Klaus Jänich. Mathematik 1. Geschrieben für Physiker. Springer

Transkript

1 Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker / Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1. Funktionen 1.1 Der Funktionsbegriff Neue Funktionen aus alten Notationsfragen Erste Beispiele von Funktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Trigonometrische Funktionen Die Arcusfunktionen Übungsaufgaben Die Ableitung 2.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Notationsfragen Ableitungsregeln Erste Beispiele Ableitungen elementarer Funktionen Die Ableitungen der Arcus- und Areafunktionen Übungsaufgaben Integration 3.1 Riemann-integrierbare Funktionen Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Partielle Integration Substitution Übungsaufgaben 59

3 XIV Inhaltsverzeichnis 4. Differentialgleichungen erster Ordnung 4.1 Der Begriff der Differentialgleichung erster Ordnung Drei Musterbeispiele Ein Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen erster Ordnung Getrennte Variable Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Gekoppelte Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Übungsaufgaben Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 5.1 Differentialgleichungen zweiter Ordnung Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Konstante Koeffizienten Übungsaufgaben Bereiche und Abbildungen in mehreren Variablen 6.1 Beispiele von Bereichen iml Offene, abgeschlossene und kompakte Bereiche Abbildungen in mehreren Variablen und ihre Veranschaulichung Stetigkeit Übungsaufgaben Partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale 7.1 Partielle Ableitungen Mehrfachintegrale Übungsaufgaben 138

4 Inhaltsverzeichnis xv 8. Grundbegriffe der linearen Algebra 8.1 Lineare Abbildungen und Matrizen Untervektorräume des R" Lineare Abbildungen zwischen Untervektorräumen Übungsaufgaben Basen und Dimensionen 9.1 Der Begriff der Basis Basisergänzungssatz und Dimensionsbegriff Der Rang Rangbestimmung Übungsaufgaben Lineare Approximation in der Analysis 10.1 Die Jacobimatrix Die Jacobimatrizen von Kurven und Funktionen Die mehrdimensionalen Ableitungsregeln Infinitesimale Größen Übungsaufgaben Multilineare Abbildungen und die Determinante 11.1 Multilinearität Symmetrieeigenschaften Die Determinante Übungsaufgaben Quadratische Formen, Skalar- und Kreuzprodukt 12.1 Quadratische Formen Skalarprodukte Geometrische Bedeutung der Determinante Das Kreuzprodukt Übungsaufgaben 255

5 xvi Inhaltsverzeichnis 13. Schwingungen und Fourierreihen 13.1 Erzwungene Schwingungen Fourierreihen Drei Konvergenzsätze für Fourierreihen Übungsaufgaben Dynamische Systeme 14.1 Grundbegriffe Maximale lokale Flüsse Rede über das Vektorpfeilchen Phasenflüsse und Phasenportraits Die Abhängigkeit von den Anfangswerten Die universelle Anwendbarkeit des Satzes von Picard-Lindelöf Vektorfeld und Richtungsfeld Übungsaufgaben Zweidimensionale Systeme mit konstanten Koeffizienten 15.1 Der e-ansatz Der Grenzfall Der komplexe e-ansatz Die Phasenportraits Linearisierung Übungsaufgaben Linienintegrale 16.1 Kurven Linienintegrale in freier Wildbahn Linienintegrale über 1-Formen Vektorfelder und 1-Formen Konservative Vektorfelder Übungsaufgaben 364

6 Inhaltsverzeichnis xvii 17. Koordinatentransformationen 17.1 Koordinaten Transformation von Koordinaten Die Integraltransformationsformel Infinitesimale Volumenelemente Übungsaufgaben Algebraische Strukturen 18.1 Der Gruppenbegriff Ringe und Körper Der Körper der komplexen Zahlen Vektorräume Übungsaufgaben Metrik, Topologie und Kompaktheit 19.1 Metrische Räume Topologische Räume Kompaktheit Wie erkennt man kompakte Räume? Übungsaufgaben Kategorien und Quotienten 20.1 Kategorien Aquivalenzrelationen Quotienten Quotienten von Gruppen und Vektorräumen Übungsaufgaben Lineare Algebra in K-Vektorräumen 21.1 Was gibt es Neues? Eigenwerte und Eigenvektoren Übungsaufgaben 475

7 XV111 Inhaltsverzeichnis 22. Lineare Algebra in euklidischen und unitären Räumen 22.1 Euklidische Räume Selbstadjungierte Operatoren Die Hauptachsentransformation Unitäre Räume Hermitesche Operatoren Übungsaufgaben 512 Fußnoten und Ergänzungen 515 Register 547