beispiel Temperaturfelder T (r, t) oder Dichtefelder ρ(r, t). Ein Vektorfeld ist dementsprechend eine Funktion A(r, t), die jedem Punkt (r 0, t 0 ) des Raumes einen Vektor A(r 0, t 0 ) zuordnet. Beispiele hierfür sind das elektrische Feld E oder das magnetische Feld H Gradient Betrachten wir ein skalares Feld U(r, t). Für jeden gegebenen Punkt gibt der Gradient grad U(r, t) des Skalarfeldes U(r, t) die Richtung des stärksten Anstiegs von U in diesem Punkt an. Der Gradient eines Skalarfeldes ist also eine vektorielle Größe, die als die Wirkung des -Operators auf ein Skalarfeld U aufgefaßt werden kann, also Divergenz grad U(r, t) U(r, t) = e 1 1 U + e 2 2 U + e 3 3 U. (10) Konnte der Gradient als Wirkung des -Operators auf ein Skalarfeld beschrieben werden, können wir Divergenz und Rotation als Wirkungen des -Operators auf ein Vektorfeld auffassen. Die Divergenz eines Vektors beschreibt den Fluß eines Vektors durch ein Volumenelement V pro Volumen. Sie ist in gewisser Weise das Skalarprodukt des -Operators mit einem Vektor, diva = A(r, t). (11) 3

4 Ist die Divergenz von A an einem Punkt kleiner als Null, so hat das Vektorfeld A dort eine Senke (der Fluß des Vektors A ist in diesen Punkt hineingerichtet.) Ist umgekehrt diva > 0, so hat das Vektorfeld an diesem Punkt eine Quelle Rotation Die Rotation eines Vektors, rota, beschäftigt sich mit der Frage nach möglichen Wirbeln des Vektorfeldes A. Von einem Wirbel spricht man, wenn das Linienintegral des Vektorfeldes über eine geschlossene Kurve um einen Punkt des Raumes nicht verschwindet. Per definitionem ist rota A, (12) d.h. die Rotation von A ergibt sich sozusagen durch vektorielle Multiplikation des - Operators mit A Einige nützliche Identitäten rot grad U: rot grad U = ( U) = ijk e i ε ijk j k U = 0, wobei wir die Antisymmetrie des ε-symbols und die Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen ausgenutzt haben. div grad U div rot A div grad U = ( U) = 2 1U + 2 2U + 2 3U = U div rot A = ( A) = ijk ε ijk i j A k = 0, wobei wieder die Antisymmetrie des ε-symbols und die Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen ausgenutzt wurde. rot rot A rot rot A = ( A) = e i ε ijk j ( A) k e i ε ijk ε klm j l A m ijk e i ε kij ε klm j l A m e i (δ il δ jm δ im δ jl ) j l A m = ij (e i i j A j 2 j e i A i ) = ( A) A = grad div A A. 4

5 2 Integralsätze 2.1 Der Satz von Gauß Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen der Divergenz (also der Quellstärke) eines Vektorfeldes in einem Volumen V und dem Fluß dieses Vektorfeldes durch die Oberfläche von V her. Man kann zeigen, dass ( A)dV = A n df, (13) V wobei V die Oberfläche des Volumens darstellt und n ein senkrecht auf dem Flächenelement df stehender Normalenvektor ist. Besondere Bedeutung hat der Satz von Gauss immer dann, wenn man über den gesamten 3 integriert, d.h. wenn man die Oberfläche des betrachteten Volumens ins Unendliche verschieben kann. Fordert man dann noch, dass A im Unendlichen verschwinden soll, so folgt automatisch, dass das Volumenintegral über die Divergenz von A ebenfalls verschwindet. 2.2 Der Satz von Stokes Noch wichtiger für die Theoretische Mechanik ist der Satz von Stokes. Er macht eine Aussage über die Wirbelfreiheit eines Vektorfeldes. Explizit ist ( A) n df = A dr, (14) F der Stokessche Satz verbindet also das Integral der Rotation von A über eine Fläche F mit dem Linienintegral über einen geschlossenen Weg C, der gerade den Rand der Fläche F darstellt. Dies ist besonders wichtig, wenn es um die Frage geht, ob eine gegebene Kraft konservativ ist und damit ein Potential besitzt. Bei konservativen Kräften muss die zwischen zwei Punkten verrichtete Arbeit wegunabhängig sein, das bedeutet, das Ringintegral F dr muss verschwinden. Da die Berechnung des Ringintegrals aber im Allgemeinen recht kompliziert ist, sucht man nach einem einfacheren Kriterium. Ein Blick auf Gl. (14) legt nahe, zu vermuten, dass das Ringintegral verschwindet, wenn A verschwindet. Es wird sich in der Tat zeigen, dass dies eine notwendige, aber nicht unbedingt hinreichende Bedingung für die Frage nach dem konservativen Charakter einer Kraft ist. Immerhin kann aber aus A 0 sofort geschlossen werden, dass die Kraft F nicht konservativ ist. 3 Einige Bemerkungen zu linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen Die allgemeinste Form einer linearen, gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung lautet V f (n) (x) + a 1 (x)f (n 1) (x) + + a n 1 (x)f (x) + a n (x)f(x) = h(x). (15) C 5

6 Es gilt der folgende Satz: Sind die Funktionen a 1 (x)... a n (x) und h(x) im betrachteten Intervall I stetig, so existiert für alle x 0 I bei gegebenen Anfangsbedingungen f(x 0 ) = f 0,..., f (n 1) (x) = f0 n 1 eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedigungen erfüllt. 3.1 Homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichungen Eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung ist ein Spezialfall der in Gl. (15) angegebenen Form, für den die Inhomogenität h(x) verschwindet. Die Lösungen einer solchen homogenen, linearen, gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung bilden einen n-dimensionalen Vektorraum, d.h. es gibt genau n linear unabhängige Lösungen. Diese bilden eine Basis des n-dimensionalen Vektorraums. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ergibt sich also als Linearkombination der n linear unabhängigen Lösungen. Wie aber findet man die Lösungen einer solchen homogenen, linearen, gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung? Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel; allgemeinere Lösungsmethoden sollen im folgenden Seminar vorgestellt werden Beispiel: Der eindimensionale, gedämpfte, harmonische Oszillator Der harmonische Oszillator gehört zu den wichtigsten Modellen in der theoretischen Physik 3, die dazugehörende Bewegungsgleichung ẍ + 2γẋ + ω 2 x = 0 (16) sollte zum Grundwissen eines jeden Physikstudenten gehören. Der zweite Term dieser Differentialgleichung repräsentiert das Wirken dissipativer Kräfte. Handelt es sich um Reibungskräfte oder andere mit Energieverlust verbundene Kräfte, so ist γ > 0. Der Standardansatz zur Lösung dieser Differentialgleichung führt auf die charakteristische Gleichung x = e λt λ 2 + 2γλ + ω 2 = 0 = λ 1,2 = γ ± γ 2 ω 2 (17) Offenbar müssen wir drei Fälle unterscheiden: γ 2 < ω 2 Hier spricht man von einer gedämpften Schwingung. In diesem Fall ist die Wurzel imaginär und die allgemeine Lösung läßt sich schreiben als x(t) = e γt (c 1 e i ω 2 γ 2t + c 2 e i ω 2 γ 2t ) = a e γt cos( ω 2 γ 2 t + φ), 3 siehe dazu die Erläuterungen in einem der folgenden Seminare 6

7 wobei c 1 und c 2 bzw. a und φ Konstanten sind, die noch mit Hilfe der Anfangsbedingungen festzulegen sind. Für welche der beiden aufgeführten Formen der Lösung man sich entscheidet, hängt von persönlichen Vorlieben oder aber vom weiteren Verwendungszweck der Lösung ab. γ 2 > ω 2 Im Fall starker Dämpfung ist die Wurzel in (17) reell und die allgemeine Lösung läßt sich in der Form x = e γt (c 1 e γ 2 ω 2t + c 2 e γ 2 ω 2t ) angeben. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom Kriechfall γ 2 = ω 2 Hier erhält man aus der charakteristischen Gleichung nur eine Lösung. Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung angeben zu können, müssen wir noch eine zweite, zur ersten linear unabhängige Lösung finden. Dies kann entweder durch cleveres Raten geschehen, man kann aber auch einen Trick anwenden: Wir gehen von γ 2 = ω 2 zu γ 2 = ω 2 + ε 2 über, verschieben also den Wert von γ etwas, so dass wir wieder zwei linear unabhängige Lösungen x 1 = e γt e εt = e γt ( 1 + εt + eps2 t 2 2 ( x 2 = e γt e εt = e γt 1 εt + ε2 t 2 ) +... ) aufschreiben können. Da sich jede Lösung der Differentialgleichung als Linearkombination von x 1 und x 2 darstellen läßt, muss auch die Differenz x 1 x 2 eine Lösung sein. Wir betrachten daher die Differenz von x 1 und x 2, dividieren durch ε und lassen ε gegen Null streben, um wieder zur Ausgangssituation zurückzukehren: x 1 x 2 lim ε 0 ε = 2t e γt. Die gesuchte zweite Lösung für γ 2 = ω 2 ist also x 2 = t e γt und die allgemeine Lösung daher x(t) = (c 1 + c 2 t)e γt. Für diesen Fall hat sich die Bezeichnung asymptotischer Grenzfall eingebürgert. 7