Höhere Mathematik für Ingenieure

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1 Burg/Haf/Wille Höhere Mathematik für Ingenieure Band IV Vektoranalysis und Funktionentheorie Von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf und Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille Universität Kassel, Gesamthochschule f Mit 256 Figuren, zahlreichen Beispielen und 157 Übungen, zumhteil mit Lösungen il3f!'!.?i 3 aiir A J. H?.s)\ B. G. Teubner Stuttgart 1990

2 Inhalt Vektoranalysis (F. Wille) 1 Kurven 1.1 Wege, Kurven, Bogenlängen Einführung: Ebene Kurven Kurven im R n Glatte und stückweise glatte Kurven Bogenlänge Parametertransformation, Orientierung Theorie ebener Kurven Bogenlänge und umschlossene Fläche Krümmung und Krümmungsradius Tangenteneinheitsvektor, Normalenvektor, natürliche Gleichung Evolute und Evolvente Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Allgemeine Kegelschnittgleichung, Hauptachsentransformation Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen Zykloiden Epizykloiden Anwendung: Wankelmotor 66 1:4.4 Hypozykloide, Blattartige Kurven Kurbelgetriebe Spiralen Theorie räumlicher Kurven Krümmung, Torsion und begleitendes Dreibein Berechnung von Krümmung, Torsion und Dreibein in beliebiger Parameterdarstellung Natürliche Gleichungen und Frenetsche Formeln 89

3 1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale Vektorfelder und Skalarfelder Kurvenintegrale Der Kurvenhauptsatz Potentialkriterium Berechnung von Potentialen Beweis des Potentialkriteriums Flächen 2.1 Flächenstücke und Flächen Flächenstücke Tangentenebenen, Normalenvektoren Parametertransformation, Orientierung Flächen Flächenintegrale Flächeninhalt Flächenintegrale erster und zweiter Art Transformationsformel für Flächenintegrale zweiter Art Integralsätze 3.1 Der Gaußsche Integralsatz Ergiebigkeit, Divergenz Der Gaußsche Integralsatz für Bereiche mit stückweise glattem Rand Die Kettenregel der Divergenz Beweis des Gaußschen Integralsatzes für Bereiche mit stückweise glattem Rand Gaußscher und Greenscher Integralsatz in der Ebene Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder Der Stokessche Integralsatz Einfache Flächenstücke.' Zirkulation, Wirbelstärke, Rotation Idee des Stokesschen Integralsatzes Stokesscher Integralsatz im dreidimensionalen Raum Zirkulation und Stokesscher Satz in der Ebene Weitere Differential- und Integralformeln Nabla-Operator...' Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot. 167

4 3.3.3 Gaußscher und Stokesscher Satz in div-, grad-, rot- und Nabla-Form Partielle Integration Die beiden Greenschen Integralformeln Krummlinige orthogonale Koordinaten Die Differentialoperatoren grad, div, rot, A in krummlinigen orthogonalen Koordinaten Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale Wirbelfreiheit: rot V=0, skalare Potentiale Laplace-Gleichung, harmonische Funktionen Poissongleichung Quellenfreiheit: div V=0, Vektorpotentiale Quellfreie Vektorpotentiale Helmholtzscher Zerlegungssatz Alternierende Differentialformen 4.1 Alternierende Differentialformen im K Integralsätze in Komponentenschreibweise... f Differentialformen und totale Differentiale Rechenregeln für Differentialformen Integration von Differentialformen, Integralsätze Alternierende Differentialformen im IR" Definition, Rechenregeln Integrale über p-dimenionalen Flächen Transformationsformel für Integrale Der allgemeine Stokessche Satz Kartesische Tensoren 5.1 Tensoralgebra Motivation: Spannungstensor., Definition kartesischer Tensoren Rechenregeln für Tensoren Invariante Tensoren.... : Diagonalisierung symmetrischer Tensoren und das Tensorellipsoid 233 t 5.2 Tensoranalysis { Differenzierbare Tensorfelder, Fundamentalsatz der Feldtheorie 237

5 5.2.2 Zusammenhang zwischen Tensorgradienten und grad, div, rot, A Der Gaußsche Satz für Tensorfelder zweiter Stufe Anwendungen 243 Funktionentheorie (H. Haf) 6 Grundlagen 6.1 Komplexe Zahlen Wiederholung und Ergänzung Die Riemannsche Zahlenkugel Topologische Hilfsmittel Folgen von komplexen Zahlen Reihen von komplexen Zahlen Kurven und Gebiete in C Funktionen einer komplexen Variablen Funktionsbegriff Stetigkeit Elementare Funktionen Holomorphe Funktionen 7.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie Ableitungsbegriff, Holomorphie Rechenregeln für holomorphe Funktionen Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Umkehrung der elementaren Funktionen Die Potentialgleichung Komplexe Integration Integralbegriff, Der Cauchysche Integralsatz Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes Anwendungen der komplexen Integralrechnung Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse Folgen von Funktionen { Reihen von Funktionen Potenzreihen 359

6 XI Charakterisierung holomorpher Funktionen Analytische Fortsetzung Asymptotische Abschätzungen Asymptotische Entwicklungen Die Sattelpunktmethode 384 Isolierte Singularitäten, Laurententwicklung 8.1 Laurentreihen Holomorphe Funktionen in Ringgebieten Singularitäten Residuensatz und Anwendungen Der Residuensatz Das Prinzip vom Argument Anwendungen: (a) Berechnung von reellen uneigentlichen Integralen 411 (b) Die Eulersche Gammafunktion 420 Konforme Abbildungen 9.1 Einführung in die Theorie konformer Abbildungen Geometrische Kennzeichnung holomorpher Funktionen Der Riemannsche Abbildungssatz Spezielle konforme Abbildungen Anwendungen auf die Potentialtheorie Dirichletsche Randwertprobleme Neumannsche Randwertprobleme Potential von Punktladungen Ebene stationäre Strömungen 476 i 10 Anwendungen der Funktionentheorie auf die Besselsche Differentialgleichung 10.1 Die Besselsche Differentialgleichung.' Motivierung i Die Hankeischen Funktionen Allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung 496

7 10.2 Die Besselschen und Neumannschen Funktionen Definitionen und grundlegende Eigenschaften Integraldarstellungen der Besselschen Funktionen Reihenentwicklung und asymptotisches Verhalten der Besselschen Funktionen Orthogonalität und Nullstellen der Besselschen Funktionen Die Nemannschen Funktionen Verhalten der Lösung der Besselschen Differentialgleichung Anwendungen Radialsymmetrische Lösungen der Schwingungsgleichung Schwingungen einer Membran 521 Anhang 528 Lösungen zu den Übungen 1 ) 531 Symbole 549 Literatur 552 Sachverzeichnis 558 ') Zu den mit * versehenen Übungen werden Lösugen angegeben oder Lösungswege skizziert