Rechenmethoden der Physik

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1 May-Britt Kallenrode Rechenmethoden der Physik Mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik Mit 47 Abbildungen, 297 Aufgaben und Lösungen Springer

2 Teil I Erste Schritte Rechnen in der Mechanik Rechnen mit Vektoren Grundlagen Orts- und Verschiebungsvektor Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Winkel in Grad- und Bogenmaß Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vektoralgebra in kartesische Koordinaten Gleiche, inverse und parallele Vektoren Vektoraddition und -Subtraktion Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Skalarprodukt Komponentenweise Darstellung Rechenregeln und Anwendungen Kreuzprodukt Grundlagen Rechenregeln Komponentenweise Darstellung Spatprodukt Mehrfachprodukte 24 Aufgaben 25 Differentiation Funktionen Eigenschaften von Funktionen Wichtige Funktionen Differentialrechnung Grundbegriffe Differentialquotient Wichtige Ableitungen 37

3 2.2.4 Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion Funktionen von Vektoren Differentiation von Vektoren Partielle Ableitung Funktion zweier Variablen Partielle Ableitung Koordinatensysteme: Transformation der Basisvektoren Potenzreihenentwicklung Folgen und Reihen Taylor-Entwicklung MacLaurin'sche Reihe 51 Aufgaben 53 Integration Grundlagen Bestimmtes und unbestimmtes Integral Wichtige Integrale Grundregeln des Integrierens Faktorregel Summenregel Substitutionsmethode Partielle Integration (Produktintegration) Rotationskörper Fläche zwischen zwei Kurven Mehrfachintegrale Doppelintegrale Dreifachintegrale Integration einer vektorwertigen Funktion (Riemann-Integral) 75 Aufgaben 76 Komplexe Zahlen Definition und Darstellung Elementare Rechenvorschriften Addition und Subtraktion Multiplikation zweier komplexer Zahlen Konjugiert komplexe Zahl Division zweier komplexer Zahlen Euler'sche Formel Potenzieren und komplexe Wurzel 86 Aufgaben 88

4 XI Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Was ist eine Differentialgleichung (DGL)? Lösung durch Raten Gewöhnliche lineare DGL erster Ordnung Homogene lineare DGL erster Ordnung Separation der Variablen Anfangs- oder Randbedingungen Zusammenfassung: Trennung der Variablen Homogene lineare DGL erster Ordnung mit konstantem Summanden Inhomogene lineare DGL erster Ordnung Variation der Konstanten Aufsuchen einer partikulären Lösung 102 Aufgaben 103 Differentialgleichungen zweiter Ordnung Grundlagen Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung Exponentialansatz Linearer harmonischer Oszillator Gedämpfte Schwingung Zusammenfassung: Homogene DGL 2. Ordnung Inhomogene DGL: Erzwungene Schwingung Zusammenfassung: Inhomogene DGL 121 Aufgaben 121 Numerische Lösung von Differentialgleichungen Die Idee Differentialgleichung erster Ordnung Differentialgleichung zweiter Ordnung Euler-Verfahren Leapfrog-Verfahren (Halbschritt-Verfahren) Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 132 Aufgaben 134 Matrizen Grundbegriffe Transponierte einer Matrix Quadratische Matrizen Rechenoperationen und -regeln Determinanten Unterdeterminanten Rechenregeln Reguläre und orthogonale Matrizen Komplexe Matrizen 148

5 XII 8.6 Eigenwerte und Eigenvektoren Diagonalform Drehungen Drehmatrix Transformation von Vektoren und Matrizen Trägheitstensor 157 Aufgaben 159 Teil II Von Feldern und Wellen Rechnen in der Elektrodynamik 9 Delta-Funktion Eindimensionale Delta-Funktion Annäherungen Eigenschaften der Delta-Funktion Delta-Funktion in drei Dimension 170 Aufgaben Differentiation von Feldern: Gradient, Divergenz und Rotation Skalar- und Vektorfelder Spezielle Felder Darstellung von Vektorfeldern in krummlinigen Koordinaten Gradient Definition und Eigenschaften Spezielle Felder Totales Differential Gradient in krummlinigen Koordinaten Rechenregeln Richtungsableitung Divergenz Anschauung Definition und Eigenschaften Spezielle Felder Rechenregeln Krummlinige Koordinaten Laplace-Operator Krummlinige Koordinaten Rotation Definition und Eigenschaften Spezielle Felder Krummlinige Koordinaten Rechenregeln 188

6 XIII 10.6 Der Nabla-Operator zusammengefaßt 189 Aufgaben Integration von Feldern: Kurven- und Flächenintegrale Kurven und Flächen Darstellung ebener und räumlicher Kurven Flächen im Raum Flächen vom Typ z = f(x,y) Kurvenintegrale Eigenschaften Konservative Felder Oberflächenintegrale Gauß'scher Integralsatz Divergenz als Quellstärke des Feldes Gauß'scher Integralsatz Stokes'scher Integralsatz Rotation als Wirbelstärke Stokes'scher Integralsatz 208 Aufgaben Partielle Differentialgleichungen Partielle DGLs in der Physik Die Poisson-Gleichung Weitere partielle DGLs Poisson-Gleichung Punktladung Allgemeine Ladungsdichteverteilung Randbedingungen Multipolentwicklung Poisson-Gleichung in der Magnetostatik Diffusionsgleichung Random Walk und mittleres Abstandsquadrat - anschaulich Eindimensionale Diffusionsgleichung Lösung der Diffusionsgleichung für eine ^-Injektion Allgemeine Lösung Wellengleichung Herleitung der Wellengleichung Eindimensionale Wellen Harmonische Wellen Stehende Wellen Separationsansatz Zweidimensionale ebene Wellen Dreidimensionale ebene Wellen 238 Aufgaben 238

7 XIV Teil III Ein entschiedenes Jein Wahrscheinlichkeiten und Fehler 13 Wahrscheinlichkeit, Entropie und Maxwell-Verteilung Kombinatorik Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes'sche Formel Wahrscheinlichkeitsverteilungen Grundbegriffe Kenngrößen einer Verteilung Binommalverteilung Poisson-Verteilung Gauß'sche Normalverteilung Entropie und Maxwell-Boltzmann-Verteilung Information und Entropie Maximale Unbestimmtheit Boltzmann-Verteilung 270 Aufgaben Messung und Meßfehler Charakterisierung von Meßdaten Verteilung von Meßwerten, Mittelwert und Varianz (Normalverteilte) Meßwerte 'Zählen' und Poisson-Verteilung Mittelwert und Standardabweichung aus den Meßwerten Vertrauensbereich für den Mittelwert Fehlerfortpflanzung Summen oder Differenzen Multiplikation mit einer Konstanten Multiplikation oder Division Potenzgesetz Ausgleichsrechnung Lineare Regression Lineare Regression unter Berücksichtigung der Meßfehler Rang-Korrelation 291 Aufgaben 292

8 XV Lösungen 295 Literaturverzeichnis 329 Sachverzeichnis 331